Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 10.

EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS. Curso 2010-11

Puede afirmarse que, de alguna manera, el comportamiento de una función analítica cerca de sus singularidades aisladas determina cómo es la propia función globalmente. Esto se pone de manifiesto en el Teorema de los Residuos de Cauchy, uno de los teoremas más importantes de la teoría de funciones de variable compleja. El residuo de una función analítica en una P singularidad aislada es el valor del coeficiente c−1 en su correspondiente desarrollo de Laurent n cn (z − z0 )n . El Teorema de los Residuos generaliza el Teorema de la Integral de Cauchy a funciones que son analíticas salvo en un conjunto finito de singularidades, y establece que la integral de una tal función sobre una curva de Jordan recorrida en sentido positivo es igual al producto de 2πj por la suma de sus residuos en las singularidades interiores a la curva. Veremos algunas aplicaciones del Teorema de los Residuos al cálculo de integrales reales impropias. En la última sección veremos el Principio de Variación del Argumento que relaciona el número de ceros y el número de polos de una función f(z) interiores a una curva cerrada C con la variación del argumento de f (z) al recorrer el punto z la curva C en dirección positiva. Como aplicación del Principio de Variación del Argumento obtendremos el Teorema de Rouché, que relaciona el número de ceros de dos funciones analíticas en la misma región, y el Criterio de Nyquist, que sirve para determinar si hay polos de la función de transferencia con parte real positiva en el análisis de la estabilidad de los sistemas de control. De forma adicional, y aunque esto no corresponde estrictamente a la teoría de funciones de variable compleja, veremos otro criterio de estabilidad, llamado Criterio de Routh-Hurwitz.

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El Teorema de los Residuos

Residuo en una singularidad aislada. Sea z0 una singularidad aislada de una función f . Entonces, según hemos estudiado en la lección anterior, existe un disco perforado Ω con centro en z0 , digamos 0 < |z − z0 | < ρ, en el que f es analítica y admite un desarrollo en serie de Laurent f(z) =

∞ X

n=−∞

cn (z − z0 )n = · · · +

c−2 c−1 + + c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + · · · 2 (z − z0 ) z − z0

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

donde los coeficientes del desarrollo vienen dados por I f (z) 1 cn = dz para cada n = 0, ±1, ±2, . . . , 2πj C (z − z0 )n+1 siendo C cualquier curva de Jordan contenida en Ω, que rodea a z0 y recorremos en sentido positivo. El coeficiente c−1 tiene un carácter especial ya que, salvo un factor constante, es igual a la integral de f en C: I I f (z) 1 1 c−1 = dz = f (z) dz. 2πj C (z − z0 )(−1)+1 2πj C Veremos enseguida que esta relación de c−1 con las integrales de f sobre curvas que rodean a z0 tiene aplicaciones muy interesantes, por eso recibe un nombre especial: el coeficiente c−1 de la potencia (z − z0 )−1 del desarrollo en serie de Laurent de una función f en una singularidad aislada z0 se llama residuo de f en z0 y se denota por Res(f, z0 ). Teorema de los Residuos. Sea f una función analítica en un dominio Ω y sea C una curva de Jordan contenida en Ω tal que f es analítica en la región interior a C salvo en un número finito de singularidades aisladas. Entonces la integral de f sobre C es igual a la suma de los residuos de f en dichas singularidades multiplicada por el factor 2πj. O sea, I

C

f (z) dz = 2πj

m X

Res(f, zk )

k=1

donde z1 , z2 , . . . , zm son todas las singularidades aisladas de f rodeadas por C y C se recorre en sentido positivo.

