Muestreo y distribuciones por muestreo

Estimador puntual Variable Aleatoria

Xi

Estadístico

Parámetro

X

μ Estimación puntual

Muestra

S

σ

Estimador puntual Variable Aleatoria

Estadístico

Parámetro

Xi

μ

Xi

Estimación puntual

Muestra i

Ahora los estadísticos también son Variables aleatorias!

Si

σ Tienen una Función de distribución de probabilidad asociada

U5 y 6 – Ej 1: En un famoso Hotel Barilochense se esta evaluando la posibilidad de ofrecer un servicio de Treking guiado por los refugios más importantes de los alrededores. Sin embargo se desea saber si los huéspedes estarían dispuestos a pagar un monto lo suficientemente alto como para cubrir los costos de un guía y los seguros que la actividad implica. Por ello el gerente decide realizar múltiples muestras donde se encueste a 4 huéspedes aleatoriamente preguntandoles cuanto estarían dispuestos a pagar por una actividad semejante. Si hubiera indicios de que los clientes estarían dispuestos a pagar en promedio más de 100$ Se llevará adelante la actividad

Antes – Una muestra – Un estadístico

78 89 95 103

Media = 91,25

Ahora – Muchas Muestras – Muchas Medias Muestra X1 X2 X3 X4 Media Muestra X1 X2 X3 X4 Media

1 78 89 95 103 91,25 11 113 86 79 80 89,5

2 102 120 123 75 105 12 114 123 103 100 110

3 99 118 82 124 105,75 13 102 119 78 89 97

4 108 92 66 116 95,5 14 76 98 103 104 95,25

5 102 107 92 94 98,75 15 103 65 104 90 90,5

6 98 95 102 119 103,5 16 104 113 102 100 104,75

7 92 103 74 135 101 17 112 88 86 105 97,75

8 72 85 105 92 88,5 18 128 91 90 121 107,5

9 103 123 104 85 103,75 19 122 96 82 84 96

10 95 106 103 112 104 20 96 117 109 78 100

Distribución de frecuencias de las medias muestrales

Las conclusiones serán muy distintas si se toma la muestra del día 3 o la del día 8. En el primer caso el hotel decidirá prestar el servicio en el segundo de ninguna manera Muestra X1 X2 X3 X4 Media Muestra X1 X2 X3 X4 Media

1 78 89 95 103 91,25 11 113 86 79 80 89,5

2 102 120 123 75 105 12 114 123 103 100 110

3 99 118 82 124 105,75 13 102 119 78 89 97

4 108 92 66 116 95,5 14 76 98 103 104 95,25

5 102 107 92 94 98,75 15 103 65 104 90 90,5

6 98 95 102 119 103,5 16 104 113 102 100 104,75

7 92 103 74 135 101 17 112 88 86 105 97,75

8 72 85 105 92 88,5 18 128 91 90 121 107,5

9 103 123 104 85 103,75 19 122 96 82 84 96

10 95 106 103 112 104 20 96 117 109 78 100

¿Cual es la posibilidad de tomar un cliente al azar y esté dispuesto a pagar más de 100$? ●

Utilizando la muestra 3 P(Xi>100/ μ̂ =105,75 y σ̂ = 19,09)=0,62

●

Utilizando la muestra 8 P(Xi>100/ μ̂ =88,5 y σ̂ = 13,8)= 0,2

¿Es lo mismo preguntarse... ¿Cual es la posibilidad de tomar un cliente al azar y esté dispuesto a pagar más de 100$? que ¿Cuál es la probabilidad de tomar 4 personas al azar y estén en dispuestas a pagar en promedio más de 100$?

Variable Aleatoria

Estadístico

Parámetro

Xi

μ

Xi Cantidad de dinero que está dispuesta a pagar cada persona que se aloja en el hotel

Cantidad de dinero PROMEDIO que estan dispuestos a pagar cada 4 personas que se alojan en el hotel

¡¡NO!! ¿Cual es la posibilidad de tomar un cliente al azar y esté dispuesto a pagar más de 100$? Una nos pregunta por la variable aleatoria Xi ¿Cuál es la probabilidad de tomar 4 personas al azar y estén en dispuestas a pagar en promedio más de 100$? La otra nos pregunta por el estadístico Media Muestral Xi

¿Cual es la posibilidad de tomar un cliente al azar y esté dispuesto a pagar más de 100$? P(Xi>100/ μ̂ Y σ̂ )

¿Cuál es la probabilidad de tomar 4 personas al azar y estén en dispuestas a pagar en promedio más de 100$? x >100/ μ̂̄x Y σ̂̄x ) P( ̄

El gerente cree que si la media poblacional es igual a 100 $, sin importar con que varianza, el servicio se venderá adecuadamente. Sin embargo le preocupan los valores más bajos de media muestral obtenidos en las muestras 8 y 11. ¿Cual es la probabilidad de que el estadístico media de una muestra tomada al azar sea menor o igual a 90 $ siendo que la media poblacional es 100 y el desvío estándar es 20? Muestra X1 X2 X3 X4 Media Muestra X1 X2 X3 X4 Media

1 78 89 95 103 91,25 11 113 86 79 80 89,5

2 102 120 123 75 105 12 114 123 103 100 110

3 99 118 82 124 105,75 13 102 119 78 89 97

4 108 92 66 116 95,5 14 76 98 103 104 95,25

5 102 107 92 94 98,75 15 103 65 104 90 90,5

6 98 95 102 119 103,5 16 104 113 102 100 104,75

7 92 103 74 135 101 17 112 88 86 105 97,75

8 72 85 105 92 88,5 18 128 91 90 121 107,5

9 103 123 104 85 103,75 19 122 96 82 84 96

10 95 106 103 112 104 20 96 117 109 78 100

El gerente cree que si la media poblacional es igual a 100 $, sin importar con que varianza, el servicio se venderá adecuadamente. Sin embargo le preocupan los valores más bajos de media muestral obtenidos en las muestras 8 y 11. ¿Cual es la probabilidad de que el estadístico media de una muestra tomada al azar sea menor o igual a 90 $ siendo que la media poblacional es 100 y el desvío estándar es 20?

̂ y σ de la Variable Aleatoria Xi μ̂

Entonces... ¿Como Calculamos

μ̂̄x

y

σ̂ ̄x ?

E (̄ x ) = μ̂̄x =Promedio de todas las medias

̂ muestrales posibles = media poblacional = μ

̂ (σ) σ̂̄x = = √n

=100$

20 = 10$ √4

x