Integrales impropias

integral definida para el caso de límites de integración infinitos, introduciendo las siguientes definiciones: I). Si f es continua en el intervalo [a,∞), entonces:.
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Integrales Impropias 

En la definición de la integral definida    hemos supuesto que los límites de integración a y b eran finitos. Generalizaremos este concepto de integral definida para el caso de límites de integración infinitos, introduciendo las siguientes definiciones: I)

Si f es continua en el intervalo [a,∞), entonces: 



  = lim→   Si f es continua en el intervalo (−∞, ], entonces:

II)





  = lim →   Si f es continua en el intervalo (−∞, ∞, entonces:

III)







   =   +   donde c es cualquier número real. Luego, a las integrales del segundo miembro se le aplican las definiciones I) y II). En cada caso, si el límite es un número real, se dice que la integral impropia converge. Si el límite es infinito, la integral impropia diverge. Si el límite no existe, la integral impropia es oscilante. Trabajo práctico resuelto 1- Verifique el resultado: 





   =

1-1) 







   = lim → 





 

Aplicando la sustitución: t=4-x , dt=−dx → −dt=dx  !



−     = −     = −













 (  =

1-2) 



 (   = lim → 



+ " = 4 −  + " =

    = lim → $% & =' lim → $ − 

   =



 

 

%=

) 



( 



 + lim→ 



( 

+"



 

−0=

 

Aplicando la sustitución: t=2x , dt=2dx → 

*+,-  + " =



 

>

*+,- 2  + "





= 

 (  =

 



 (   =

 @  (  = lim.→ $ arctg 2x% &.' + lim@→ $ arctg 2x% &' = lim → →  *+,- 0 −   













)

 )

*+,- 2* + lim→ *+,- 2 − *+,- 0 = 0 − (−  + 

 5 √7



1-3)  5 √7



√

√

 =



 5 √7 √



√



 

:; 



√







:; 

2.dt=



√

 ,



5 √7 √

 =



 = lim→  

:; 

 = lim→