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Cálculo de los residuos en los polos

Residuos en los polos simples. Naturalmente, la utilidad del Teorema de los Residuos reside en la posibilidad de calcular los residuos sin integrar, así que apenas tiene interés práctico si no se dispone de algún procedimiento sencillo para determinar los residuos. Para singularidades esenciales no existe ningún método que pueda emplearse de manera sistemática más que usar las series de potencias de las funciones elementales. La situación es por completo diferente para los polos, en los que los residuos pueden calcularse mediante derivación. El caso más sencillo es el de los polos simples. g(z) siendo g una función z − z0 analítica en un círculo centrado en z0 tal que g(z0 ) 6= 0. Entonces, aplicando la Fórmula Integral de Cauchy, I I 1 1 g(z) f (z) dz = dz = g(z0 ) Res(f, z0 ) = 2πj C 2πj C z − z0 Si f tiene un polo simple en z0 , entonces podemos escribir f (z) =

donde C es una curva de Jordan, orientada positivamente, que rodea a z0 tal que g es analítica en su región interior.

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Alternativamente, desarrollando g en serie de Taylor en z0 obtenemos g(z) z − z0 g(z0 ) = z − z0

f(z) =

g 00 (z0 ) g 000 (z0 ) (z − z0 )2 + (z − z0 )3 + · · · 2 3 = z − z0 00 000 g (z0 ) g (z0 ) (z − z0 ) + (z − z0 )2 + · · · + g 0 (z0 ) + 2 3 g(z0 ) + g 0 (z0 )(z − z0 ) +

que es la serie de Laurent de f en z0 . En consecuencia, el residuo de f en z0 es Res(f, z0 ) = g(z0 ). Habitualmente sabemos que una función f tiene un polo simple en un punto z0 porque es de g(z) la forma f(z) = , donde g y h son dos funciones analíticas en un círculo centrado en z0 tales h(z) que z0 es un cero simple de h(z) y g(z0 ) 6= 0. Para usar la fórmula anterior debemos escribir g(z)/q(z) , con lo h(z) = (z − z0 )q(z), siendo q derivable en z0 con q(z0 ) 6= 0. Entonces f(z) = z − z0 cual g(z0 ) Res(f, z0 ) = . q(z0 ) Ahora bien, como q(z) = z0 , obtenemos

h(z) siempre que z esté cerca de z0 pero z 6= z0 y q es continua en z − z0 q(z0 ) = lim q(z) = lim z→z0

z→z0

En definitiva,

h(z) = h0 (z0 ). z − z0

g(z0 ) , h0 (z0 ) fórmula que sólo depende de las funciones g y h de partida y no requiere calcular previamente la función q. Debemos resaltar aquí, para ayudar a evitar un error muy común, que esta fórmula sólo vale cuando z0 es un cero simple de h(z) y g(z0 ) 6= 0. Si, por ejemplo, z0 es un cero doble de h(z) y un cero simple de g(z), entonces z0 es un polo simple de h(z)/g(z) pero su residuo no puede calcularse mediante la fórmula g(z0 )/h0 (z0 ) (sí es verdad que hay una fórmula alternativa, pero algo más complicada). Res(f, z0 ) =

Ejemplo. Vamos a calcular la integral I

C

ez dz, ez + 1

siendo C la circunferencia con centro en el origen y radio 10, usando el Teorema de los Residuos. Para ello debemos determinar las singularidades del integrando. Tanto el numerador ez como el denominador ez + 1 son funciones enteras, así que las singularidades del cociente son los ceros del denominador, es decir, los logaritmos de −1. Puesto que −1 tiene módulo 1 y argumento π, sus logaritmos son los puntos de la forma zn = Log(1) + j (arg(−1) + 2nπ) = (2n + 1)πj,

con n ∈ Z.

