Cap´ıtulo 4

Derivadas e Integrales 4.1.

Introducci´ on a la derivaci´ on

En este cap´ıtulo presentaremos los conceptos m´as b´asicos del c´alculo diferencial e integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral. Adem´as, se ver´a el nexo que existe entre ambos conceptos a trav´es de un muy importante teorema.

4.1.1.

Derivada de una funci´ on

Si tuvi´esemos que definir a la derivada de una funci´on en pocas palabras, dir´ıamos que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´on nos dice, de alguna manera, cu´anto cambia la funci´on(variable dependiente) a medida que cambia la variable independiente. La derivada de una funci´on nos dir´a si una funci´on crece o decrece r´apidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´on, mejor comenzaremos describiendo el significado geom´etrico que tiene, para luego definirla m´as correctamente. Significado geom´ etrico de la derivada Consideremos una funci´on lineal como f (x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la recta descrita por esta funci´on es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de esta funci´on es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´on es constante para todo x y vale m. Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´on cuadr´atica f (x) = x2 . Cu´al es la tasa de crecimiento de esta funci´on. Al graficar esta funci´on(una par´abola) nos damos cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´on crece y crece cada vez m´as r´apido. ¿Como poder medir m´as cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los siguientes dos puntos de la par´abola: P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

112

Derivadas e Integrales P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)

Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´on f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale: 4−1 =3 2−1

m=

Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´on al ir de x = 1 a x = 2 ya que la funci´on crecer´a m´as lentamente cerca de x = 1 y m´as r´apidamente cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1. F´acil. Consideremos un punto m´as cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el punto P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25) Repitiendo el c´alculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos que: 1,25 2,25 − 1 = = 2,5 m= 1,5 − 1 0,5 Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´as cercano a P1 , la recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´as con la recta tangente a P1 . Decimos que en el l´ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .

4

3

recta tangente a y=x2 en P1

2

1

P1 -2

-1

1

2

´trica de derivada) La derivada de una funci´ Definicion 1 (geome on f (x) en x◦ se define como la pendiente de la recta tangente al gr´ afico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).

4.1.2.

Noci´ on de l´ımite

Entender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´alculo. Sin ir m´as all´a, la derivada es un l´ımite. Pero, ¿ qu´e es un l´ımite ? Al estudiar series ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´on de l´ımite. Por ejemplo, consideremos la siguiente suma : 1 1 1 1 Sn = + + + · · · + n 2 4 8 2 ¿Qu´e pasaba si n crec´ıa al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´etrica cuyo valor sabemos que es 1. Matem´aticamente, esto se expresa como: l´ım Sn = 1

n→∞

4.1 Introducci´ on a la derivaci´ on x ±1 ± 0.5 ± 0.1 ± 0.05 ± 0.01

113

f(x) 0.8415 0.9589 0.9983 0.9996 0.9999

Este es un caso particular de l´ımite. De modo m´as general, decimos que el l´ımite de una funci´on f (x) cuando x tiende a a es L, si al acercarnos a x=a podemos hacer que f(x) se acerque a L tanto como queramos. Esto se anota matem´aticamente as´ı: l´ım f (x) = L

x→a

Nota: No es necesario que f (a) exista o este definido para que l´ımx→a f (x) exista. Ejemplo 4.1.1 Sea c una constante cualquiera, entonces l´ım c = c

x→a

l´ım c · x = c · a

x→a

Ejemplo 4.1.2

1 =0 x Si bien es cierto el valor de 1/x para cualquier x real es distinto de 0, podemos hacer que 1/x se acerque a cero tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente grandes. l´ım

x→∞

Ejemplo 4.1.3

sin(x) =1 x→0 x En el ejemplo anterior, justificamos el valor del l´ımite pero no dimos una demostraci´ on rigurosa de su valor porque en parte no contamos con la teor´ıa completa. Justificaremos el valor del u ´ltimo l´ımite con ayuda de una calculadora aunque debemos decir que esto no constituye una demostraci´ on en s´ı. A partir de esta tabla observamos claramente que existe una tendencia por parte de f (x) = sin(x) a acercarse a 1 a medida que x se acerca a 0. x l´ım

