DERIVADAS La derivada de una función y = f(x) en un punto x = xo (f ´(xo)), es un número real, que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, o lo que es lo mismo, el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la función en el punto con la parte positiva del eje de abscisa. f ' (x o ) = tg α Se dice que una función es derivable en un punto xo, si en ese punto la función es continua y, existe el siguiente límite: f (x o + h ) − f (x o ) lím h h →0

Si el límite existe y es un número real, se le denomina derivada de la función en el punto xo. f (x o + h) − f (x o ) f ' ( x o ) = lím h h →0 La existencia de este límite lleva consigo la existencia e igualdad de los límites laterales en el punto. f (x o + h ) − f (x o )  = f x o−  f (x o + h ) − f (x o ) f (x o + h ) − f (x o )  h h →0 = lím  : lím− f (x o + h ) − f (x o ) + h h h →0 ∃ lím = f x o+  h →0  h h →0 +

( ) ( )

∃ lím

−

O lo que es lo mismo:

( ) ( )

f x o− = f x o+

La definición de derivada de una función en u punto se puede simplificar con un cambio de variable f ( x o + h ) − f ( x o ) Cambio de variable : h = x − x o  f (x ) − f (x o ) =  = lím Sí h → 0 ⇒ x → x o h h →0   x →x o x − x o

f ' ( x o ) = lím

Se llama función derivada a una aplicación dentro del conjunto de los nº Reales tal que a cada valor de x le hace corresponder un valor f '(x), siendo este: f (x + h ) − f (x ) f ' ( x ) = lím h →0 h

REGLAS DE DERIVACION

i. ii. iii.

(K ⋅ f ( x )) ' = K ⋅ f ' (x ) (f (x ) + g( x ) ) ' = f ' ( x ) + g' ( x ) (f (x ) ⋅ g( x ) ) ' = f ' ( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g(x )' '

iv. v.

 f ( x )  f ' (x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x )  =  (g(x ) )2  g(x )  (f (g( x ) ))' = f ' (g( x ) )⋅ g' ( x ) Regla de la Cadena

Derivación logarítmica.

y = (f ( x ) )g ( x ) Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos queda: Ln y = g( x ) ⋅ Ln f(x) derivando esta expresión: y' f ' (x) = g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g( x ) ⋅ y f (x) despejando Y' y sustituyendo Y por su expresión:  f ' (x )  f ' (x)  g(x)  ⋅ g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g( x ) ⋅ y' = y ⋅ g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅   = (f ( x ) ) f ( x ) f (x )    

Derivación en forma implícita. Hasta ahora se ha supuesto el caso de funciones explícitas, es decir la y aparece despejada. Se llama función implícita a una función de dos variables x e y sin que la y aparezca despejada. Para derivar una función implícita se siguen las misma reglas que para las explícitas, teniendo en cuenta que la derivada de la de y es y'. Una vez hecha la derivada con las reglas convencionales, basta con despejar y'. Ejemplo: x 2 + y 2 − 6xy + 4 = 0 Derivamos la expresión siguiendo las reglas: 2x + 2 yy ′ − (6 y + 6xy ′) + 0 = 0 La expresión de la derivada se halla despejando y´ 2x + 2 yy ′ = 6 y + 6xy ′ 2 yy ′ − 6xy ′ = 6 y − 2x y ′ ⋅ (2 y − 6x ) = 6 y − 2x

y′ =

6 y − 2x 2y − 6x

y′ =

3y − x y − 3x

Tabla de derivadas FUNCIONES SIMPLES

FUNCIÓNES COMPUESTAS REGLA DE LA CADENA

y' = n·x n −1

y = xn

y' =

y= x

1 y = f (x)

2· x 1

y' =

n

y = f n (x)

y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x ) y' =

1

·f ' ( x )

2· f ( x ) 1

y' =

·f ' ( x )

n

y = n f (x)

y = ax

y' = a x ⋅ Ln(a )

y = a f (x)

y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln(a )

y = ex

y' = e x

y = e f (x)

y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y' = x

n· x n −1

y' =

y = Lg a (x )

1 x ⋅ Ln(a )

y = Lg a (f ( x ) )

1 x

y = Ln(f ( x ) )

y' =

y = Ln(x )

n·n (f ( x ) )n −1

1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )

y' =

y' =

1 ·f ' ( x ) f (x )

y = sen (x )

y' = cos(x )

y = sen (f ( x ) )

y' = cos(f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

y = cos(x )

y' = −sen (x )

y = cos(f ( x ) )

y' = −sen (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

y = tg (x )

y' =

1 cos 2 x

y = arcsen(x )

y' =

y = ar cos(x )

y' =

y = arctg(x )

y' =

= 1 + tg 2 x 1

1− x

2

−1 1− x 2 1 1+ x

2

y' = y = tg (f ( x ) )

(

cos f ( x )

⋅ f ' (x ) =

)

= 1 + tg 2 f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y = arcsen(f ( x ) )

y' =

y = ar cos(f ( x ) )

y' =

y = arctg(f ( x ) )

1 2

y' =

1 1 − f 2 (x) −1 1 − f 2 (x) 1 1 + f 2 (x)

⋅ f ' (x) ⋅ f ' (x)

⋅ f ' (x)