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

En cada uno de estos puntos, tanto el numerador como la derivada del denominador valen ambas ezn = −1, luego todas son polos simples del integrando y el residuo en todas ellas es 1. Dentro de la circunferencia C sólo hay cuatro de ellas: −3πj, −πj, πj y 3πj. Por tanto la integral vale: I ez dz = 2πj(1 + 1 + 1 + 1) = 8πj. z C e +1 Residuos en los polos múltiples. Para un polo de orden N > 1 la situación es un poco más complicada. En ese caso podemos escribir f (z) = (z − z0 )−N g(z) siendo g una función analítica en un círculo centrado en z0 . Entonces, aplicando la Fórmula Integral de Cauchy para la derivada (N − 1)-ésima I I g(z) 1 1 g(N −1) (z0 ) Res(f, z0 ) = f(z) dz = dz = . 2πj C 2πj C (z − z0 )N (N − 1)! donde C es una curva de Jordan, orientada positivamente, que rodea a z0 tal que g es analítica en su región interior. Alternativamente, desarrollando g en serie de Taylor en z0 obtenemos X g (n) (z0 ) X g (n) (z0 ) g(z) −N n = (z − z ) ) = f (z) = (z − z (z − z0 )n−N 0 0 (z − z0 )N n! n! n=0 n=0 ∞

∞

que es la serie de Laurent de f en z0 . Por tanto, el residuo de f en z0 se obtiene tomando n = N − 1 en el sumatorio y vale Res(f, z0 ) =

g (N−1) (z0 ) . (N − 1)!

Para usar esta fórmula en la práctica, necesitamos expresar g en términos de f, lo que se hace poniendo g(z) = (z − z0 )N f (z). Entonces, ¢ dN−1 ¡ 1 Res(f, z0 ) = lim N−1 (z − z0 )N f(z) (N − 1)! z→z0 dz

En particular, para un polo doble nos queda

¢0 ¡ Res(f, z0 ) = lim (z − z0 )2 f(z) z→z0

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que en general resulta más comodo usar las propiedades de las series de potencias, sobre todo la regla para dividir, que la fórmula cuando el polo es triple o de mayor orden. Ejemplo. Consideremos la función f (z) =

cot(πz) cos(πz) = 2 . 2 z z sen (πz)

Entonces las singularidades de f (z) son z0 = 0 y los ceros de la función sen (πz) que son los puntos zn = n con n ∈ Z. Puesto que cos(πzn ) = cos(nπ) = (−1)n , tenemos que z0 = 0 es un

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polo triple de f y cada entero zn = n 6= 0 es un polo simple de f . Calculamos ahora los residuos correspondientes. Para n 6= 0: Res(f, zn ) =

cos(πz)/z 2 (−1)n /n2 1 (z = n) = = . 0 n π(−1) πn2 (sen (πz))

Por otro lado, para n = 0 tendríamos que calcular µ µ ¶00 ¶00 cos(πz) 1 1 3 cos(πz) Res(f, z0 ) = lim z 2 = lim z . 2 z→0 z sen (πz) 2 z→0 sen (πz) Podemos derivar las dos veces requeridas y tomar límite comprobando que el residuo es −π/3. Sin embargo, es más fácil obtener el valor del residuo a partir del desarrollo en serie de Laurent f(z) =

c−3 c−2 c−1 + 2 + + c0 + c1 z + · · · z3 z z

Imponiendo z 2 sen (πz)f(z) = cos(πz) y escribiendo los correspondientes desarrollos queda: µ ¶³ ´ c−3 c−2 c−1 (πz)3 (πz)2 (πz)4 2 z πz − + + + ··· + · · · = 1 − + − ··· . 6 z3 z2 z 2 4! Si ahora simplificamos, ¶ µ ¢ ¡ π2 z 2 π4z 4 π3z 2 + ··· c−3 + c−2 z + c−1 z 2 + · · · = 1 − + − ··· . π− 6 2 4! Multiplicamos e identificamos los coeficientes:

1 , π πc−2 = 0 ⇒ c−2 = 0, −π 2 −π 2 π 2 = ⇒ πc−1 = + 2 2 6 πc−3 = 1

πc−1 −

π 3 c−3 6

⇒

c−3 =

⇒

c−1 =

−π . 3

La parte principal del desarrollo de f en z0 es, entonces, 1 π − . 3 πz 3z En particular, el residuo de f en 0 es −π/3.