Propiedades de linealidad del l´ımite : l´ım cf (x) = c l´ım f (x)

x→a

x→a

l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x)

x→a

x→a

x→a

114

Derivadas e Integrales

Ejemplo 4.1.4 Sea : f (x) =

x2 − 1 x−1

Calcular el valor de: l´ım f (x)

x→1

Soluci´ on : El valor de f (1) no esta definido ya que tras una simple evaluaci´ on obtenemos: 0 f (1) = 0 Pero notemos que : (x + 1)(x − 1) f (x) = = x + 1 , x 6= 1 x−1 Entonces: l´ım f (x) = l´ım x + 1 = 2

x→1

x→1

Definicion 2 (formal de derivada) La derivada de una funci´ on f (x) evaluada en un punto x◦ se define como: f (x◦ + h) − f (x◦ ) h→0 h l´ım

Otra definici´ on equivalente de la misma derivada es la siguiente : l´ım

x→x◦

f (x) − f (x◦ ) x − x◦

Notaci´ on : La derivada de y = f (x) en x◦ se denota por: ¯

dy ¯¯ = f 0 (x◦ ) dx ¯x◦ Ejemplo 4.1.5 Calculemos la derivada de f (x) = x2 evaluada en x = x◦ ¯

d 2 ¯¯ (x )¯ dx x◦

(x◦ + h)2 − x2◦ h→0 h 2 x + 2x◦ h + h2 − x2◦ = l´ım ◦ h→0 h (2x◦ h + h2 ) = l´ım h→0 h = l´ım (2x◦ + h) =

l´ım

h→0

= 2x◦

4.1 Introducci´ on a la derivaci´ on

115

Hemos definido la derivada de una funci´on en un punto cualquiera x◦ . Entonces, ahora es natural querer considerar o construir la siguiente funci´on: ´ n derivada) La funci´ Definicion 3 (de la funcio on derivada (de otra funci´ on) se define punto a punto como sigue: f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = l´ım

Hagamos notar que no hemos dicho nada acerca de si h puede tomar solo valores positivos o no al irse acerc´ andose a cero en el l´ımite. Esto nos lleva a definir dos clases distintas de derivadas (y de l´ımites). Si h en 3 tiende a cero tomando solo valores positivos, entonces la derivada se denomina derivada por la derecha. A su vez, si h tiende a cero tomando solo valores negativos, entonces la derivada se denomina derivada por la izquierda. Para que una funci´ on se diga derivable en un punto, debe estar definida su derivada por la izquierda y su derivada por la derecha en ese punto y ambas deben ser iguales. Para que una funci´ on se diga derivable, debe ser derivable en todo punto. No todas las funciones son derivables. Ejemplo 4.1.6 Consideremos la funci´ on f (x) = |x|. Esta funci´ on no es derivable porque para x = 0 su derivada por la izquierda es distinta a su derivada por la derecha. De hecho, en x = 0 la derivadas por la izquierda y por la derecha de f (x) valen −1 y 1 respectivamente. on derivada de la funci´ on f (x) = x2 es: Ejemplo 4.1.7 La funci´ f 0 (x) = 2x Demostraci´ on: Directa a partir de la definici´ on de funci´ on derivada y del ejemplo 4.1.5. Notaci´ on : La derivada de la derivada de una funci´on, o simplemente la segunda derivada de una funci´on, se anota como sigue: d dx

µ

¶

d d2 f (x) = f (x) = f 00 (x) dx dx2

´ De igual modo, podemos hablar de la derivada n-esima de una funci´on f (x). Esta debe entenderse como una funci´on proveniente de f (x) despu´es de haberla derivado n veces seguidas.

116

4.2.

