Septiembre 2016. Problema 2B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera la función real de variable real:

 x 2 + 2x si x < 0  f (x ) =  − x 2 + 3x si x ≥ 0  a) Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función. b) Determínense los valores de a ∈ R para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = a es m = −2. Calcúlese, para cada valor de a obtenido, la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = a. Solución. a. Las funciones parciales con las que esta definida la función son continuas en sus dominios de definición, por lo tanto, para que la función sea continua deberá ser continua en el punto frontera (x = 0). Para que la función sea continua en x = 0, debe cumplir: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (0) x →0 −

(

) )

x →0 +

Le

Lím f (x ) = Lím x + 2x = 0 + 2 ⋅ 0 = 0   x →0  2 2 Lím f (x ) = Lím − x + 3x = −0 + 3 ⋅ 0 = 0 : Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (0 ) = 0 ⇒ f (x ) es continua en R + − x →0 x →0 x →0 +  x →0 2  f (0) = −0 + 3 ⋅ 0 = 0  x →0 −

(

2

2

Al igual que en el caso de la continuidad, para que la función sea derivable tendrá que serlo en el punto frontera (x = 0). Para que la función sea derivable en x = 0, se debe cumplir: Lím f ′(x ) = Lím f ′(x )

[

x →0 −

x →0 +

]

 D x 2 + 2x si x < 0  2x + 2 si x < 0   f ′(x ) =  = D − x 2 + 3x si x > 0 − 2x + 3 si x > 0   Lím f ′(x ) = Lím (2x + 2) = 2 ⋅ 0 + 2 = 2  x →0 x →0 − : Lím f ′(x ) ≠ Lím f ′(x ) Lím f ′(x ) = Lím (− 2x + 3) = −2 ⋅ 0 + 3 = 3  x → 0 − x →0 +  + x → 0 x →0 

[

]

f(x) no es derivable en x = 0

Modelo 2014. Problema 2B.- (Calificación máxima: 2 puntos) La figura representa la gráfica de una función f : [‒6; 5] → R. Contéstese razonadamente a las preguntas planteadas.

d) ¿En qué valores de (‒6; 5) f no es derivable?

1

Solución. Gráficamente, las funciones continuas no son derivables en los puntos angulosos, debido a que d. en estos puntos la derivada por la izquierda no coincide con la derivada por la derecha, condición imprescindible para que una función sea derivable, teniendo en cuenta lo anterior, la función no es derivable en x = 1 ya que según se puede observar, f ′ 1− < 0 ≠ f ′ 1+ > 0.

( )

( )

Septiembre 2012. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: si x ≤ 1  ax + b f (x ) =  3 2 x − x + 1 si x > 1 (a) Calcúlense los valores de a y b para los que la función f es continua y derivable. Solución. a. Para que f(x) sea continua y derivable en todo R, debe serlo en el punto frontera (x = 1). Para que f(x) sea continua en x = 1 se debe cumplir: Lím f (x ) = f (1) x →1

Teniendo en cuenta que para que exista límite en un punto, deben existir los laterales y ser iguales, la definición anterior se extender a: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (1) x →1−

x →1+

Calculando por separado cada término e igualando, se obtiene una ecuación con dos incógnitas. Lím f (x ) = Lím(ax + b ) = a ⋅ 1 + b = a + b  x →1 x →1−   Lím f (x ) = Lím x 3 − x 2 + 1 = 13 − 12 + 1 = 1 : a + b = 1 + x → 1 x →1  f (1) = a ⋅ 1 + b = a + b 

(

)

Para que la función sea derivable en x = 1, se debe cumplir: f ′ 1− = f ′ 1+

( ) ( )

a si x < 1  La derivada de La función es: f ′(x ) =  2 3x − 2x si x > 1

( )

 f ′ 1− = a :a =1 2 f ′ 1 = 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = 1

( ) +

Sustituyendo el valor de a en la condición de continuidad se obtiene b. a + b = 1  a = 1 :   a = 1 b = 0 Sustituyendo los parámetros se obtiene una función continua y derivable en todo R. x si x ≤ 1  f (x ) =  3 2 x − x + 1 si x > 1

Junio 2012. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por  x 2 − 4x + 3 si x ≤ 1 f (x ) =  − x 2 + 4x − 3 si x > 1 (a) Estúdiese la continuidad y la derivabilidad de la función f. Solución. a.