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Cálculo de integrales impropias

Una de las primeras aplicaciones del Teorema de los Residuos fue el cálculo de algunas integrales reales impropias cuyo integrando admite una primitiva que es muy difícil de calcular o ni siquiera

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

es expresable en términos de funciones elementales. La idea es interpretar el integrando como una función de variable compleja, integrar esta función sobre una curva de Jordan adecuada, usando el Teorema de los Residuos, y tomar límites de manera que una parte de la curva tienda al trozo del eje real donde esté definida nuestra integral de partida y el límite de la integral en el resto de la curva pueda ser estimado fácilmente. Veremos algunos casos simples que no agotan, ni mucho menos, el catálogo de integrales que pueden evaluarse de esta manera. Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real. Sean p y q dos polinomios tales que q no tiene raíces reales. Si gr(p) + 2 ≤ gr(q), entonces la integral impropia de p/q en R converge y se tiene Z ∞ X p(x) dx = 2πj Res(p/q, z) −∞ q(x) Im(z)>0

donde la suma está extendida a todas las raíces del polinomio q situadas en el semiplano superior. Z ∞ 1 Ejemplo. Para calcular la integral dx, observemos que los polos de la función f(z) = 4 −∞ 1 + x 1 son las raíces cuartas de −1; a saber, ejπ/4 , e3jπ/4 , e5jπ/4 y e7jπ/4 . De éstas, únicamente 1 + z4 las dos primeras se encuentran en el semiplano superior y los residuos correspondientes son 1 e−3jπ/4 jπ/4 (z = e ) = , 4z 3 4 1 e−jπ/4 Res(f, e3jπ/4 ) = 3 (z = e3jπ/4 ) = . 4z 4 Res(f, ejπ/4 ) =

Por tanto,

Z

∞

−∞

√ ¢ 2πj 1 2πj ¡ −3jπ/4 π −jπ/4 dx = + e 2) = √ . (−j e = 4 1+x 4 4 2

Integrales de Fourier. Las integrales que aparecen en la teoría de la Transformada de Fourier son del tipo Z ∞ Z ∞ −jωt f (t)e dt o bien F (ω)ejωx dω. −∞

−∞

Como ambas tienen la misma estructura, bastará con que veamos cómo se aplica el teorema de los residuos para calcular una integral de la forma Z ∞ f(x)e−jax dx −∞

donde a > 0 y y f(x) es la restricción al eje real de una función de variable compleja f (z). Si f (z) es analítica en el semiplano superior, salvo un número finito de singularidades aisladas, y tal que lim f(z) = 0, entonces z→∞

Z

∞

−∞

f(x)ejax dx = 2πj

X

Im(z)>0

Res(f (z)ejaz , z)

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donde la suma está extendida a todas las singularidades de f situadas en el semiplano superior. Separando la igualdad anterior en partes real e imaginaria obtenemos ⎛ ⎞ Z ∞ X f(x) cos(ax) dx = Re ⎝2πj Res(f(z)ejaz , z)⎠ , −∞

Z

∞

−∞

⎛

f(x)sen (ax) dx = Im ⎝2πj

Im(z)>0

X

Im(z)>0

⎞

Res(f(z)ejaz , z)⎠ .

Existen fórmulas similares cuando a < 0, en cuyo caso se usan las singularidades del semiplano inferior. Sin embargo, el caso a < 0 también puede tratarse haciendo el cambio de variables u = −x en la integral. Ejemplo. Vamos a calcular el valor de la siguiente integral real Z ∞ 2 x cos(3x) dx. (x2 + 1)2 0 Esta integral es absolutamente convergente ya que ¯ ¯ 2 ¯ x cos(3x) ¯ 1 ¯ ¯ ¯ (1 + x2 )2 ¯ 6 1 + x2 ,

para todo x ∈ R.

Puesto que las funciones que aparecen son pares, podemos escribir Z Z ∞ Z ∞ 2 x cos(3x) x2 e3jx 1 ∞ x2 cos(3x) 1 dx = dx = dx. Re 2 2 (x2 + 1)2 2 −∞ (x2 + 1)2 2 0 −∞ (x + 1) Esta última es una integral de Fourier que no tiene singularidades en el eje real, así que, si consideramos la función z 2 e3jz f (z) = 2 , (z + 1)2 entonces la integral pedida es igual a la parte real de 2πj veces la suma de los residuos de f en las singularidades que tenga en el semiplano superior. Puesto que las únicas singularidades de f son los puntos ±j, que son polos dobles, obtenemos Z ∞ x2 e3jx dx = 2πj Res(f, z = j). 2 2 −∞ (x + 1) Para hallar el residuo, como se trata de un polo doble, calculamos µ ¶0 2 3jz 2 z e Res(f, j) = lim (z − j) 2 z→j (z + 1)2 µ 2 3jz ¶0 (2z + 3jz 2 )e3jz (z + j)2 − 2(z + j)z 2 e3jz z e = lim = lim z→j z→j (z + j)2 (z + j)4 1 (2j − 3j)e−3 (−4) − 2(2j)(−1)e−3 = je−3 . = 16 2

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

Entonces

Z

∞

x2 e3jx 1 dx = 2πj je−3 = −πe−3 , 2 2 2 −∞ (x + 1)

luego

Z

0

∞

x2 cos(3x) π dx = − e−3 . 2 2 (x + 1) 2

Integrales con polos en el eje real. Existen integrales de Fourier, como la integral Z ∞ jωz Z ∞ Z ∞ e cos(ωz) sen (ωz) dz = dz + j dz, z z −∞ z −∞ −∞ que poseen singularidades en el eje real y que, sin embargo, convergen (como la parte imaginaria de la anterior) o, al menos, tienen valor principal de Cauchy (como la parte real de la anterior). Veamos cómo podemos usar el teorema de los residuos para calcularlas. Sea f una función analítica en el semiplano superior, incluyendo el eje real, excepto en una cantidad finita de puntos, algunos de los cuales pueden ser reales. Supongamos que todos los polos reales de f son simples y que Z f (z) dz = 0, lim R→∞

CR

donde CR es la mitad superior de la circunferencia con centro en 0 y radio R. Entonces el valor principal de Cauchy de la integral de f en la recta real existe y vale Z ∞ X X V PC f(z) dz = 2πj Res(f, z) + πj Res(f, z), −∞

Im(z)>0

Im(z)=0

donde el primer sumatorio se extiende a las singularidades de f en el semiplano superior y el segundo a los polos reales. Podemos aplicar esta fórmula en los siguientes casos: (a) cuando f es una función racional cuyos polos reales son simples y en la que el grado del denominador es, al menos, dos unidades más grande que el del numerador y (b) cuando f es de la forma f (z) = g(z)ejωz donde ω > 0 y g es una función racional cuyos polos reales son simples y en la que el grado del denominador es, al menos, una unidad más grande que el del numerador. Por otro lado, es importante observar que este resultado no garantiza la convergencia de la integral impropia, sino únicamente la existencia del valor principal de Cauchy. Lema. Si f (z) tiene un polo simple en z = z0 y Cr es la mitad superior de la circunferencia de radio r dada por z(t) = z0 + rejt con 0 6 t 6 π, entonces se verifica Z f(z) dz = πj Res(f, z0 ). lim r→0

Cr

Ejemplo. Calcularemos la integral Z

∞

−∞

xsen (πx) dx x4 − 1

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que se trata de una integral real con ceros reales en el denominador, los puntos −1 y 1, que coinciden con sendos ceros del numerador ya que sen (−π) = sen (π) = 0. Como la función está acotada para x grande por una del tipo x−3 , la integral converge. Para hallar su valor escribimos Z ∞ Z ∞ xsen (πx) xejπx dx = Im dx. 4 4 −∞ x − 1 −∞ x − 1 Consideremos la función compleja zejπz . z4 − 1 Esta función tiene como singularidades los ceros de su denominador, que son los puntos −1, 1, −j y j. Entonces, sabemos que el valor principal de Cauchy de la última integral anterior vale Z ∞ xejπx dx = 2πj Res(f, z = j) + πj Res(f, z = −1) + πj Res(f, z = 1). V PC 4 −∞ x − 1 f (z) =