Derivadas e Integrales

Reglas importantes para derivar

Como el lector ya deber´ıa poseer una comprensi´on b´asica del significado de la funci´on derivada, a continuaci´on enunciaremos una serie de reglas pr´acticas para derivar las funciones m´as importantes. No abordaremos las demostraciones te´oricas de estas reglas no porque sea dif´ıciles sino simplemente porque no deseamos extendernos demasiado.

4.2.1.

4.2.2.

Derivadas de funciones b´ asicas

y(x) = k

⇒

y 0 (x) = 0

y(x) = mx

⇒

y 0 (x) = m

y(x) = xn

⇒

y 0 (x) = nxn−1

y(x) = ex

⇒

y 0 (x) = ex

y(x) = ax

⇒

y 0 (x) = ax ln a

y(x) = ln x

⇒

y 0 (x) = 1/x

y(x) = sin x

⇒

y 0 (x) = cos x

y(x) = cos x

⇒

y 0 (x) = − sin x

Propiedades de linealidad de la derivada

Sea c una constante cualquiera, entonces: y(x) = cf (x)

⇒

y 0 (x) = cf 0 (x)

y(x) = f (x) ± g(x)

⇒

y 0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x)

Derivada de un producto de funciones La derivada de una producto de funciones es como sigue: ·

¸

·

¸

d d d [f (x) · g(x)] = f (x) · g(x) + f (x) · g(x) dx dx dx Ejemplo 4.2.1 Calcular la derivada de f (x) = x sin(x). ·

¸

·

¸

d d d [x · sin(x)] = x · sin(x) + x · sin(x) = sin(x) + x cos(x) dx dx dx Derivada de un cuociente de funciones h

i

h

i

d f (x) · g(x) − f (x) d g(x) d f (x) d dx = x 2 dx g(x) [g(x)] ·

¸

4.2 Reglas importantes para derivar

117

Ejemplo 4.2.2 Calcular la derivada de f (x) = tan(x) h

i

h

i

d sin(x) · cos(x) − sin(x) d cos(x) · ¸ d d sin(x) cos(x) · cos(x) − sin(x) [− sin(x)] d dx tan(x) = = x = 2 dx dx cos(x) [cos(x)] [cos(x)]2 =

1 cos2 (x) + sin2 (x) = = sec2 (x) 2 cos (x) cos2 (x)

Derivada de una composici´ on de funciones. Regla de la cadena ¯

¯ d d d g(f (x)) = g(x)¯¯ · f (x) dx dx dx f (x)

Ejemplo 4.2.3 Calcular la derivada de sin(x2 ) ¯

¯ d d d 2 sin(x2 ) = sin(x)¯¯ · x = cos(x2 ) · 2x 2 dx dx dx x

Ejercicio 4.2.1 Verificar que las funciones y(x) = sin(wx) e y(x) = cos(wx) satisfacen la ecuaci´ on diferencial: y(x)00 + w2 y(x) = 0 (4.1) Concluir que la funci´ on : y(x) = A sin wx + B cos wx donde A y B son constantes arbitrarias, tambi´en satisface la ecuaci´ on 4.1. Se dice que la funci´ on y(x) es la soluci´ on general de la ecuaci´ on 4.1 Nota: La ecuaci´ on diferencial 4.1 es muy importante. en general, este tipo de ecuaciones llevan el nombre de ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´ on en donde figura una funci´ on f (x) junto con algunas de sus derivadas. En este tipo de ecuaciones, la soluci´ on no es un valor real como en una ecuaci´ on algebraica, sino que la soluci´ on de la ecuaci´ on es una funci´ on !.

118

4.2.3.

Derivadas e Integrales

Aplicaciones de la derivada

En esta secci´on abordaremos algunas aplicaciones b´asicas de la derivada en algunos problemas de matem´aticas y f´ısica. Ejemplo 4.2.4 Calcular la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva descrita por la funci´ on f (x) = x3 + 3x2 − 5 en el punto de abcisa x = 1. Soluci´ on : Sabemos que la pendiente de dicha recta es igual a: ¯

m = =

¯ d 3 (x + 3x2 − 5)¯¯ dx x=1 ¯ ¯

3x2 + 6x¯

x=1

= 3+6 = 9 Ahora conocemos la pendiente de la recta. Solo basta conocer un punto de la recta para poder determinar la ecuaci´ on punto-pendiente de la recta. Sabemos que un punto de la recta corresponde a (1, f (1)). f (1) = 1 + 3 − 5 = −1 Entonces, la ecuaci´ on de la recta buscada es : y + 1 = 9(x − 1)

4.2.4.

