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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: INTEGRALES MATEMATICA I B (Profesorados de Física y de Química) UNRN – AÑO: 2016

• Integrales inmediatas 1. Verificar las siguientes igualdades derivando el segundo miembro a)

−9

∫x

4

dx =

3 +C x3

b)



∫  4x

3

−

1  1 dx = x 4 + + C 2  x  x

x2 −1 2( x 2 + 3) d) ∫ 3/ 2 dx = +C x 3 x

1 3 c) ∫ ( x − 2)( x + 2)dx = x − 4 x + C 3

2. Hallar la primitiva F ( x) de la función f ( x) usando la tabla de integrales, y confirmar el resultado mediante derivación: a) f ( x) = 3x + 5

b) f ( x) = e x −

1 2 x

c) f ( x) = 9sen( x) − 7 cos( x)

d) f ( x) =

3. Hallar las siguientes integrales, usando la regla de integración de funciones potenciales: b) c) x x dx = a) x 4 7 dx = x dx =

∫

d)

∫

x ∫ 4 x dx = 1 1 ⋅ dx = h) ∫ 5 x 3 x

1 ∫ 5 x dx = 5

x2 ∫ 3 x dx = i) ∫ x 5 x dx =

e)

x

∫ x dx = j) ∫ x dx =

g)

∫

25

k)

∫x x 3

25

f)

dx =

l)

∫x

−3 8

dx =

4. Cada gráfica corresponde a la derivada de una función. Esbozar las gráficas de dos funciones que tengan esa derivada i) ii) iii)

5. Hallar las integrales inmediatas:



∫

a)  8 x 3 − x 2 +

2  x − 5 dx = 3 

b)

∫

x +1 dx = x

1 −x x

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( x − 2)( x + 5) dx = 3

c)

∫

e)

cos( x) ∫ 1 − cos2 ( x)dx =

g)

∫

( x − 4)( x − 3) dx = 8

d)

∫ 7t

f)

x2 + 5 ∫ x dx =

h)

∫(

3

3

2

t dt =

)

m + 2 cos(m) + 3 dm =

• Ecuaciones diferenciales y problemas de aplicación 6. i) Hallar la solución general de la ecuación diferencial a)

dy = 3t 2 dt

b)

dy = x3/2 dx

c)

dy = 3 z −4 dz

ii) Hallar la solución particular de cada una de las ecuaciones anteriores si se sabe que: a) y=3 cuando t=2 b) y=2 cuando x=1 c) y=-3 cuando z=-1

7. Plantear la ecuación diferencial en cada caso y resolver: a) Se estima que dentro de x meses la población de un cierto pueblo estará cambiando a un ritmo de 2 + 6 x personas por mes. La población actual es de 5000. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

(

)

b) En una cierta zona del país, el precio de los huevos de clase A es actualmente 1,6 dólares por docena. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a un ritmo de 0, 2 + 0, 003x 2 centavos por semana. ¿Cuánto costarán los huevos dentro de 10 semanas? c) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto ( , ) de una curva es 3√ . Si el punto (9,4) está en la curva, obtenga la ecuación de dicha curva. d) Un objeto se mueve de forma que su velocidad después de t minutos es de 6t 2 + 2t + 3 metros por minuto. ¿Qué distancia se desplazará el objeto durante el segundo minuto? e) El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, el ritmo al que está cambiando su valor es 220(t − 10) cientos de pesos por año. Si la maquinaria se compró nueva por 120000 pesos, ¿cuánto valdrá diez años después? f) Una empresa tiene una producción diaria P( x) de 4000 unidades, con x el número de empleados extra. Estimó que la razón de cambio de la producción diaria con respecto a la variación del número de trabajadores es 100 − 9x1/2 , siendo x el número de empleados extras. Hallar la producción diaria si se suman 9 trabajadores a la fuerza laboral actual.