Calculemos estos residuos. Las cuatro singularidades son polos simples, así que si z0 denota una cualquiera de ellas, entonces Res(f, z0 ) =

zejπz z0 ejπz0 (z = z ) = . 0 (z 4 − 1)0 4z03

Por tanto jejπj −e−π , = 4j 3 4 −e−πj −1 Res(f, −1) = = , −4 4 −1 eπj = . Res(f, 1) = 4 4 Res(f, j) =

Luego tenemos V PC Finalmente:

Z

∞

xejπx −e−π −1 −1 πj(−e−π − 1) dx = 2πj + πj + πj = . 4 4 4 4 2 −∞ x − 1

Z

∞

−∞

µ ¶ xsen (πx) πj(−e−π − 1) π dx = Im = − (e−π + 1). 4 x −1 2 2

Integrales de Poisson. En la Lección 8 hemos estudiado la Fórmula Integral de Poisson para resolver un problema de Dirichlet en el círculo unidad.RCuando la función dada en la frontera es 2π una función racional, aparecerá una integral del tipo 0 Φ (sen (t), cos(t)) dt, donde Φ(x, y) es un cociente de polinomios de dos variables. Podemos ver esta integral como la que se obtiene al calcular una integral de variable compleja sobre la circunferencia unidad C parametrizando ésta mediante z(t) = ejt con 0 ≤ t ≤ 2π. Concretamente, I Z 2π ¡ ¢ dz Φ (sen (t), cos(t)) dt = Φ (z − z −1 )/(2j), (z + z −1 )/2 jz 0 C

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

integral que podemos calcular aplicando el teorema de los residuos a la función Φ ((z − z −1 )/(2j), (z + z −1 )/2) . jz

f(z) =

Ejemplo. Para calcular dz dt = y, entonces, jz Z 2π 0

Z

2π 0

1 dt , ponemos z = ejt , con lo que cos(t) = (z + z −1 ) y 2 + cos(t) 2

dt = 2 + cos(t)

I

C

2 dz £ ¤ = j jz 2 + 12 (z + z −1 )

I

C

dz , z 2 + 4z + 1

donde C es la circunferencia unidad. Las singularidades del integrando son√las soluciones de √ z 2 + 4z + 1 = 0, que son −2 ± 3. De éstas, la única interior a C es −2 + 3 que es un polo 1 con residuo simple de f (z) = 2 z + 4z + 1 √ 3) =

Res(f, −2 + En consecuencia, Z 2π 0

4

2 dt = 2 + cos(t) j

I

C

√ 1 1 (z = −2 + 3) = √ . 2z + 4 2 3

√ 2 2π dz = 2πj Res(f, −2 + 3) = √ . 2 z + 4z + 1 j 3

El Principio del Argumento

Número de ceros y polos encerrados por una curva. Sea f una función analítica en un dominio Ω y sea C una curva de Jordan contenida en Ω tal que f no se anula en ninguno de sus puntos. Sea N el número de ceros de f en la región interior a la curva C contados tantas veces como indica su multiplicidad. Supongamos que las únicas singularidades de f en la región interior a la curva C son polos y sea P el número de polos de f en dicha región contados tantas veces como indica su multiplicidad. Entonces I 0 f (z) 1 dz = N − P. 2πj C f(z) Existe una interpretación geométrica de este resultado que es de interés en algunas aplicaciones. Para ello estudiamos cómo es la imagen Γ de la curva C bajo la transformación w = f(z). Sabemos que Γ = f (C) será una curva en el plano de la variable w que no pasa por el origen de coordenadas porque f(z) 6= 0 sobre C y la pregunta que nos planteamos es ¿cuántas vueltas da Γ alrededor del origen? Para calcular este número de vueltas, fijemos un punto w0 = f(z0 ) y una rama inicial del argumento, digamos arg(w0 ) = θ0 ∈ [0, 2π). Al recorrer la curva C en sentido positivo partiendo de z0 , recorremos la curva Γ, pero vamos a hacerlo de manera que los valores del argumento de w = f (z) varíen de forma continua; es decir, si damos una vuelta