() ( )

Para que la función sea derivable en x = 1: f ′ 1− = f ′ 1+  2x − 4 si x < 1 f ′(x ) =  − 2x + 4 si x > 1

2

( ) ( )

f ′ 1− = 2 ⋅ 1 − 4 = −2 ′ − +  : f 1 ≠ f ′ 1 ⇒ NO DERIVABLE EN x = 1. + ′ f 1 = −2 ⋅ 1 + 4 = 2

( ) ( )

Modelo 2012. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: si x3  a) Calcúlense a, b, c, para que la función f sea continua en todos los punto y derivable en x = 0. Solución. a. Para que la función sea continua en R, debe ser continua en 0 y en 3, que son los puntos frontera. •

Para que la función sea continua en x = 0: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (0) x →0 −

x →0 +

Lím f (x ) = Lím (2x + 2) = 2 ⋅ 0 + 2 = 2

   Lím f (x ) = Lím ax + bx + c = a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = c : c = 2 + + x →0 x →0   f (0) = a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = c x →0 −

•

(

x →0 − 2

)

Para que la función sea continua en x = 3: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (3)

(

x →3−

)

x →3+ 2

Lím f (x ) = Lím ax + bx + c = a ⋅ 3 + b ⋅ 3 + c = 9a + 3b + c  x →3−  Lím f (x ) = Lím (3 − x ) = 3 − 3 = 0  : 9a + 3b + c = 0 + + x →3 x →3   f (3) = a ⋅ 3 2 + b ⋅ 3 + c = 9a + 3b + c

x →3−

•

2

Para que la función sea derivable en x = 0: f ′ 0− = f ′ 0+

si  2  f ′(x ) = 2ax + b si  −1 si 

( ) ( ) x3 −

+

:b = 2

Sustituyendo los valores de b y c en la segunda igualdad se obtiene a. 8 9a + 3 ⋅ 2 + 2 = 0 ; a = − 9 Para que la función sea continua en todo R y derivable en cero, su expresión debe ser:  2x + 2 si x3 

Junio 2011. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:  a si x ≤ −1  f (x ) =  2x  x − b si x > −1  4 a) Calcúlense a, b para que f sea continua y derivable en x = −1.

3

Solución. a. Para que la función sea continua en x = ‒1, se debe cumplir: f (− 1) = Lím f (x ) x → −1

Teniendo en cuenta la definición de límite: f (− 1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x → −1−

f (− 1) =

x → −1+

a a a x 2 − b (− 1)2 − b 1 − b = = −a ; Lím f (x ) = Lím = = = −a ; Lím f (x ) = Lím −1 −1 4 4 4 x → −1− x → −1− x x → −1+ x → −1+

Igualando se obtiene una ecuación con dos incógnitas. 1− b −a = 4 Para que la función sea derivable en x = ‒1, se debe cumplir:

( ) ( )

f ′ − 1− = f ′ − 1+   a ′     x f ′(x ) =  ′ 2  x − b   4   

si x < −1  − a  2 =x  x si x > −1  2

( ) ( )

−a  − = −a  f ′ − 1 = (− 1)2 : 1 si x > −1 f ′ − 1+ =  2

si x < −1

Igualando se obtiene el valor de a:

−a =

1 1 : a=− 2 2

Sustituyendo en la 1ª ecuación se calcula b. −1 1 − b − = : b = −1 2 4

 −1 si x ≤ −1  f (x ) =  22x  x + 1 si x > −1  4

Septiembre 2010. F.M. Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: x 2 + 1 si x < 0  f ( x ) = ax + b si 0 ≤ x ≤ 3 x − 5 si x > 3  a) Calcúlense a y b para que la función f sea continua en todos los puntos. b) ¿Existen valores de a y b para los cuales f es derivable en x = 3? Razónese la respuesta Solución. a. La función está definida por expresiones polinómicas, las cuales son continuas en sus dominios de definición, para que la función sea continua deberá ser continua en los puntos frontera (x = 0 y en x = 3 ). En x = 0: Para que la función sea continua se debe cumplir: Lím f (x ) = f (0) x →0

Para que exista límite cuando x tiende a cero, deben existir los límites laterales en 0 y ser iguales, por lo que la condición de continuidad la podemos cambiar por: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (0) x →0 −

x →0 +

4

Teniendo en cuenta la definición de la función en cero y en su entorno:

(

)

Lím x 2 + 1 = Lím (ax + b ) = a ⋅ 0 + b Resolviendo: 1 = b

x →0 −

x →0 +

Repitiendo los mismos conceptos en x = 3: Lím f (x ) = Lím f (x ) = f (3) x →3−

x →3+

Teniendo en cuenta la definición de la función en cero y entorno a cero: Lím (ax + b ) = Lím (x − 5) = a ⋅ 3 + b Resolviendo: 3a + b = −2 x →3−

x →3 +

Las dos condiciones permiten plantear un sistema cuya solución son los valores de a y b.  b =1 a = −1 :  3a + b = −2  b = 1

x 2 + 1 si x < 0  f ( x ) = − x + 1 si 0 ≤ x ≤ 3 x − 5 si x > 3  b. Se pide calcular los valores de a y b para que la fundón se continua y derivable en x = 3, independientemente de los que pase en x = 0. Continua: 3a + b = −2 del apartado a) x3 

( ) ( )

Formando un sistema con las dos condiciones se calculan los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x = 3.  a =1 : a = 1; b = −5  3a + b = −2 x 2 + 1 si x3 

Junio 2010. F.M. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: − x 2 − x + a si x ≤ 1  f (x ) =  3 si x > 1  bx a) Calcúlense los valores de a y b, para que f sea continua y derivable en todos los puntos. Solución. a. Los valores de a y b se calculan planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a partir de las dos condiciones que se piden a la función. i. Continua en x = 1: f (1) = Lím f (x ) x →1

f (1) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x →1−

x →1+

(

)

f (1) = −12 − 1 + a = Lím − x 2 − x + a = Lím −

x →1

−2+a = ii.

Derivable en x = 1

5

+

x →1

3 b

3 bx

− 2x − 1 Sí x < 1  f ′(x ) =  − 3 Sí x > 1  bx 2

( ) ( )

f ′ 1− = f ′ 1+ − 2 ⋅1 − 1 =

−3 b ⋅12

−3 : b=1 b

−3 =

Sustituyendo el valor de b en la condición de continuidad se calcula a. 3 −2+a = : a = 5 1 − x 2 − x + 5 si x ≤ 1  f (x ) =  3 si x > 1  x

Junio 2010. F.G. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por: x2  a) Calcúlense a, b, para la función f sea continua y derivable en x = 2. Solución. a. Para que la función sea continua en x = 2 se debe cumplir: f (2) = Lím f (x ) = Lím f (x ) x →2−

x →2 +

 f (2 ) = 4 − 2 2 = 0   Lím f (x ) = Lím 4 − x 2 = 4 − 2 2 = 0  : Continua : 2a + b = 0 − − x →2 x →2  Lím f (x ) = Lím (ax + b ) = a ⋅ 2 + b = 2a + b 2 2 x →2 x →2 

(

)

Para que la función sea derivable en x = 2 se debe cumplir: f ′ 2− = f ′ 2+

( ) ( )

Derivada de la función: si x2 

( ) ( )

Las dos igualdades permiten plantear un sistema. 2a + b = 0 a = −4 :   a = −4  b = 8

6