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UNIDAD Nº 6: TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES Trabajo de fuerzas generalizadas. Teorema de los trabajos virtuales. Aplicaciones. TRABAJO DE FUERZAS GENERALIZADAS. Considérese un cuerpo sometido a un sistema generalizado de fuerzas en equilibrio (fuerzas y cuplas).Queda claro que el cuerpo , en esta situación, no altera su estado de movimiento. Para simplicidad de comprensión se supone en reposo. Si ahora dicho cuerpo en reposo es sometido a un sistema generalizado de pequeños desplazamientos representado por una traslación y una rotación ,entonces el corrimiento de un punto cualquiera del mismo se determina como sigue:

Bajo las premisas anteriores se definen los siguientes conceptos: TRABAJO DE UNA FUERZA. Se define como tal al producto escalar entre el vector fuerza y el vector corrimiento de un punto cualquiera de la recta de acción de la fuerza. Es decir :

Si

α= 0º

entonces el trabajo resulta máximo positivo. En cambio cuando

máximo negativo y finalmente cuando si).

α =180º

el trabajo es

α =90º el trabajo es nulo (vectores perpendiculares entre

Cuando el vector fuerza y el vector corrimiento tienen igual dirección, ambas magnitudes se denominan: correspondientes o complementarias en la expresión de trabajo. Es decir que a una fuerza vertical le corresponde en la expresión de trabajo un corrimiento vertical y a una fuerza horizontal le corresponde en la expresión de trabajo un corrimiento horizontal. TRABAJO DE UNA CUPLA DE FUERZAS. Se parte de la siguiente figura de análisis:

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A continuación se desarrolla la expresión (1):

Por propiedad del producto mixto de vectores la expresión anterior puede escribirse:

En la última expresión el producto vectorial resulta ser el momento de la cupla de fuerzas y en consecuencia el trabajo de una cupla de fuerzas puede ser escrito como el siguiente producto escalar de vectores:

Finalmente cuando el vector momento y el vector rotación tienen idéntica dirección resultan magnitudes correspondientes en la expresión de trabajo. TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. Enunciado: Si sobre un cuerpo rígido actúa un sistemas de fuerzas en equilibrio, el trabajo desarrollado por dicho sistema de fuerzas en un desplazamiento virtual experimentado por el cuerpo resulta nulo. El desplazamiento virtual resulta ser imaginado, pequeño (cumple con la teoría de pequeñas rotaciones) y respeta las condiciones de vínculo impuestas al cuerpo. Demostración: Se parte considerando el cuerpo rígido sujeto a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio y se lo somete a la acción de un desplazamiento virtual consistente en una traslación más una rotación. Gráficamente:

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El trabajo del sistema de fuerzas en el desplazamiento virtual del cuerpo resulta ser:

Operando con la última expresión y aplicando la misma propiedad del producto mixto de vectores utilizada al definir el trabajo de una cupla de fuerzas resulta:

El término (1) es la resultante del sistema de fuerzas y la expresión (2) es el momento de reducción del sistema de fuerzas al punto C .Como el sistema de fuerzas que actúa sobre el cuerpo se encuentra en equilibrio ambos vectores resultan nulos. Es decir :

Finalmente resulta:

Quedando demostrado el teorema de los trabajos virtuales. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES AL CÁLCULO DE MAGNITUDES ESTÁTICAS. 1-Cálculo de reacciones de Vínculo Externo. Para la siguiente estructura se solicita determinar por aplicación del teorema de los trabajos virtuales, (en adelante TTV), la reacción de vínculo en el apoyo fijo.

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Cabe aclarar que la reacción de vínculo en el apoyo fijo se determinará por medio de sus componentes de dirección vertical y horizontal. Determinación de VB Se parte de dejar en evidencia dicha componente de reacción de vínculo quedando definido el sistema equilibrado (SE). Gráficamente:

A continuación se genera un desplazamiento virtual de la estructura .Queda claro que luego de haber puesto en evidencia la reacción VB la misma presenta un grado de libertad (comúnmente se denomina mecanismo de un grado de libertad). En el caso que se analiza la chapa presenta punto fijo en A (intersección de las direcciones de los apoyos móviles aplicados en A y en B). Al punto fijo es común denominarlo polo de la rotación o centro instantáneo de rotación y representarlo mediante la letra O. Finalmente es posible un desplazamiento virtual consistente en la rotación de la chapa respecto de su punto fijo O. A continuación se grafica el desplazamiento virtual de la estructura indicando los diagramas de corrimientos verticales y horizontales.