Cinem´ atica en una dimensi´ on

La cinem´atica se encarga de describir, con el uso de las matem´aticas, el movimiento de los cuerpos. Para tal efecto, las medidas de distancia y de tiempo son esenciales. Consideraremos un mundo de una dimensi´on(espacial),en donde se necesita una sola coordenada para describir la posici´on de un cuerpo en el espacio. Si queremos saber en donde se encuentra un cuerpo, debemos medir su distancia con respecto a alg´ un origen arbitrario que supondremos inm´ovil. Pero si el cuerpo se halla en movimiento, la distancia entre este cuerpo y el origen var´ıa con respecto al tiempo. on de un m´ ovil con respecto Definicion 4 La velocidad es la tasa de cambio de la posici´ al tiempo. M´ as precisamente, supongamos que contamos con una funci´ on x(t) que nos entrega la posici´ on de un m´ ovil con respecto a un punto fijo O en funci´ on del tiempo. Entonces, llamamos velocidad instant´ anea del m´ ovil (con respecto a O) a: v(t) =

d x(t) dt

on es la tasa de cambio de la velocidad de un m´ ovil con Definicion 5 La aceleraci´ respecto al tiempo. M´ as precisamente, supongamos que contamos con una funci´ on v(t)

4.2 Reglas importantes para derivar

119

que nos entrega la velocidad de un m´ ovil en funci´ on del tiempo. Entonces, llamamos aceleraci´ on instant´ anea del m´ ovil a: a(t) =

d d2 v(t) = 2 x(t) dt dt

Ejemplo 4.2.5 Calcula la velocidad y aceleraci´ on de un m´ ovil cuya posici´ on est´ a descrita por : x(t) = 5t2 + 12t + 3 Soluci´ on : v(t) = x0 (t) = (5t2 + 12t + 3)0 = (5t2 )0 + (12t)0 + (3)0 = 10t + 12 a(t) = v 0 (t) = (10t + 12)0 = (10t)0 + (12)0 = 10

4.2.5.

Optimizaci´ on en una variable

Una de las aplicaciones del c´alculo diferencial o de derivadas es encontrar los puntos en donde una funci´on alcanza valores m´aximos o m´ınimos. Geom´etricamente, es f´acil ver que la pendiente de la recta tangente a esos puntos es cero. Por lo tanto, si una funci´on alcanza un valor m´aximo o m´ınimo en un punto, entonces la derivada de la funci´on en ese punto deber´a ser nula. Ejemplo 4.2.6 Calcular el valor m´ınimo de f (x) = x2 + 8x − 1. Soluci´ on: Calculemos la derivada de f (x): f 0 (x) = 2x + 8 Ahora impongamos que f 0 (x) = 0: f ‘(x) = 2x + 8 = 0

⇒

x=4

f (4) = 42 + 8 · 4 − 1 = 47 El valor m´ınimo de f (x) es 47. Observaciones: Que una funci´on tenga un punto extremo (un m´aximo o un m´ınimo) en un punto implica que la derivada de la funci´on en ese punto es cero, pero la afirmaci´on rec´ıproca no es cierta: que la derivada de una funci´on se anule en un punto no implica que la funci´on tenga un punto extremo en ese punto. Ejemplo 4.2.7 Consideremos la funci´ on f (x) = x3 : ⇒

f 0 (x) = 3x2 = 0

⇒

x=0

La derivada de f (x) = x3 en x = 0 vale cero, pero la funci´ on NO tiene un valor extremo en ese punto.

