Ejercicio 1:   i. Dar las condiciones que debe cumplir una función f(x) para ser continua en un punto x = c  ii. Mostrar ejemplos gráficos y explicar los distintos casos posibles de discontinuidad de una  función en un punto.  iii. Enunciar al menos tres propiedades que cumple una función continua en un cerrado [a,b].  Muestre ejemplos.  Ejercicio 2: Calcular los siguientes límites analizando límites laterales si corresponde:   2x  x 2 1 1 x 4x2  16 a) lim        b) lím 3                         c)   lim 2 x x2 x  8 x0 x 1 x   1  2               si x  0 Ejercicio 3: a) Sea la función siguiente  x    f(x)  x 2  3x  2              si 0  x  3         Se pide calcular:  lim f(x),    lim f(x),      x 0 x 0 2  2x  1             si x  3   lim f(x),  y   lim f(x)     3 x3 x3    Luego  decir  si  x  =  0  y  x  =  3  son  puntos  de  discontinuidad,  y  en  tal  caso,  de  qué  tipo  de  discontinuidad se trata. 

b) Encontrar y clasificar todos los puntos de discontinuidad de la función siguiente:  x 3  x2 f(x)      x2  2x Ejercicio  4:  Dada  la  función  a  continuación,  con  dominio  en  R    {0},  complétela  cuando  sea  posible de modo que en el punto x = 1 resulte  (a) continua, (b) discontinua evitable, (c) sea  discontinua  de salto finito  (d) tenga límite infinito. Justifique.   2x 2   4x ‐ 6      si x  1   2  x  1 f(x)  ............                si x  1   ............                si x  1     Ejercicio 5: Calcular los siguientes límites indeterminados:  x 3  4x a)  Lím     b)  Lím x 2  x 4  3    x  x 2 x 2 Ejercicio 6: Encontrar y clasificar todos los puntos  de discontinuidad de la siguiente función:  si x  2 2 x  4 1    f (x )       2  x -4 si x   2  e   Ejercicio 7: Dada la siguiente función complétela cuando sea posible de modo que en x = 2:  (a)  sea  continua,  (b)  tenga  límite  finito  pero  sea  discontinua,  (c)  no  tenga  límite  ni  finito  ni  infinito (d) presente un salto infinito.  

 x 2  2  3x  x 2             si x   2  f(x)  ............                si x   2   ............                si x   2       Ejercicio 8:   1. Describir  la  diferencia  entre  una  discontinuidad  evitable  y  una  que  no  lo  es.  Mostrar  ejemplos y analizar los distintos casos posibles para una discontinuidad que no es evitable.  2. Considere  una  función  f(x)  que  no  es  constante  tal  que  f(2)  =  3  y  f(5)  =  1.  ¿Es  posible  asegurar que f(x) = 0 entre 2 y 5?  3. Una propiedad de las funciones continuas en un intervalo cerrado dice que si f es continua  en  [a,b]  cualquier  valor  C  entre  f(a)  y  f(b)  tendrá  una  preimagen  en  el  intervalo  (a,b).  Explique esta propiedad ayudándose de un ejemplo gráfico.  4. Es verdad que si los límites laterales en un punto de una función son iguales la función es  continua en ese punto? Justificar    Ejercicio 9: Dada la siguiente función, realizar el estudio completo de la misma llegando a su  gráfico aproximado.  3

2

2





    f ( x )  6.e 2 x  x ( x  1), f (x)  6.e 2 x  x  2 x 2  4 x  1  

Ejercicio 10: Calcular la derivada primera de las siguientes funciones, expresando el resultado  de la manera más simplificada posible.  a)

 

 

 

 b)  



  

Ejercicio 11: HACER (BIEN) UNO DE LOS DOS  a) Se quiere hacer una caja de base cuadrada tal que el perímetro de una cara lateral sea de 30  cm. Hallar las dimensiones para  que  el volumen sea máximo.   b) Se desea construir una caja con tapa de 9 m3 de capacidad tal que la longitud de un lado de  la base sea doble que la del otro, y de modo que la superficie total de sus 6 caras sea mínima.  Dar las dimensiones de la caja.  Ejercicio 12: Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución real.  Ejercicio 13: Determinar los valores del parámetro b, para que las tangentes a la curva de la  función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en x = 1, x = 2 sean paralelas.  Ejercicio 14: Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x)  tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con  el eje x.  Ejercicio 15: Hacer un estudio completo de la siguiente función, justificando todos los pasos y  realizando un gráfico aproximado:   sabiendo que f ’(x) =  1 2 .  y que f ”(x) =  6 4 .   f(x) =  .   Ejercicio 16: Hallar la primera derivada de  f ( x )  simplificada.  

x (1  x 2 ) 2

 y expresarla en la forma 

  Ejercicio 17 :La figura  muestra la gráfica de una  función y de sus dos  primeras derivadas.  Identificar cada una de ellas  y explicar claramente los  fundamentos que llevan a  decir cuál es cada una.   

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

-1

-2   Ejercicio 18: Se va a construir un edificio de estacionamiento que debe tener una superficie de  7600 m2. El código de planeamiento urbano obliga a construir el edificio respetando un retiro  de 11 metros del límite del terreno al fondo y al frente,  y un retiro de 7 metros de los límites  laterales del terreno.  Calcular cuáles serían las mínimas dimensiones del terreno que permitan  construir el edificio (el terreno es rectangular).    Ejercicio 19: (a) Dibujar el gráfico de una función que cumpla con las condiciones siguientes: 

o o o o o

f tiene en x = 1 una discontinuidad de salto finito  f tiene en x = 0 una asíntota vertical  f(x) alcanza un máximo relativo en x = 3  f  es cóncava negativa si x