b. (1,5 puntos). Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f; el eje OX y las rectas x = 0, x = 3. Solución. ( ). ∫ +. − dx. 1x. 1x. 2. Para calcular la primitiva de la función se usa el método de descomposición en fracciones simples de polinomios con raíces reales de multiplicidad mayor que uno. ( ).
Modelo 2011. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f (x ) =
x −1
(x + 1)2
se pide: b. (1,5 puntos). Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f; el eje OX y las rectas x = 0, x = 3. Solución. x −1 dx (x + 1)2 Para calcular la primitiva de la función se usa el método de descomposición en fracciones simples de polinomios con raíces reales de multiplicidad mayor que uno. x −1 A B = + 2 x + 1 (x + 1) (x + 1)2
∫
El calculo de las constantes A y B se hace por identificación de numeradores una vez sumadas las fracciones del miembro de la derecha de la igualdad. x −1 A ⋅ (x + 1) + B = : x − 1 = A ⋅ (x + 1) + B 2 (x + 1) (x + 1)2
Coeficientes Término A =1 x − 1 = Ax + A + B = Bx + A + B : x: 1= A : Independiente − 1 = A + B B = −2 x −1 1 −2 = + 2 (x + 1) x + 1 (x + 1)2 x −1
1 (x + 1)−1 + C = Ln x + 1 + 2 + C dx − 2 ∫ (x + 1)−2 dx = −Ln x + 1 − 2 x +1 x +1 −1
Septiembre 2006. Ejercicio 1A. (2 puntos) Calcular
dx
2
∫1
x + 2x Solución. Primero resolvemos la integral indefinida por descomposición en fracciones simples, y a continuación la integral definida. Para resolver la integral hay que descomponer la expresión racional en fracciones simples, y para ello hay que factorizar el denominador, que en este caso es muy sencillo por tratarse de un polinomio de 2º grado sin término independiente. 1 1 A B = = + 2 x + 2 x x ⋅ (x + 2) x x + 2 Para calcular las constantes A y B sumamos las fracciones e igualamos los numeradores. A ⋅ (x + 2) + B ⋅ x 1 = ⇒ 1 = A ⋅ (x + 2 ) + B ⋅ x x ⋅ (x + 2) x ⋅ (x + 2) Dando a x las raíces del polinomio (0, −2) se obtienen respectivamente los valores A y B. 1 • x = 0 : 1 = A ⋅ (0 + 2) + B ⋅ 0 ⇒ A = 2 1 • x = −2 : 1 = A ⋅ (− 2 + 2) + B ⋅ (− 2) ⇒ B = − 2 Sustituyendo 1 −1 1 2+ 2 = 1 ⋅ 1 − 1 = 2 x x + 2 2 x x+2 x + 2x
1
2
Una vez hallada la descomposición en fracciones simples se resuelve la integral aplicando la 1 primitiva del logaritmo neperiano dx = Ln x + a + C . x+a
∫
∫x
1 2
+ 2x
dx = =
1 1
1
1 1
1
1 1
1
∫ 2 ⋅ x − x + 2 ⋅ dx = 2 ∫ x − x + 2 ⋅ dx = 2 ∫ x dx + ∫ x + 2 dx = 1 (Ln x − Ln x + 2 ) + C = 1 Ln x + C = Ln x + C 2 2 x+2 x+2
La integral definida se calcula mediante la regla de Barrow.