Autor: Ocean. Virginia Sepúlveda Física I - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew

Unidad 2: Cinemática de la partícula Concepto de movimiento, trayectoria y desplazamiento. Movimiento rectilíneo uniforme. Vector posición. Vector desplazamiento. Velocidad. Rapidez. Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Velocidad media e instantánea. Aceleración media e instantánea. Caída libre y tiro vertical. La aceleración de la gravedad. Movimiento en el plano. Velocidad y aceleración en dos dimensiones. Alcance. Altura máxima. Ecuación de la trayectoria. Proyectiles en Biomecánica. Movimiento circular uniforme. Definición de movimiento En sentido general, decimos que un cuerpo se mueve cuando cambia de posición durante un intervalo de tiempo en el cual es observado. El movimiento implica cambios en la dimensión espacial y en la dimensión temporal. Los cambios temporales y espaciales se denominan "variaciones". La variación espacial se llama "desplazamiento" y se representa con ∆x. La variación temporal se llama "intervalo temporal" y se representa con ∆t.

En el Universo, los cuerpos están, de algún modo, en movimiento. Pero estos cuerpos presentan una gran diversidad, ya sea en forma, tamaño, sus propiedades o constitución interna. Estudiar el fundamento del movimiento de cuerpos tan variados, con posibilidades de movimientos particulares, puede resultar muy complejo. Por eso, en Física, comenzamos hablando de "cuerpos puntuales". Un cuerpo puntual, es aquel cuyas dimensiones se pueden considerar despreciables, si las comparamos con el entorno en el que estamos estudiando su movimiento. No hay ninguna característica o condición especial para considerar un cuerpo como "puntual" en alguna circunstancia. Los cuerpos puntuales también se denominan "puntos materiales" ya que se considera su materia concentrada en un único punto representativo del cuerpo.

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Los cuerpos puntuales sólo pueden trasladarse, no tienen rotación, son una idealización matemática., sin volumen, por lo tanto no existe un radio de giro respecto de algún eje que pase por su centro. Descripción vectorial del movimiento La evolución de las "variaciones" en el movimiento de un cuerpo puntual, requieren del uso de vectores. El vector posición: Para indicar la posición de un cuerpo con respecto a un  sistema de referencia espacial, se utiliza el "vector posición r ". La trayectoria: Es la unión de los sucesivos puntos del espacio que un cuerpo va ocupando en su movimiento. La velocidad media: de un cuerpo durante un intervalo ∆t, se define como:

   r  r0 r V   t  t0 t

En una gráfica x/t, la componente de la velocidad media es la pendiente de la línea recta que une dos puntos de la gráfica. Hay que tener en cuenta que la gráfica de la coordenada frente al tiempo no representa la trayectoria del objeto. La velocidad media, caracteriza qué tan rápido se mueve un cuerpo y la dirección de su movimiento durante un intervalo de tiempo. La velocidad instantánea, caracteriza qué tan rápido se mueve un objeto y la dirección de su movimiento, pero en un instante de tiempo. En el gráfico x/t, cuando t → t0, la pendiente de cada línea que une los puntos correspondientes a t0 y t, se aproxima a la pendiente de la línea tangente a la curva en t = t0 La componente de la velocidad instantánea es el valor límite de la componente de la velocidad media cuando ∆t → 0. x Vx  lím t  0 Vx  lím t 0 t

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La pendiente de la línea tangente a una curva en un punto se denomina pendiente de la curva en ese punto. Esa pendiente está dada por la derivada de x con respecto a t Pendiente de la curva lím t  0 Luego La definición general queda V 

x dx  t dt

dx dt

Vx 

 r V  limt 0 t  dr V dt

r t

Aceleración La aceleración de un cuerpo caracteriza lo rápido que cambia su velocidad, tanto en módulo como en dirección. Es el "ritmo de cambio de la velocidad". La aceleración media se define en un intervalo t

a

V  V0 V  t  t0 t

la aceleración instantánea será a  lím t 0 a  lím t  0

a

V dV  t dt

dV dt

Movimientos con aceleración constante Ecuaciones que unidimensional. ax 

permiten

el

análisis

de

problemas

Vx Vx  V0 x  t t 0

La ecuación Vx tiene la forma y  mx  b (recta)

de

la

Vx  V0 x  a x  t (1)

cinemática

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La posición varía con el tiempo. ¿Cómo es esa variación? * 1  (Vx  V0 x ) (2) sólo si Vx(t) es una recta. 2  r x  x0 Recordemos que V  V pro  (3)  t t  t0 Igualo y elimino Vx V  V pro, x 

1 x  x0  (V0 x  ax  t  V0 x )  2 t  t0 * x0  V0 x  t 

1 a x  t 2  x (4) 2

La ecuación tiene la forma y  ax 2  bx  c La gráfica es una parábola.

Una ecuación muy útil es la que se obtiene de combinar (1) y (4) y eliminar t De (1)

t

x0  V0 x  (

Vx  V0 x ax

Vx  V0 x 1 V  V0 x 2 )   ax  ( x ) x ax 2 ax 2

x0 

en (4)

2

2

V0 x  Vx V0 x V V V V   x  x 0x  0 x  x ax ax 2a x ax 2a x 2

2

Vx V  0 x  x  x0 2a x 2a x 2

2

Vx  V0 x  2a x  ( x  x0 ) (5)

También podemos combinar (1) y (4) y eliminar ax De (1) a x 

Vx  Vox t

en (4) x  x0  V0 x  t 

1 Vx  V0 x 2 ( )t 2 t

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x  x0  V0 x  t 

1 1  Vx  t   V0 x  t 2 2

x  x0 

1 1  V0 x  t   Vx  t 2 2

x  x0 

1  t  (V0 x  Vx ) (6) 2

Estrategia para resolver problemas 1- Al abordar un problema debemos interpretar completamente su enunciado a través de un dibujo en el que indicaremos todos los datos, incluso los implícitos, e incógnitas. 2- Si vamos a representar gráficos en ejes cartesianos, es importante indicar cuál es el sentido positivo. Esto determinará los signos de la velocidad y la aceleración. 3- Una vez planteado el problema con lenguaje coloquial, es importante traducirlo a símbolos y ecuaciones. 4- Identificadas las incógnitas, es necesario seleccionar las ecuaciones que serán útiles para resolver el problema. Cuando hay que despejar una incógnita de alguna ecuación, es conveniente despejar usando sólo símbolos. A continuación se sustituyen los valores y se resuelve. No hay que olvidar las unidades. La gran mayoría de las cantidades físicas no tienen significado si no están acompañadas de alguna unidad de medida. 5- Obtenidos los resultados, examinar si son lógicos. ¿Están dentro del rango de valores esperados? Caída libre Llamamos caída libre a la caída de un cuerpo con aceleración constante (casi) bajo la influencia de la gravedad (atracción gravitacional de la tierra). Este es un modelo físico idealizado. Aristóteles pensaba equivocadamente que los objetos pesados caían con mayor rapidez que los livianos, en proporción a su peso (s. IV a.C.). Diecinueve siglos después, Galileo experimentó dejando caer balas desde la torre inclinada de Pisa. Si puede ignorarse el rozamiento del aire, todos los cuerpos en un lugar específico, caen con la misma aceleración, independientemente de su tamaño, peso o composición. Si la distancia de caída es pequeña comparada con el radio terrestre, la aceleración es constante. Esta aceleración se identifica con "g" y se conoce como aceleración debida a la gravedad. En nuestro modelo idealizado, despreciamos los efectos del aire, la rotación terrestre y la disminución de la aceleración cuando la altitud es más grande. A este movimiento idealizado, lo llamamos caída libre e incluimos también movimientos ascendentes (tiros verticales). Así, la aceleración "g" se puede considerar constante durante todo el movimiento. La magnitud de "g" empleada para los cálculos es de 9,8 m/s 2. Su dirección es vertical y su sentido hacia abajo.

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La magnitud y dirección de "g" es igual si una partícula se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Existen variaciones de la magnitud de "g", con la altitud y con la latitud, que se estudiarán más adelante. Ecuaciones Para estudiar este movimiento se utilizan las ecuaciones de aceleración constante, con algunas modificaciones en su expresión: (a) La dirección de caída libre (o tiro vertical) se designa eje y, siendo positivo el sentido hacia arriba. (b) Se reemplaza la aceleración constante "a" por "-g". V y  V0 y  gt

y  y 0  V0 y t 

1 2 gt 2

Movimiento de un proyectil (dos dimensiones) Proyectil es todo objeto lanzado con una velocidad que describe una trayectoria totalmente afectada por la aceleración gravitatoria. El modelo idealizado desprecia el rozamiento del aire y la curvatura y rotación de la tierra. Este modelo tiene limitaciones. La curvatura de la tierra debe considerarse en los misiles de largo alcance y el rozamiento del aire es crucial para los paracaidistas.

