22/07/2016
Prof. Trinidad Quijano
Diferenciación implícita Muchas de las funciones con las que trabajamos están expresadas en forma explícita, como por ejemplo: 4 3, donde la variable «y» está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función se puede definir implícitamente por la ecuación . 1 Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena: en el caso de la variable independiente x, se deriva normalmente, para la variable independiente y se considera que ésta es, a su vez, una función de x, aplicándose aquí la regla mencionada.
1
22/07/2016
Ejemplos
a) 6
4
b)
c)
4
3
d) ln
Derivada logarítmica Ejemplo: a)
4
1
b)
c)
2
22/07/2016
Teoremas de funciones derivables Teorema de Fermat Teorema de Rolle Teorema de Lagrange (o del valor medio)
Teorema de Fermat
Dem: Supongamos que es un máximo de demuestra para mínimo). Entonces:
Pero como
en
,
(análogamente se
es derivable,
3
22/07/2016
Teorema de Rolle
Teorema de Lagrange o del valor medio)
4
22/07/2016
Ejemplo: ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a en [-1, 2]? En caso afirmativo determinar el/los valor/es de c. Interpretar geométricamente
Diferencial Existen muchas situaciones, dentro y fuera de la matemática, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
5
22/07/2016
Se define el diferencial de una función f derivable en xo, como:
df = f '(xo)dx Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.
Aproximaciones lineales de funciones mediante el diferencial Verifique que para 1y∆ 0,1 Solución: ∆ 1,1 $ ! !
1 2 |
se cumple que ∆ ≅ ! en
1,21 1 0,21 0,1 2. 0,1 %
0,20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima.
6
22/07/2016
Ejercicios Calcula el diferencial de ! 0,1
2 si
2y
Calcula el incremento y el diferencial de la función 5 8 cuando pasa del valor 1 al 1,25 Calcula el incremento y el diferencial de la función cuando pasa del valor 2 al 2,2 ( )
Aplicaciones Utilizar el concepto de diferencial para aproximar el valor de 38. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.
7