Se puede observar que los diagramas de corrimientos son lineales y ortogonales entre si .

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A continuación se plantea, el trabajo del sistema de fuerzas actuante sobre la estructura en el desplazamiento virtual de la misma, bajo la condición de equilibrio (W virtual=0).Es decir:

De la ultima expresión surge como cuestión importante que el trabajo de la fuerza distribuida es igual al trabajo de su resultante por el corrimiento correspondiente .En el caso que se analiza la fuerza distribuida ha quedado dividida en uniforme más lineal con extremo nulo. Se recuerda que cuando se integra, las funciones que intervienen deben resultar continuas. En caso contrario es necesario particionar la integración. El signo del trabajo es positivo siempre que la magnitud estática y la cinemática coincidan en sentido y es negativo en caso contrario. Puede observarse que el desplazamiento virtual θ puede eliminarse de la ecuación. Consecuentemente el resultado es independiente del desplazamiento virtual. Finalmente la expresión de cálculo de VB resulta:

Determinación de HB El planteo es el mismo al desarrollado para la determinación de VB. El sistema equilibrado es en este caso:

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Se puede observar que en este caso la estructura presenta un punto fijo ubicado en la recta impropia en dirección vertical. En consecuencia la misma solo podrá trasladarse horizontalmente. A continuación se indica el desplazamiento virtual;

Finalmente se plantea el trabajo del sistema de fuerzas en el desplazamiento virtual bajo la condición de equilibrio:

El signo negativo solo indica que HB ha sido supuesta en sentido contrario al correcto. 2-Cálculo de reacciones de Vínculo Interno. Previamente se analiza la puesta en evidencia de este tipo de reacciones de vínculo. Dada la siguiente estructura:

Si la misma es cortada en la sección n-n con un plano perpendicular al eje de barra, queda separada en parte izquierda y parte derecha, dejando en evidencia las reacciones de vínculo interno tal como se muestra:

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A continuación se propone volver a unir ambas partes de la estructura mediante un sistema de bielas de forma tal que una de las reacciones de vínculo interno quede en evidencia. Queda claro que si ambas partes se unieran mediante tres bielas no concurrentes a un punto ninguna de las reacciones de vínculo interno quedaría evidenciada. Si en cambio, ambas partes (izquierda y derecha) se unen mediante dos bielas se puede lograr el objetivo. En el caso que la reacción de vínculo interno longitudinal al eje de barra y la reacción de vínculo interno transversal al eje de barra se reemplacen por bielas solo quedará en evidencia la reacción de vínculo interno momento tal como se muestra:

De esta manera ambas partes (izquierda y derecha) quedan articuladas en forma propia en la intersección de las direcciones de ambas bielas. Si la dimensión longitudinal de las bielas se reduce lo suficiente la situación final será:

Mediante similar criterio de análisis se deducen las articulaciones necesarias para dejar en evidencia la reacción de vínculo transversal al eje de barra y longitudinal con el eje de barra.A continuación se grafican:

Es necesario tener muy presente que toda vez que en una sección continua de la estructura se pone en evidencia una cualquiera de las reacciones de vínculo interno, se está transformando a dicha sección en articulada como consecuencia de la eliminación de una condición de vínculo interno. Propiedades cinemáticas de las articulaciones. Caso de articulación propia: Cuando la parte izquierda y la parte derecha de la estructura se encuentran conectadas entre sí por este tipo de articulación existe la posibilidad de rotación relativa entre ellas. Además en la sección de articulación ambas partes comparten idéntico corrimiento.

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Caso de articulación impropia: Cuando la parte izquierda y la parte derecha de la estructura se encuentran conectadas entre sí por este tipo de articulación no existe la posibilidad de rotación relativa entre ellas. Consecuentemente ambas partes deben experimentar idéntica rotación. En el caso de articulación relativa impropia ,la posibilidad de rotación relativa entre las partes estaría condicionada a que una de las bielas se estire y la otra se acorte, contradiciendo claramente la hipótesis de rigidez del cuerpo. Esta hipótesis se encuentra claramente indicada en el enunciado del teorema de los trabajos virtuales. A continuación se desarrolla el cálculo de reacciones de vínculo interno. Para la siguiente estructura se solicita determinar por aplicación del TTV la reacción de vínculo interno momento (M) y la reacción de vínculo interno transversal al eje de barra (Q) en la sección C.

