Trabajo Práctico N◦ 7: Polinomios Asignatura: Razonamiento y resolución de problemas Curso cuatrimestral 2017 - EEAyT - UNRN 1) La siguiente expresión algebraica se utiliza para hallar la longitud de una circunferencia, dado su radio. L( ) = 2 · π · r (a) Completar con la o las variables entre paréntesis. (b) Dar algunos valores específicos a la o las variables, y hallar el valor numérico de la expresión algebraica. 2) La siguiente expresión algebraica se utiliza para hallar el área de un rectángulo, dadas su base y su altura. A( ) = a · b (a) Completar con la o las variables entre paréntesis. (b) Dar algunos valores específicos a la o las variables, y hallar el valor numérico de la expresión algebraica. 3) Hallar M (4) , M (7) y M (−2) siendo M (x) = (x − 5)2 (x − 7)(x + 12). 4) Completar la tabla. Luego ordenar y completar los polinomios que estén incompletos. Polinomio

Grado

Coeficiente

Coeficiente

Término

¿Está

¿Está

principal

lineal

independiente

completo?

ordenado?

P (x) = −5x2 + x + 9 A(x) = 6x − x7 − 1 Q(x) = x5 + 4x3 M (x) =

x 4

B(x) = 12 C(x) = x − 5 E(x) = 13 x2 − 2x5 J(x) = −x2 −

2 5

4

T (x) = x − 3 − x + 2x6

5) Dar ejemplos de polinomios que cumplan cada una de estas características: (a) Un monomio de grado 5. (b) Un cuatrinomio de grado 3. (c) Un trinomio con término independiente igual a 1. (d) Un binomio con coeficiente principal igual a − 13 . (e) Un trinomio de grado 2 con coeficiente principal igual a -2. 6) Determinar los valores de a, b, c y d para que P (x) sea igual a Q(x). 1 P (x) = 2x3 − 1 + x − x4 Q(x) = d + c x + (a + d)x3 + (a + b)x4 2 3 1 2 7) Dados: P (x) = x4 − 3x + 1; T (x) = x − 2; B(x) = 3x4 − 5x3 + 6x2 − , hallar: 2 2 5 (a) P + B 6 (b) − P − B 5

(c) B − P + T 1 (d) T − 2P − 5B 2

8) Dados: M (x) = −6x5 + 2x2 − 1;

N (x) = 1 + x3 ;

(e) T /3 − 3P 1 (f) 2P + B + T 4 R(x) = 9x2 + x + 21 , hallar:

(a) M · N

(c) M · R − N

(e) M 2

(b) N · R

(d) (M · R − N )/N

(f) N 2 · R

9) Si P (x) es un polinomio de grado 2 y Q(x) un polinomio de grado 3, determinar cual es el grado de los siguientes polinomios sin realizar las operaciones. (a) P (x) + Q(x)

(c) Q(x) · P (x)

(e) (Q(x))2

(b) xQ(x) − P (x)

(d) P (x) − 2x5

(f) Q(x)/P (x)

10) Calcular: 1 1 (e) (x3 + 1)(x2 − 3x)x + x5 − x2 3 2   2 3 1 3 (f) x + x − x3 x2 − x5 5 2 4

(a) (2x2 + 3)(x − 1) − x(x − 2) (b) (x + 4)(2x2 + 3x − 5) − 3x(−x + 1) (c) (x2 − 5x + 3)(x2 − x) − x(x3 − 3) 

(d)

1 1 2 5 (6x − 12) x + x+ 2 3 6 

(g) (x −

x5 )



1 − 3 + x2 3



1 −x− 2



11) Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de cada división: (a) (3x4 − 2x2 + 5x − 2) : (x − 2)     3 3 2 (b) 2x − x + 3 : x − 2 4 4 3 (c) (−x + 2x − 3x + 1) : (x + 1) (d) (3x3 − 2x2 − x) : (x + 2)

(e) (x3 − 27) : (x − 3) (f) (x4 − x2 ) : (x + 1) 

(g)

3 4 3 3 1 x + x + 2x2 + x + 3 : x + 4 8 2  



12) Hallar los restos de las divisiones del ejercicio anterior, aplicando el Teorema del Resto. 13) Sin hacer la división, determinar cuál es el resto de dividir el polinomio P (x) por x − a: (a) P (x) = −x3 + 3x − 4, a = 3

