DERIVADAS 1. Calcula las siguientes derivadas haciendo uso de las tablas y de las reglas principales: a. y = 2x3 − 4x² + 5x − 8 b. y = x−4 − 5x−2 + 3x −7 c. d.

y = 5 x² + 4 4 x³ y = 5(x − 1)·(2x3− 2)·(x² + 3)

e.

y = 1+ 4 1+ x ² x ² − 6x + 2 y= x +1 3x + 1 y= 3x − 1 x 3 y= + 3 x

f. g. h.

2. Calcular las siguientes derivadas: a. y = (2x² + 3x − 1)4 b. y = x²·Lnx + x·Lnx + 1 c. y = x4 + 4x + 44 d. e. f. g. h. i.

y=

1− x

1+ x y = sen x² + sen²x + sen²x² y = cos3x + cosx3 y = 3 cos x sin x + cos x y= sin x − cos x y = arcsen(x² + 1)+ arctg x

3. Derivar y simplificar las siguientes expresiones: x+a a. y = arctg 1 − ax x x ² + 1 + Ln x + x ² + 1 b. y = 2 1 + sin x c. y = Ln 1 − sin x 1 d. y = ·tg3x − tgx + x 3

h.

y = Ln sin 2 x y = x·sen3x 1+ x y = arctg 1− x y = x3·2x·ex

i.

y = (1 − x )·(1 + x )

j.

y = tg3(cos²x) − cotg4(sen3x) sin x y = arctg 1 + sin x

e. f. g.

k.

1 Ln x m. y = x²·Lnx n. y = (x+ex)·Lnx o. y = x3 + 7x + Log5x l.

y = arcsin

6. Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de 1 millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasado dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el 6  10 si 0 ≤ t ≤ 2 . Se pide: tiempo (expresado en meses) viene dada por f(t) =  6 t − 2 10 ·e si t > 2 a) Verificar que la población es función continua del tiempo. b) Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0,2] y [0,4]. c) Calcular la tasa de variación instantánea en t=4, comparándola con la última tasa de variación media obtenida. Justificar los resultados obtenidos. 7. La altura, en metros, alcanzada al cabo de t segundos por una piedra lanzada verticalmente hacia arriba viene dada por la función f(t)=20t−2t². Hallar la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t=0 y t=5 segundos. 8. Al estudiar el crecimiento de una población bacteriana se observa que la cantidad de bacterias en 5 el instante t viene dada por la ecuación: M ( t ) = t 3 − t 2 + 2 t + 3 . Se pide: 2 a) Instantes en que la población es mínima y máxima. b) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento cuando t = 3?. 9. Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t)=5000+100t² siendo t el tiempo medio en horas. Se pide: a) La velocidad media de crecimiento. b) La velocidad instantánea de crecimiento. c) La velocidad de crecimiento instantáneo para t0=10 h. 10. Un objeto se mueve en el eje OX según la fórmula x = 5 + Ln (t + 1) , (Ln = logaritmo neperiano, t = tiempo). Calcular la velocidad media entre t=0 y t=2. ¿En qué momento alcanza dicha velocidad media? 11. Hallar en cuánto aumenta el área de un círculo cuyo radio mide 1 metro si éste aumenta su longitud en un 15%. 12. La concentración C (t) de un fármaco en el flujo sanguíneo t horas después de ser inyectado es: 3t C( t ) = : ∀t ≥ 0 27 + t 3 a) ¿ Cuántas horas tarda el fármaco en alcanzar la concentración máxima? b) Esbozar la gráfica de la función C (t) para ( t ≥ 0 ), determinando previamente sus asíntotas.