TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ASIGNATURA: MATEMÁTICA II (LIC. ADM.)- U.N.R.N. – AÑO: 2016 1) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por los métodos gráfico, de igualación y de sustitución, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son: a)

2 x  5 y  1 b)  2 x  5 y  3

 x  5 y  3  3x  2 y  8

c)

6 x  2 y  10  9 x  3 y  15

2) En los siguientes problemas, plantear el sistema de ecuaciones y luego resolverlo por cualquiera de los métodos vistos: a) Un operador turístico vende un paquete de 100 pasajes aéreos a un destino A y 50 pasajes aéreos a un destino B por un monto total de 145000$ a una agencia de turismo. Luego, esta agencia vende al público todos estos pasajes, recaudando un total de 163200$. Si con la venta de cada pasaje al destino A la agencia ganó un 10% y con cada pasaje al destino B ganó un 15%, ¿cuál era el valor de cada pasaje originalmente? b) Una empresa tiene un salario constituido por un sueldo básico y una bonificación por año de antigüedad. Si un empleado con 4 años de antigüedad gana $1900 y uno con 20 años de antigüedad gana $3500, determinar cuál es el sueldo básico y cuál la bonificación por año. 3) Proponer un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea: a) compatible determinado, b) compatible indeterminado, c) incompatible Justifica en cada caso tus respuestas. 4) Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son e interpretando geométricamente el resultado.

2 x  y  5  a)  x  2 y  2 x  y  3 

3x  4  z b)   y  2  3z

10 x  y  1  c) 5 x  y  0 2 x  y  2 

 x  2 y  3  2 x  y  4 z  7 f) 4 y  4 z  5  x g)  6 x  3 y  12 z  23  11 1   4 y  2 z   x  2 2

x  y  1  d) 2 x  2  2 y 5  5 y  5 x 

x  y  z  3 e)  2 x  y  z  0

3 x  2 y  4 z  3w  2 h)   x  3 y  3z  2w  12

5) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son e interpretando geométricamente el resultado:  x  y  3z  3 3x  y  2 z  1 2 x  y  z  4  x  y  3z  0     a)  2 x  3 y  5 z  2 b)  x  2 y  z  2 c) 3x  y  z  0 d) 6 x  2 y  4 z  3 x  y  6z  4 2 x  y  2 z  5 x  y  7z  0  3 x  y  2 z  2    

1

6) Determinar si los SEL de ejercicio 1) y los del ejercicio 4) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer. 7) Hallar el/los valor/es de k para que cada uno de los sistemas de ecuaciones sea: i) compatible determinado, ii) compatible indeterminado, iii) incompatible kx  4 y  1  a)  1  x  ky  2

x  y  z  0  b)  x  y  z  0 kx  z  0 

x  y  z  7 2 x  ky  4 z  k  c)  x  y  z  1  x  y  z  3

8) Resuelve los siguientes problemas aplicando cualquiera de los métodos vistos, planteando previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente: a) Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía? b) Para una fiesta de casamiento, un fotógrafo tiene los siguientes precios: 90 fotos grandes y 60 fotos pequeñas a $990; 135 fotos grandes y 90 fotos pequeñas a un precio de $1485; y 117 fotos grandes y 78 pequeñas a $1287. ¿Cuánto sale cada foto grande y cada foto pequeña? c) Un fabricante produce tres artículos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y 3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por año, y los costos de producción por cada unidad son 4$, 5$ y 7$ respectivamente. En el año 2008 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ganancias. Si el costo total fue de 80000$, ¿cuántas unidades de cada producto fabricaron en el año 2008? d) En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. ¿Se puede calcular cuántos hombres, mujeres y niños hay en la reunión? 200 5 3  x y p( x)  8  x e) Las ecuaciones de la demanda y oferta de cierto artículo son p( x)  3 3 7 respectivamente. Hallar el punto de equilibrio del mercado. (Resolver también gráficamente) f) Un señor colocó $20000 en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso total anual fue de $1624, y el ingreso de la inversión del 10% fue el doble del ingreso del de la del 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? g) Un grupo de personas se reunió para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resultó ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número hubiera igualado al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños se reunieron? h) Un estudiante obtuvo, en un examen que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. i) Dos productos A y B compiten en el mercado. Las demandas xA y xB de esos productos están relacionadas con sus precios PA y PB por las ecuaciones de demanda: xA=17-2PA+0.5PB y xB=203PB+0.5PA. Las ecuaciones de la oferta, que dan los precios a los cuales las cantidades xA y xB estarán disponibles en el mercado, son PA=2+xA+xB/3 y PB=2+0.5xB+xA/4. Calcule el punto de equilibro para ambos productos. 2

9) Resuelve el siguiente sistema de 4x4, si es posible, por el método de Cramer, y por Gauss. x  z  3 x  y  w  9   x  y  2z  w  3  x  2 y  z  w  2

10) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por inversión de la matriz de coeficientes: a)

 x  2 y  3z  3  2 x  5 y  7 z  6 3 x  7 y  8 z  5

 x  y  z  1  b) 2 x  3 y  z  0 3x  2 y  z  4

 x  y  z  11  c) 2 x  y  z  5 3x  2 y  24   z 

11) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss: x  y  z  2 a)   2 x  3 y  4 z  3

u  v  2w  5  b) 4u  v  3w  15 5u  2v  7 w  31

3x  4 y  4 z  1  c)  x  y  2 z  5 4 x  3 y  z  6 

Respuestas: 1) a) incompatible b) x=2,y=-1 (compatible determinado) c) compatible indeterminado. 2) a) 710$ y 1480$ b) sueldo básico=1500$, bonificación por año de antigüedad=100$. 8 1 4) a) Comp determ. x  ; y   (dos rectas que se cortan en ese punto). b) Comp. Indet {(4/3+1/3z; 3 3 2-3z; z), z R}(dos planos que se cortan en una recta) . c) Incompatible (rectas secantes dos a dos). d) Comp. Indet {(x; x-1), x R}(rectas coincidentes). e) Comp. Indet. {(1; 2-z; z), z R} (tres planos que se cortan dos a dos en una recta). f) Comp. Indet. {(3-2y;y;2-1.5y), y R} (tres planos que se 16 11 22 2 cortan dos a dos en una recta). g) Incompatible h) Comp. Indet . {( x ;  x  z ; z ;  x  z ), 5 5 5 5 x,z R} 7 5 1 9 4 8 3 5) a) Comp. determ. x  ; y   ; z  b) Comp. indeterm. y   x ; z   x 2 2 2 5 5 x 5 c) Comp. determ. (solución trivial) d) Incompatible 7) a) i) para k  -2 y k  2, ii) k=2, iii) k=-2 b) i) para ningún valor de k, ii) k=1, iii) k  1; c) i) para ningún valor de k, ii) para ningún valor de k, iii) para todo k. 8) a) 2 aviones tipo A, 3 tipo B y 5 tipo C. b) Incompatible, c) 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 de C, d) compatible indeterminado, e) x = 28 ; p = 20, f) 6000$, 6800$ y 7200$, g) 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños, h) Obtuvo un punto en la primer pregunta, 3 puntos en la segunda y 4 en la tercera, i) xA=4; xB=6, PA=8; PB=6 9) x=1 ; y=3 ; z=2 10) a) x= 1; y = -2; z = 2 ; b) x= 1; y = -1; z = 1; c) x=4; y=5; z=2 11) a) SCI x= 3/5-1/5z; y= 7/5+6/5 z ; b) S. Incompatible ; c) SCD x= 109/5; y= 40/3; z=2/5 3