Componentes de la aceleración de un proyectil ay  g Componentes de la velocidad de un proyectil Vx  V0  cos 0

Vy  V0  sen  0  g  t

Coordenadas de un proyectil

x  V0  cos 0  t

y  V0  sen  0  t 

1 g t2 2

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Ecuación de la trayectoria De x  V0  cos 0  t

En y  V0  sen  0  t 

1 g t2 2

t

y  V0  sen  0  (

y  tg  0  x 

Módulo de la velocidad inicial 2

V0  V0 x  Voy

x 1 x )   g ( )2 V0  cos 0 2 V0  cos 0

g  x2 2  (V0  cos 0 ) 2

Módulo de la velocidad en cualquier punto

2

Angulo de tiro V tg  0  0 y V0 x

x V0  cos 0

2

V  Vx  V y

2

Dirección en cualquier punto Vy tg  Vx

Para analizar en clase: Podemos demostrar que el alcance R de un proyectil que tiene rapidez inicial V0 y un ángulo de tiro θ0 es 2 V R  0  sen 2 0 g Demostración 1 Para y ó 2t ( y )  t ( x) Vy  0 Ymáx t ( y )   t  x  2 V  sen  0 ty  0 g x  V0 x  t x

 V  sen 0    2 x  V0  cos 0   0 g  

x  V0 x  2t y

2 sen  0  cos 0  sen 2 0 2

R

V0  sen 2 0 g

Con este dato, podemos demostrar que con un ángulo de tiro de 45º se obtiene el alcance máximo. 2

V R  0  sen 2 0 g 2

v dR  2 0  cos 2 d o g cos 2 0  cos 2  0  sen 2  0

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2

dR V V  2  0  cos 2 0  2  0  cos2  0  sen 2  0  0 d 0 g g Deben ser





cos 0  sen  0

 0  45º



2

d 2R V  4  0  sen 2 0 2 g d 0 2

d 2R V  4  0  1  0   máx . en  0  45º 2 g d 0 45 º  También podemos demostrar que la altura máxima Ymáx alcanzada por el proyectil es V  sen 0 2 ymáx  0 2g 1 y  V0 y  t   g  t 2 2 pero

Vy  V0 y  g  t t

V0 y g

Vy  0

 en y 2

V0 y

2

2

V V  V0 y  1 1   0 y   g  0 y2 y  V0 y    g   g 2 g 2 g  g  y máx 

V0  sen  0 2 2g

Determinar cuál es el ángulo de elevación de un cañón para que el alcance y la altura máxima del proyectil sean iguales. 2

Si

R  ymáx entonces

2

V0 V  sen 2  0  sen 2 0  0 g 2g

2 sen  0  cos 0 

tg 0  4

 0  76º

sen 2  0 2

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Movimiento Circular Uniforme Cuando un cuerpo se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene MCU. La componente perpendicular a la trayectoria que provoca el cambio de dirección de la velocidad, tiene relación con la rapidez de la partícula y el radio del círculo.

   V  V2  V1

La partícula se mueve con rapidez constante en una trayectoria curva de P1 a P2 en un tiempo ∆t, siendo R el radio de la trayectoria circular centrado en O. El cambio de la velocidad ∆V se debe al cambio de dirección. Por semejanza de triángulos, partiendo de OP1P2, los cocientes de lados correspondientes son iguales.

 V V1



s R

 V V  1  s R

La magnitud de la aceleración media en ∆t es  V V s a  1 t R t La magnitud de la aceleración instantánea en P1, conforme P2 se acerca a P1 y ∆t→0, es

a  lím t  0

V1 s V1 s    lím t  0 R t R t

lím t  0

s es la rapidez V1 en P1 t

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P1 puede ser cualquier punto de la trayectoria. Luego ac 

V2 R

Como la aceleración siempre apunta hacia el centro del círculo se llama aceleración centrípeta o radial. Se puede expresar su magnitud en términos del período T, tiempo de una vuelta completa al círculo.

V 

2R T 2

 2R  1 ac      T  R ac 

4 2 R T2