120

Derivadas e Integrales

20 10

-10

-5

5

10

-10 -20

Para saber mejor que sucede con una funci´on f (x) en un punto x = a donde su derivada se anula (f (a) = 0), calculamos la segunda derivada de la funci´on y la evaluamos en ese punto. 1. Si f 00 (a) > 0 entonces f (x) alcanza un valor m´ınimo ”local”en torno a x = a 2. Si f 00 (a) < 0 entonces f (x) alcanza un valor m´aximo ”local”en torno a x = a 3. Si f 00 (a) = 0 entonces no podemos decir nada acerca del comportamiento de f (x) en torno a x = a

4.3 Introducci´ on a la integraci´ on

4.3.

121

Introducci´ on a la integraci´ on

Esta secci´on tratar´a de los aspectos b´asicos del c´alculo integral. Pero nuevamente, tal como hicimos con la secci´on de c´alculo diferencial, abordaremos el tema de un modo pr´actico y no te´orico. Comenzaremos definiendo el concepto de la integral (o integral definida) y luego introduciremos el concepto de la primitiva (o anti-derivada). La definici´on de integral definida que presentaremos (tambi´en conocida como integral de Riemman) no tiene relaci´on alguna con lo que hemos visto de c´alculo diferencial. Las primitivas, en cambio, tiene directa relaci´on con lo que es el c´alculo diferencial o de derivadas. Adem´as, veremos que existe un teorema, el Teorema Fundamental del C´alculo (TFC), que relaciona el concepto de integral con el de primitiva, por lo cual tambi´en se le otorga a esta u ´ltima el nombre de integral indefinida. Calcular una integral puede resultar sumamente dif´ıcil, pero si la relacionamos con una primitiva a trav´es del TFC, el c´alculo puede ser directo.

4.3.1.

La integral definida

Consideremos una funci´on f (x). S´olo a modo de ilustraci´on, consideraremos que la funci´on f (x) es creciente. Queremos encontrar una manera de calcular el ´area encerrada entre la funci´on f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Para tal efecto hagamos lo siguiente: Consideremos el intervalo [a, b] de las abscisas. Dividamos el intervalo para [a, b] en n sub-intervalos m´as peque˜ nos y de igual tama˜ no h = (b − a)/n. El intervalo i-´esimo resulta ser: [a + h(i − 1), a + hi] donde i ∈ {1, 2, . . . , n} Dividamos nuestra ´area en peque˜ nos rectangulitos de base h y altura f (a + h(i − 1)), i ∈ {1, 2, . . . , n} de tal manera que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco inferior al area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I− (x).

y area achurrada

f(a)

= I-

a

h

x

Dividamos nuestra ´area en peque˜ nos rectangulitos de base h y altura f (a+hi), i ∈ {1, 2, . . . , n}de tal modo que la suma de las areas de estos rectangulitos sea un poco superior a la area real buscada. Llamemos a esta suma de rectangulitos I+ (x).

122

Derivadas e Integrales

y area achurrada

f(a)

= I+

a

x

h

Si resulta que l´ım I− = l´ım I+ = I 6= ∞

h→0

h→0

entonces se denomina a este l´ımite ”la integral de f (x) a dx entre x=a y x=b se denota: 2

I=

Z b a

f (x)dx

Ejemplo 4.3.1 Calcular la integral de f (x) = x entre x = 0 y x = b. Soluci´ on: Dividamos el intervalo [0,b] en n partes iguales de longitud h = b/n mediante los puntos {0, h, 2h, . . . , b}. Entonces, la integral definida entre x = 0 y x = b es: Z b 0

xdx = l´ım

h→0

n−1 X

h · ih = l´ım

h→0

i=0

n X

h · ih

i=1

N´ otese que hemos expresado la integral como l´ım I− (x) y adem´ as como l´ım I+ (x)

h→0

h→0

Calculemos primero el primer l´ımite: l´ım I− (x) = l´ım

h→0

h→0

n−1 X

2

h · ih = l´ım h

i=0

h→0

n−1 X

·i = l´ım h

i=0

h→0

2 (n

"

− 1)n (hn)2 hn · h = l´ım − h→0 2 2 2

pero como hn = b entonces "

b2 bh l´ım I− (x) = l´ım − h→0 h→0 2 2 =

#

b2 2

Queda propuesto al lector verificar que tambi´en se tiene que: l´ım I+ (x) =

h→0

b2 2

#

4.3 Introducci´ on a la integraci´ on

4.3.2.