(c) P (x) = x3 − x2 + 1, a = −2, √ (d) P (x) = x4 − 2x2 − 4, a = 2

(b) P (x) = 5x2 − x − 40, a = −5

14) Los siguientes polinomios son divisibles por x − a. Calcula el valor de b en cada caso. 3 1 (c) P (x) = bx5 + x3 − , a = 2, 4 2 3 2 (d) P (x) = 3x + x − b, a = −3

(a) P (x) = x3 + 2xb − 1 + x2 , a = −1 1 (b) P (x) = x4 + bx2 − x, a = 1 4

15) Determinar el valor de b ∈ R para el cual el polinomio Q(x) = x5 + bx3 + x − 3 tiene resto 2 en la división por x + 1. 16) Escribir un polinomio de grado 4 que sea divisible por x2 + 1. 17) Escribir un polinomio de grado 6 cuyo resto en la división por x3 − 2 sea x2 + 1. 18) Dados los siguientes polinomios, averiguar cuáles de los siguientes valores de x son raíces del mismo. (a) P (x) = x2 − 8x + 7, x = 1, x = 2, x = −2, x = 7, x = 0 3 5 1 (b) P (x) = − x + x3 + x2 , x = , x = 3, x = −3, x = 0, x = 1 2 2 2 19) De cada una de los polinomios graficados a continuación, indicar la expresión que corresponde a cada uno.

2

(b)

y

(a)

y x

2.5 −3 −2 −1

x −1

1

2

3

1

2

3

4

−10

4

−2.5 −20 −5 −30 −7.5 −40 (a) P (x) = x(x − 0, 5)(x + 3)

(a) P (x) = x(x + 4)(x − 1)(x + 3)

(b) P (x) = (x − 0, 5)(x + 1)(x + 3)

(b) P (x) = (x − 4)(x − 1)(x + 3)

(c) P (x) = (x + 1)(x − 0, 5)(x − 3)

(c) P (x) = x(x + 4)(x + 1)(x − 3)

(d) P (x) = x(x + 1)(x − 0, 5)(x − 3)

(d) P (x) = x(x − 4)(x − 1)(x + 3)

20) Se sabe que un polinomio de grado 4 tiene el 2 como coeficiente principal y que tiene las siguientes raíces: 1, –1, 3 y 5. Escribir el polinomio en forma factorizada y polinómica. 21) Se sabe que un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente principal es 1 tiene como raíces el 4 (raíz doble) y el –2. Escribir el polinomio en forma factorizada y polinómica. 22) Considerar las expresiones algebraicas f y g: f (x) = 3x + 5, g(x) = 5x. (a) Si x representa cantidad de kilómetros, y la expresión f (x) el costo de un viaje en taxi ¿qué representan el 3 y el 5 en la expresión de f (x)? (b) Si además g(x) representa el costo de un viaje en remise, ¿en qué me conviene viajar, en taxi o en remise, si debo recorrer: 10 cuadras, 2 km o 5 km? (c) Una tercera empresa quiere ingresar al mercado cobrando en cada viaje el promedio de lo que cobrarían las dos anteriores. ¿Cuál sería la expresión algebraica de h(x)? 23) Considerar las expresiones algebraicas siguientes: C(x) = 8x + 1350; I(x) = 35x. (a) Si C(x) representa los costos totales de producir x cantidad de un cierto artículo, e I(x) representa los ingresos totales obtenidos al vender x artículos, explicar el significado de los coeficientes (8, 1350 y 35) en ambas expresiones algebraiclas. (b) Suponiendo que se fabricaron y vendieron 56 artículos, hallar el valor numérico de C(x) e I(x). Explicar el significado de los resultados obtenidos. (c) Ahora definimos otra expresión algebraica llamada B(x) que proporciona las ganancias o beneficios obtenidos al fabricar y vender x artículos. Escribir a B(x) como la diferencia entre los ingresos y los costos. Calcular el beneficio para x = 56, para x = 110 y para x = 42. (d) Hallar el valor de x para el cual el beneficio es cero (es decir, no hay pérdidas ni ganancias). Este valor se llama punto de equilibrio. 24) Un técnico en computadoras cobra $120 por atender un pedido a domicilio y $50 por cada hora de trabajo. (a) Expresa mediante una expresión algebraica llamada P (x) el importe que debe pagar una persona al técnico que tarda x horas en hacer un trabajo. (b) Calcula cuánto debe pagar una persona si el técnico trabajó 4 horas. (c) Calcula cuántas horas trabajó el técnico en un trabajo si le pagaron $195.

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