DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL 1. Hallar el punto del intervalo [0,2] en el que la función F( x ) =

∫

x

0

t −1

·dt t 2 +1

alcanza su valor mínimo. 2x

2. Sea F( x ) =

∫

3. Sea F( x ) =

∫ (t

4. Sea. F( x ) =

0

2

e t ⋅ dt . Hallar el valor de F'(0).

x2

)

2

− 1 ⋅ dt . Hallar los posibles puntos extremos de dicha función.

1

∫

x3

0

∫

2

e t ⋅ dt . Calcular F'(x).

sen x

5. Sea F( x ) = arcsen t ⋅ dt . Calcular F'(x). 0

6. Sea la función F( x ) =

∫

x2

o

2

e − t dt

a) Calcular F’(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar los máximos y mínimos. b) Calcular F’’(x) y estudiar la concavidad y convexidad de F(x). Esbozar la gráfica con los datos obtenidos.

∫ 7. Calcular el siguiente límite: Lím

x

0

(

)

t 2 ·log 1 + 4 t 2 ·dt

x5 nota: el símbolo log representa al logaritmo neperiano. x →0

8. Calcular los puntos donde se anula la derivada de la función f ( x ) = −2x +

∫

2x

0

e t ² −10 t + 24 ·dt

9. Sea f una función real de la variable real, continua y positiva, tal que x

∫ f (t)·dt = e 0

x

+ arctg(x ) + a

Determinar el valor de la constante a y hallar f (x) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. 10. Se consideran las funciones F( x ) =

∫

x

0

2

e t ·dt , g(x) = x2

Calcular las derivadas de las funciones compuestas ( F o g ) ‘ ( x ) y ( g o F ) ‘ ( x ). 11. Sea f ( x ) una función continua y derivable en toda la recta real, tal que f ( 0 ) = 0, f ( 1 ) =0, f ( 2 ) = 2, f ’ ( 0 ) = 1 , f ‘ ( 1 ) = 2.  x  a) Calcular g ‘ ( 1 ), siendo g ( x ) = f  f (t + 1)·dt  1   g( x ) b) Calcular Lím x→1 f ( x )

∫

12. Calcular F'(x) y simplificar el resultado, siendo F( x ) =

∫

arcsen x 2

0

e sen t ·dt , − 1 < x < 1

13. Hallar la raíz de la ecuación F'(x) = 0 que pertenece al intervalo [0, 1], siendo F( x ) = x −

∫ tg(t )⋅ dt x

0

2

14. Calcular F’(1), siendo x

F( x ) =

∫ (t

x −2

1 2

+ 2t + 2

)

2

dt