123

La integral indefinida o primitiva

La derivaci´on puede ser vista como un operador que toma una funci´on f (x) y retorna su funci´on derivada f 0 (x). ¿Existir´a el proceso inverso? Es decir, ¿existir´a alg´ un operador que tome la funci´on f 0 (x) y retorne f (x) ? Este proceso inverso existe y se denomina integraci´ on indefinida,c´ alculo de primitivas o de anti-derivadas. Definicion 6 Sea F (x) una funci´ on diferenciable con derivada f (x). Sea, adem´ as, C una constante real cualquiera. Entonces se denomina primitiva o integral indefinida de f (x) a la funci´ on F (x) + C. La primitiva de f (x) se anota: Z

f (x)dx = F (x) + C = funci´ on que al derivarla entrega f(x) Observaci´ on: N´ otese que al pedir la primitiva de f (x) se busca una funci´ on tal que al derivarla entregue f(x). Sabemos, por el enunciado, que la funci´ on F (x) cumple con tal condici´ on. Pero F (x) no es la u ´nica funci´ on que cumple con la condici´ on. A decir verdad, la funci´ on F (x) + C, donde C una constante cualquiera, tambi´en cumple con la condici´ on (ya que la derivada de una constante es cero).

4.3.3.

Primitivas importantes Z

kdx = kx + C Z

xn+1 +C n+1

xn dx = Z

ex dx = ex + C Z

ax +C ln a

ax dx = Z Z

1 dx = ln x + C x

sin xdx = − cos x + C Z

cos xdx = sin x + C

4.3.4.

Propiedades de las primitivas Z

Z

cf (x)dx = c Z

f (x)dx

Z

[f (x) ± g(x)]dx =

Z

f (x)dx ±

g(x)dx

124

Derivadas e Integrales

Ejemplo 4.3.2 Z

Z

[x2 − 7x5 + 2 sin x]dx =

4.3.5.

Z

Z

x2 dx − 7

x5 dx + 2

sin xdx =

x3 7x6 + − 2 cos x + C 3 6

El Teorema Fundamental del C´ alculo (TFC)

Si bien las integrales(definidas) y las primitivas se definieron de manera completamente distinta, existe un poderoso teorema que relaciona ambos conceptos. Este teorema nos permite calcular integrales dif´ıciles calculando muy f´acilmente una primitiva. ´ lculo) Sea F (x) una funci´ Teorema 4.3.1 (Fundamental del Ca on diferenciable con derivada f (x). Es decir, F (x) es una primitiva de f (x). Entonces, Z b a

f (x)dx = F (b) − F (a)

Notaci´ on : Sea F(x) una funci´on. Entonces se utiliza mucho la siguiente notaci´on: F (x)|ba ≡ F (b) − F (a) Corolario (de la notaci´ on) Z b a

f (x)dx = F (x)|ba

Ejemplo 4.3.3 Calcular la integral Z 5 1

x2 dx

Soluci´ on: Si bien esta integral se puede calcular usando sumatorias y tomando el l´ımite (hacerlo como ejercicio), una manera mucho m´ as f´ acil es hacerlo empleando el TFC. Sabemos que una primitiva de f (x) = x2 es F (x) = x3 /3 + C. Entonces, seg´ un el TFC, Z 5 1

x2 dx = F (5) − F (1) = (53 /3 + C) − (13 /3 + C) = 125/3 − 1/3 = 124/3

4.4 Aplicaciones de la integral

4.4. 4.4.1.

