DERIVADAS La derivada de una función y = f(x) en un punto x = xo (f ´(xo)), es un número real, que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, o lo que es lo mismo, el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la función en el punto con la parte positiva del eje de abscisa. f ' (x o ) = tg α Se dice que una función es derivable en un punto xo, si en ese punto la función es continua y, existe el siguiente límite: f (x o + h ) − f (x o ) lím h h →0

Si el límite existe y es un número real, se le denomina derivada de la función en el punto xo. f (x o + h ) − f (x o ) f ' ( x o ) = lím h h →0 La existencia de este límite lleva consigo la existencia e igualdad de los límites laterales en el punto. f (x o + h ) − f (x o )  = f x o−  f (x o + h ) − f (x o ) f (x o + h ) − f (x o )  h h →0 = lím  : lím− f (x o + h ) − f (x o ) + h h h →0 ∃ lím = f x o+  h →0  h h →0 +

( ) ( )

∃ lím

−

O lo que es lo mismo:

( ) ( )

f x o− = f x o+

La definición de derivada de una función en u punto se puede simplificar con un cambio de variable f ( x o + h ) − f ( x o ) Cambio de variable : h = x − x o  f (x ) − f (x o ) =  = lím Sí h → 0 ⇒ x → x o h h →0   x →x o x − x o

f ' ( x o ) = lím

Se llama función derivada a una aplicación dentro del conjunto de los nº Reales tal que a cada valor de x le hace corresponder un valor f '(x), siendo este: f (x + h) − f (x) f ' ( x ) = lím h →0 h

REGLAS DE DERIVACION i. ii. iii.

(K ⋅ f ( x )) ' = K ⋅ f ' (x ) (f ( x ) + g( x ) ) ' = f ' ( x ) + g' ( x ) (f ( x ) ⋅ g(x ) ) ' = f ' ( x ) ⋅ g( x ) + f (x ) ⋅ g( x )' '

iv. v.

 f ( x )  f ' (x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x )  =  (g(x ) )2  g(x )  (f (g( x )))' = f ' (g(x ) ) ⋅ g' ( x ) Regla de la Cadena

Tabla de derivadas FUNCIONES SIMPLES y = xn y= x y' = n x

FUNCIÓNES COMPUESTAS REGLA DE LA CADENA

y' = n·x n −1 y' =

y = f n (x)

1 2· x

y = f (x)

1

y' =

n

n· x

n −1

y = n f (x)

y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x ) y' =

y' =

1 2· f ( x )

·f ' ( x )

1 n·n

(f (x ) )n−1

·f ' ( x )

y = ax

y' = a x ⋅ Ln (a )

y = a f (x)

y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln(a )

y = ex

y' = e x

y = e f (x)

y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y = Lg a (x ) y = Ln(x )

y' =

1 x ⋅ Ln(a )

y = Lg a (f ( x ) )

1 x

y = Ln(f ( x ) )

y' =

y' =

1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )

y' =

1 ·f ' ( x ) f (x)

y = sen (x )

y' = cos(x )

y = sen (f ( x ) )

y' = cos(f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

y = cos(x )

y' = −sen (x )

y = cos(f ( x ) )

y' = −sen (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )