DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL. 1. Hallar el punto del intervalo [0,2] en el que la función. ∫ +. −. = x. 0. 2 dt·. 1t. 1t. )x(F alcanza su valor mínimo. 2.
DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL 1. Hallar el punto del intervalo [0,2] en el que la función F( x ) =
∫
x
0
t −1
·dt t 2 +1
alcanza su valor mínimo. 2x
2. Sea F( x ) =
∫
3. Sea F( x ) =
∫ (t
4. Sea. F( x ) =
0
2
e t ⋅ dt . Hallar el valor de F'(0).
x2
)
2
− 1 ⋅ dt . Hallar los posibles puntos extremos de dicha función.
1
∫
x3
0
∫
2
e t ⋅ dt . Calcular F'(x).
sen x
5. Sea F( x ) = arcsen t ⋅ dt . Calcular F'(x). 0
6. Sea la función F( x ) =
∫
x2
o
2
e − t dt
a) Calcular F’(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar los máximos y mínimos. b) Calcular F’’(x) y estudiar la concavidad y convexidad de F(x). Esbozar la gráfica con los datos obtenidos.
∫ 7. Calcular el siguiente límite: Lím
x
0
(
)
t 2 ·log 1 + 4 t 2 ·dt
x5 nota: el símbolo log representa al logaritmo neperiano. x →0
8. Calcular los puntos donde se anula la derivada de la función f ( x ) = −2x +
∫
2x
0
e t ² −10 t + 24 ·dt
9. Sea f una función real de la variable real, continua y positiva, tal que x
∫ f (t)·dt = e 0
x
+ arctg(x ) + a
Determinar el valor de la constante a y hallar f (x) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. 10. Se consideran las funciones F( x ) =
∫
x
0
2
e t ·dt , g(x) = x2
Calcular las derivadas de las funciones compuestas ( F o g ) ‘ ( x ) y ( g o F ) ‘ ( x ). 11. Sea f ( x ) una función continua y derivable en toda la recta real, tal que f ( 0 ) = 0, f ( 1 ) =0, f ( 2 ) = 2, f ’ ( 0 ) = 1 , f ‘ ( 1 ) = 2. x a) Calcular g ‘ ( 1 ), siendo g ( x ) = f f (t + 1)·dt 1 g( x ) b) Calcular Lím x→1 f ( x )
∫
12. Calcular F'(x) y simplificar el resultado, siendo F( x ) =
∫
arcsen x 2
0
e sen t ·dt , − 1 < x < 1
13. Hallar la raíz de la ecuación F'(x) = 0 que pertenece al intervalo [0, 1], siendo F( x ) = x −