125

Aplicaciones de la integral C´ alculo de ´ areas

Ejemplo 4.4.1 Hallar el ´ area entre las curvas y = x2 + 1 e y = 9 − x2 Soluci´ on : Grafiquemos ambas funciones:

y y=x2+1

8 6 4 2

-2

y=9-x2

-1

1

2

x

Encontremos los puntos de intersecci´ on de ambos gr´ aficos: y = x2 + 1 y = 9 − x2 Resolviendo este sistema, encontramos que: x2 + 1 = 9 − x2

⇒

2x2 = 8

⇒

x = ±2

Luego, el ´ area entre ambos gr´ aficos corresponde a: Z 2 −2

2

2

[(9 − x ) − (x + 1)]dx =

¯2 x3 ¯¯ = 8 · (2 − (−2)) − 2 ¯ 3¯

Z 2 −2

2

[8 − 2x ]dx =

Z 2 −2

Z

8dx − 2

−2

2x2 dx

= 32 − 2 · [8/3 − (−8/3)] = 32 − 32/3 = 64/3

−2

4.4.2.

Cinem´ atica en una dimensi´ on

En la secci´on de derivaci´on ya vimos que la derivada con respecto al tiempo de la posici´on de un m´ovil es su velocidad y que la derivada con respecto al tiempo de la velocidad de un m´ovil es su aceleraci´on. Ahora que conocemos la integrar podemos decir que: Z v(t) =

a(t)dt + C1 Z

x(t) =

v(t)dt + C2

Las constantes de integraci´on C1 y C2 pueden determinarse conociendo la velocidad y posici´on del m´ovil en un instante dado. Ejemplo 4.4.2 Calcular la posici´ on y velocidad de un m´ ovil sabiendo que a(t) = 2t + 1, v(0) = 0, x(0) = 3. Soluci´ on : Sabemos que: Z

v(t) =

Z

a(t)dt + C1 =

[2t + 1]dt + C1 = t2 + t + C1

126

Derivadas e Integrales

Evaluando la condici´ on v(0)=0 obtenemos: v(0) = C1 = 0 Por tanto, la velocidad del m´ ovil es: v(t) = t2 + t Calculemos ahora su posici´ on : Z

x(t) =

Z

v(t)dt + C2 =

[t2 + t]dt + C2 = t3 /3 + t2 /2 + C2

Evaluando la condici´ on x(0) = 3 obtenemos : x(0) = C2 = 3 Por lo tanto, la posici´ on del m´ ovil es: x(t) = t3 /3 + t2 /2 + 3

4.5 Problemas propuestos

4.5.

127

Problemas propuestos

4.5.1.

Derivadas y sus aplicaciones

1. Derivar: a) y = 14 x4 − 2x2 b) y = (x2 − 1)(x3 − 5x2 − 7) c) y = 2 sin x + 3 cos x d ) y = (x − 1)(x − 3)(x − 5) e) y = (2x − 1)3 2. Para la siguiente funci´on, analizar crecimiento, m´aximos y m´ınimos. y = x3 − 9x2 + 20x − 8 Adem´as, determinar todos los puntos de la curva representada por la funci´on anterior donde la normal es perpendicular a la recta de ecuaci´on 4x + y = 3. 3. Hallar todos los puntos para los cuales la tangente a la curva descrita por la siguiente funci´on es paralela al eje x : y = x4 − 2x3 + 1 4. Probar que la ecuaci´on de la recta normal a la curva y = 3 − x2 en el punto de abscisa x = a es: x − 2ay + a(5 − 2a2 ) = 0 y hallar los puntos de la par´abola cuyas normales pasan por el punto (0,2). 5. Un autom´ovil recorre un camino rectil´ıneo, partiendo del reposo en un punto O a las 9◦◦ hrs, pasa por otro punto A despu´es de una hora y se detiene en un tercer punto B. La distancia s en kil´ometros al punto de partida despu´es de t horas de camino est´a dada por s = 60t2 − 10t3 Hallar : a) La hora de llegada a B b) La distancia entre A y B c) La velocidad media entre A y B d ) La velocidad m´axima y a qu´e hora la alcanza.

