y = 4x3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la función y = 6x3 − x2. Solución.- y = 18x2 − 2x. 5. Hallar la derivada de la función y = x5 a+b. − x2 a−b . Solución.- y = 5x4.
Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´ on.- a) 3/4, b) 3. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´ on.- a) -4, b) -1. 3. Hallar la derivada de la funci´on y = x4 + 3x2 − 6. Soluci´ on.- y 0 = 4x3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x3 − x2 . Soluci´ on.- y 0 = 18x2 − 2x. 5. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
5x4 a+b
−
x2 a−b .
−
2x a−b .
6. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
x5 a+b
x3 −x2 +1 . 5
3x2 −2x . 5
7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax3 − 0
x2 b
+ c.
2x b .
2
Soluci´ on.- y = 6ax −
5
7
8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x. 5
3
Soluci´ on.- y 0 = 21x 2 + 10x 2 + 2. 9. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
√ √3 2 x
+
3
1 √ 3 2 x
−
3(x+1)2 (x−1) 5
2x 2
1 2 √ 3 3x
−
x + x1 .
(x+1)3 3
x2
.
√ 3
√ x2 − 2 x + 5.
√1 . x
12. Hallar la derivada de la funci´on y = 2
√ 3
.
11. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
3x +
1 x2 .
10. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
√
5
2 ax √ 3 x
+
b √ x x
−
√ 3 √x . x
7
Soluci´ on.- y 0 = 53 ax 3 − 23 bx− 2 + 16 x− 6 . 13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ). Soluci´ on.- y 0 = 4x(1 + 3x + 10x3 ). 14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´ on.- y 0 = 2(9x2 + x − 1).
4
15. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3). Soluci´ on.- y 0 = 6x2 − 26x + 12. 16. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
2x4 b2 −x2 .
4x3 (2b2 −x2 ) (b2 −x2 )2 .
17. Hallar la derivada de la funci´on y =
a−x a+x .
2a Soluci´ on.- y 0 = − (a+x) 2.
18. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t2 (3+t2 (1+t2 )2 .
Soluci´ on.- f 0 (t) =
19. Hallar la derivada de la funci´on f (s) = Soluci´ on.- f 0 (s) =
(s+4)2 s+3 .
(s+2)(s+4) (s+3)2 .
20. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
t3 1+t2 .
x3 +1 x2 −x−2 .
x4 −2x3 −6x2 −2x+1 . (x2 −x−2)2
21. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x2 − 3)2 . Soluci´ on.- y 0 = 8x(2x2 − 3). 22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x2 + a2 )5 . Soluci´ on.- y 0 = 10x(x2 + a2 )4 . 23. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
√
x2 + a2 .
√ x . x2 +a2
√ 24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x) a − x. Soluci´ on.- y 0 =
a−3x √ . 2 a−x
q 25. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
1 √ . (1−x) 1−x2
26. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
1+x 1−x .
1+4x2
3 x2 (1+x2 ) 2
.
27. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 = √ 3 3
2 2x √ −1 . x 1+x2
√ 3
x2 + x + 1.
2x+1 . (x2 +x+1)2
28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + ´2 ³ 1 . Soluci´ on.- y 0 = 1 + √ 3 x
√ 3
x)3 .
5
29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2 x. Soluci´ on.- y 0 = sin 2x. 30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sin x + cos 3x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cos x − 3 sin 3x. 31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b). Soluci´ on.- y 0 =
a cos2 (ax+b) .
32. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
sin x 1+cos x .
1 1+cos x .
33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2x cos 3x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x. 34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot2 5x. Soluci´ on.- y 0 = −10 cot 5x csc2 5x. 35. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t sin t + cos t. Soluci´ on.- f 0 (t) = t cos t. 36. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = sin3 t cos t. Soluci´ on.- f 0 (t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t). √ 37. Hallar la derivada de la funci´on y = a cos 2x. a sin 2x . Soluci´ on.- y 0 = − √ cos 2x
38. Hallar la derivada de la funci´on y =
1 2
tan2 x.
Soluci´ on.- y 0 = tan x sec2 x. 39. Hallar la derivada de la funci´on y = ln cos x. Soluci´ on.- y 0 = − tan x. 40. Hallar la derivada de la funci´on y = ln tan x. Soluci´ on.- y 0 =
2 sin 2x .
41. Hallar la derivada de la funci´on y = ln sin2 x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cot x. 42. Hallar la derivada de la funci´on y =
tan x−1 sec x .
Soluci´ on.- y 0 = sin x + cos x. q 43. Hallar la derivada de la funci´on y = ln Soluci´ on.- y 0 =
1+sin x 1−sin x .
1 cos x .
44. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(ln x). Soluci´ on.- f 0 (x) =
cos(ln x) . x
6
45. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = tan(ln x). Soluci´ on.- f 0 (x) =
sec2 (ln x) . x
46. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(cos x). Soluci´ on.- f 0 (x) = − sin x cos(cos x). 1+x 47. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1−x .
Soluci´ on.- y 0 =
2 1−x2 .
48. Hallar la derivada de la funci´on y = log3 (x2 − sin x). Soluci´ on.- y 0 =
2x−cos x (x2 −sin x) ln 3 . 2
1+x 49. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1−x 2.
Soluci´ on.- y 0 =
4x 1−x4 .
50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x2 + x). Soluci´ on.- y 0 =
2x+1 x2 +x .
51. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x3 − 2x + 5). Soluci´ on.- y 0 =
3x2 −2 x3 −2x+5 .
52. Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x. Soluci´ on.- y 0 = ln x + 1. 53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln3 x. Soluci´ on.- y 0 =
3 ln2 x x .
54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x + Soluci´ on.- y 0 =
√
1 + x2 ).
√ 1 . 1+x2
55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(ln x). Soluci´ on.- y 0 =
1 x ln x .
56. Hallar la derivada de la funci´on y = e(4x+5) . Soluci´ on.- y 0 = 4e(4x+5) . 2
57. Hallar la derivada de la funci´on y = ax . 2
Soluci´ on.- y 0 = 2xax ln a. 58. Hallar la derivada de la funci´on y = 7(x 0
2
(x +2x)
Soluci´ on.- y = 2(x + 1)7
2
+2x)
.
ln 7.
59. Hallar la derivada de la funci´on y = ex (1 − x2 ). Soluci´ on.- y 0 = ex (1 − 2x − x2 ). 60. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =
2ex (ex +1)2 .
ex −1 ex +1 .
7
61. Hallar la derivada de la funci´on y = esin x . Soluci´ on.- y 0 = esin x cos x. 62. Hallar la derivada de la funci´on y = atan nx . Soluci´ on.- y 0 = natan nx sec2 nx ln a. 63. Hallar la derivada de la funci´on y = ecos x sin x. Soluci´ on.- y 0 = ecos x (cos x − sin2 x). 64. Hallar la derivada de la funci´on y = ex ln(sin x). Soluci´ on.- y 0 = ex (cot x + ln(sin x)). 1
65. Hallar la derivada de la funci´on y = x x . ¢ 1 ¡ x Soluci´ on.- y 0 = x x 1−ln . x2 66. Hallar la derivada de la funci´on y = xln x . Soluci´ on.- y 0 = xln x−1 ln x2 . 67. Hallar la derivada de la funci´on y = xx . Soluci´ on.- y 0 = xx (1 + ln x). x