Determinación de MC. Planteo del sistema equilibrado (SE).

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Generación del desplazamiento virtual (DV).

Explicación sobre la construcción de los diagramas de corrimientos (vertical y horizontal). Luego de haber puesto en evidencia la reacción de vínculo interno momento en la sección C quedan definidas dos chapas denominadas como S1 y S2 . El punto fijo de la chapa S2 coincide con el punto B (B=O2) pues en dicho punto hay aplicado un apoyo fijo. La chapa S2 se comporta para la chapa S1 como un apoyo móvil de dirección O2-A12 Consecuentemente la chapa S1 presenta un punto fijo en la intersección de la dirección de este apoyo móvil y la dirección del apoyo móvil aplicado en A. Las chapas S1 y S2 se encuentran articuladas en forma propia en la sección C (A12).

θ

Con la información anterior y con 2 horario como desplazamiento virtual se construyen los diagramas de corrimientos indicados en la figura que precede. Geométricamente en el caso que se analiza y dado que la articulación relativa entre las chapas (A12) se encuentra en el centro del tramo horizontal, resulta que en módulo θ1= θ2. Si la articulación relativa se desplaza hacia la izquierda aumenta θ1 y diminuye θ2 ocurriendo lo contrario en el caso que la articulación se desplace hacia la derecha . Finalmente la rotación relativa de la chapa S2 (parte derecha) respecto de la chapa S1(parte izquierda) se ha denominado en la figura que precede como ∆θ21.

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Planteo del trabajo del sistema de fuerzas en el desplazamiento virtual bajo la condición de equilibrio.

El desarrollo que precede permite obtener las siguiente conclusión: La magnitud cinemática correspondiente en la expresión de trabajo para la reacción de vínculo interno momento en C (MC) es la rotación relativa en idéntica sección (

∆θC).

Se aclara que el trabajo de la fuerza distribuida ha sido obtenido teniendo en cuenta que la función corrimiento vertical no es continua, es decir particionando la integración. A continuación se grafica:

Finalmente operando con la última expresión y teniendo en cuenta que en módulo θ1= θ2 resulta:

Determinación de QC. Planteo del sistema equilibrado (SE).

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Generación del desplazamiento virtual (DV).

Explicación sobre la construcción de los diagramas de corrimientos (vertical y horizontal). Luego de haber puesto en evidencia la reacción de vínculo interno transversal al eje de barra en la sección C quedan definidas dos chapas denominadas como S1 y S2 . El punto fijo de la chapa S2 coincide con el punto B (B=O2) pues en dicho punto hay aplicado un apoyo fijo. La chapa S2 se comporta para la chapa S1 como un apoyo móvil de dirección O2-A12inf. Consecuentemente la chapa S1 presenta un punto fijo en la intersección de la dirección de este apoyo móvil y la dirección del apoyo móvil aplicado en A (A=O1). Las chapas S1 y S2 se encuentran articuladas en forma impropia en la sección C (A12inf.).

θ

Con la información anterior y con antihorario como desplazamiento virtual se construyen los diagramas de corrimientos indicados en la figura que precede. Como ambas chapas se encuentran articuladas entre sí en forma impropia deben experimentar idéntica rotación. Finalmente el corrimiento relativo transversal al eje de barra entre el punto perteneciente a la chapa S2 y el punto perteneciente a la chapa S1 en correspondencia con la sección C es

∆t21.

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Planteo del trabajo del sistema de fuerzas en el desplazamiento virtual bajo la condición de equilibrio.

El desarrollo que precede permite obtener las siguiente conclusión: La magnitud cinemática correspondiente en la expresión de trabajo para la reacción de vínculo interno tranversal al eje de barra en C (QC) es el corrimiento relativo transversal al eje de barra en idéntica sección (∆tC). Finalmente operando con la última expresión se obtiene:

Para la siguiente estructura se solicita determinar por aplicación del TTV la reacción de vínculo interno longitudinal con el eje de barra (N) en la sección D.