128

Derivadas e Integrales

6. Para la siguiente funci´on, resuelva la ecuaci´on f 0 (x) = 0 y halle el conjunto de valores para los cuales f 0 (x) es menor o igual que cero. f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 7 7. Un invasor extraterrestre se acercaba al planeta Tierra de manera que su distancia en kil´ometros desde la superficie de la Tierra en el momento t despu´es de ser descubierto era s(t) = 50t3 − 300t2 + 4050 Afortunadamente, fue enviado de vuelta al espacio por fuerzas de antigravedad. a) Halle la velocidad y aceleraci´on del invasor extraterrestre correspondiente al tiempo t. b) ¿Cu´ando era su velocidad cero? c) ¿Cu´ando era su aceleraci´on cero? d ) ¿En qu´e tiempo se acercaba a la Tierra? e) ¿Cu´ando se acercaba a tierra con mayor velocidad y cu´al era esa velocidad? f ) Calcule la menor distancia entre el invasor extraterrestre y la superficie de la tierra. g) Encuentre los intervalos de tiempo en los cuales la velocidad estaba aumentando, y en los cuales la velocidad estaba disminuyendo. h) Usando lo anterior, grafique el movimiento, en el intervalo t[0, 5] 8. Considere a un atleta que quiere ir desde el punto A hasta el punto B atravesando los medios I y II como se indican en la figura. En el medio I el atleta se desplaza con rapidez v1 y en el medio II se desplaza con velocidad v2 . El atleta quiere llegar del punto A hasta el punto B en el tiempo m´ınimo. Demuestre que esto lo puede conseguir siguiendo el camino que se indica en la figura, donde los ´angulos θ1 y θ2 obedecen la ley de Snell: v1 sin θ1 = sin θ2 v2 Nota: La luz, de acuerdo al Principio de Fermat de seguir el camino m´as r´apido entre dos puntos, obedece la ley de Snell al refractarse.

A θ2

v1 B

θ2

v2

4.5 Problemas propuestos

4.5.2.

129

Integrales y sus aplicaciones

1. En cada uno de los casos siguientes hallar y = f (x) y verificar la respuesta por derivaci´on: a) b) c) d) 2.

dy dx dy dx dy dx dy dx

= f 0 (x) = 4x − 3 y f (0) = −9 = f 0 (x) = 12x2 − 24x + 1 y f (1) = −2 = f 0 (x) = 3 cos x + 5 sin x y f (0) = 4 = f 0 (x) = 3ex −

2 x

y f (1) = 0

a) Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 3 − 2t en metros/segundo. Hallar la funci´on que determina su posici´on s en t´erminos de t si para t = 0, s = 4m. b) Una part´ıcula se est´a moviendo sobre una recta con aceleraci´on dada por a(t) = t2 −t en metros/segundo2 . Hallar la funci´on velocidad v(t) y la funci´on s(t) si s(0) = 0 y s(6) = 12.

3. Calcular: a)

Z 7 −2

b)

Z 1 0

c)

Z π/2 0

d)

(6 − 2x)dx

(x3 − 5x4 )dx

cos t + 2 sin t)dt Z 4 3 1

e)

Z 1 0

x

dx

8et dt

4. Calcular el ´area limitada por: a) La curva y = x2 − x y el eje x b) Las curvas y = 4x2 e y = x2 + 3 c) La curva y = sin x y la recta y = x d ) La curva y = ex , el eje y y la recta y = 4

130

Derivadas e Integrales

5. Una part´ıcula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t2 − t en m/seg. Determinar el desplazamiento durante los primeros 5 segundos. ¿Cu´al es la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo? 6. Determinar el ´area limitada por las curvas: y = 2x2 e y = 12x2 − x 7. Un punto M se mueve sobre una recta con aceleraci´on a(t) = 2t − 4. Cuando t = 0, M est´a en el origen y su velocidad es de 3m/s. Calcular la velocidad de M en cada instante t. Probar que cuando t = 1s el punto M comienza a devolverse al origen y calcular su distancia al origen en ese instante.