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Determinación de ND. Planteo del sistema equilibrado (SE).

Generación del desplazamiento virtual (DV).

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Explicación sobre la construcción de los diagramas de corrimientos (vertical y horizontal). Luego de haber puesto en evidencia la reacción de vínculo interno longitudinal con el eje de barra en la sección D quedan definidas cuatro chapas denominadas como S1, S2 ,S3 y S4 . El punto fijo de la chapa S4 coincide con el punto B (B=O4) pues en dicho punto hay aplicado un apoyo fijo. La chapa S4 se comporta para la chapa S3 como un apoyo móvil de dirección O4-A34. Consecuentemente la chapa S3 presenta un punto fijo (O3) en la intersección de la dirección de este apoyo móvil y la dirección del apoyo móvil aplicado en A. Para definir el punto fijo de la chapa S1 y el de la chapa S2 es necesario determinar previamente las articulaciones relativas entre chapas no conectadas directamente entre sí. En el esquema gráfico se ha determinado la articulación relativa entre las chapas S2 y S3.Teniendo en cuenta que dichas chapas se encuentran conectadas mediante las chapas S1 y S4,la articulación relativa A23 se encuentra en la intersección de la dirección A24- A34 (chapa S4) y la dirección A13- A12inf (chapa S1).Esta última dirección se obtiene pasando por A13 una recta paralela a la dirección de las bielas que definen la articulación impropia A12inf. La chapa S3 se comporta para la chapa S2 como un apoyo móvil de dirección O3-A23.Al mismo tiempo la chapa S4 se comporta para idéntica chapa como un apoyo móvil de dirección O4-A24. Como ambos apoyos móviles son de dirección vertical entonces la chapa S2 presenta un punto fijo (O2inf) ubicado sobre la recta impropia en dirección vertical (intersección de las direcciones de ambos apoyos móviles). Finalmente la chapa S1 presenta un punto fijo (O1inf) coincidente con el de la chapa S2 definido en la intersección de las direcciones O2inf - A12inf y O3-A13.

θ

4 antihorario como desplazamiento virtual se construyen los Con la información anterior y con diagramas de corrimientos indicados en la figura que precede. Finalmente el corrimiento relativo longitudinal con el eje de barra entre el punto perteneciente a la chapa S1 y el punto perteneciente a la chapa S2 en la sección D es:

∆l12= - ∆l21.

Planteo del trabajo del sistema de fuerzas en el desplazamiento virtual bajo la condición de equilibrio.

El desarrollo que precede permite obtener las siguiente conclusión: La magnitud cinemática correspondiente en la expresión de trabajo para la reacción de vínculo interno longitudinal con el eje de barra en D (NC) es el corrimiento relativo longitudinal con el eje de barra en idéntica sección (∆lC).

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Finalmente operando con la última expresión y teniendo en cuenta que en módulo y por simple consideraciones geométricas ,θ3=θ4 resulta:

Comentario importante. Si quedara suficientemente justificado que la barra a la cuál pertenece la sección D solo presenta en sus infinitas secciones reacción de vínculo interno longitudinal con el eje de barra y de valor constante ,entonces la puesta en evidencia de dicha reacción de vínculo interno puede simplificarse reemplazando la barra por su acción sobre el resto de la estructura. En dicha circunstancia el sistema equilibrado (SE) es el que a continuación se grafica:

Puede observarse que en este caso y luego de haber puesto en evidencia la reacción de vínculo interno, la estructura queda conformada por solo dos chapas ,simplificándose notablemente la determinación cinemática, a efectos de provocar el desplazamiento virtual del sistema. Enunciado: Cuando una barra de eje recto articulada en forma propia en sus dos extremos, se encuentra descargada, solo es posible que presente en sus infinitas secciones reacción de vínculo interno longitudinal con el eje de barra de valor constante. A continuación de justifica planteando el equilibrio del sistema de fuerzas que actúa sobre la misma:

RH=0 ) NE - NF=0 → NE=NF =N RV=0 ) QE - QF=0 → QF=0 F M =0 ) –QE. L = 0 → QE=0

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Para una sección cualquiera de la barra resulta:

Quedando justificado el precedente enunciado.

Para finalizar la presente unidad se adjunta un cuadro resumen sobre magnitudes correspondientes en la expresión de trabajo.