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alrededor del origen, no damos un salto en el valor del argumento. Al terminar volvemos a w0 pero el argumento, que ha variado de forma continua, será un valor θ1 tal que θ1 − θ0 = 2πn para algún número entero n que es, precisamente, el número de vueltas que da Γ alrededor del origen. Entonces 2πn se denomina variación del argumento de f en la curva C, será positivo o negativo según que las vueltas se den en el sentido positivo o negativo, y se suele representar por ∆C arg(f ). Pues bien, la variación del argumento coincide con 2π(N − P ). Principio de Variación del Argumento. Sea f una función analítica en un dominio Ω y sea C una curva de Jordan contenida en Ω tal que f no se anula en ninguno de sus puntos. Sea N el número de ceros de f en la región interior a la curva C contados tantas veces como indica su multiplicidad. Supongamos que las únicas singularidades de f en la región interior a la curva C son polos y sea P el número de polos de f en dicha región contados tantas veces como indica su multiplicidad. Entonces la variación del argumento de f en la curva C es 1 1 ∆C arg(f ) = 2π 2πj

I

Γ

1 dw = w 2πj

I

C

f 0 (z) dz = N − P. f(z)

Teorema de Rouché. Sea C una curva de Jordan y sean f y g dos funciones analíticas en un dominio que incluye la curva C y la región interior de dicha curva. Si |f(z)| > |g(z)| para todo z ∈ C, entonces las funciones f y f + g tienen el mismo número de ceros, contados tantas veces como indiquen sus multiplicidades, en la región interior a la curva C. El Criterio de Estabilidad de Nyquist. El ingeniero americano H. Nyquist (1889—1976) introdujo en 1932 una forma práctica de determinar la estabilidad de un sistema usando el Principio de Variación del Argumento. Para que el sistema sea estable, los polos de la función de transferencia G(s) deben tener parte real negativa. Supongamos que la función de transferencia es una función racional de la forma G(s) = 1/q(s) (que es el caso más habitual). Entonces los polos de G(s) son las raíces de q(s) y la estabilidad depende del signo de la parte real de dichas raíces. Para hallar el número de raíces de q(s) con parte real positiva, consideremos la semicircunferencia C de radio R, situada en el semiplano derecho, cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyo diámetro es el segmento [−jR, jR] del eje imaginario. Tomando R suficientemente grande, la curva C encerrará en su interior todos las raíces de q con parte real positiva. Por el Principio de Variación del Argumento, el número de dichas raíces coincidirá con la variación del argumento de q al recorrer la curva C, es decir, con el número de vueltas que da la curva imagen q(C) alrededor del origen. Esta curva imagen q(C) consta de dos trozos: la imagen del arco semicircular de C y la imagen del segmento [−jR, jR]. Como q es un polinomio y R es grande, la imagen del trozo semicircular es aproximadamente un arco circular que no hace falta trazar con mucho detalle. La imagen del segmento [−jR, jR] sí hay que dibujarla con detalle y, al unirla con la anterior, nos proporciona la curva imagen q(C). El interés práctico reside en que la imagen del segmento es relativamente fácil de visualizar en un osciloscopio porque los puntos del segmento[−jR, jR] son de la forma jω para −R ≤ ω ≤ R, con lo que sus imágenes son q(jω) = 1/G(jω), es decir, inversos de los valores de la respuesta frecuencial del sistema. El Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz. Este criterio sirve para determinar la estabilidad de un sistema en el que la función de transferencia es una función racional cuyo denominador es un polinomio q(s) = sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an con coeficientes

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

reales. Para ello, construimos la matriz ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ H=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

a1 a3 1 a2 0 a1 0 1 .. .. . . 0 0

a5 a4 a3 a2 .. .

··· ··· ··· ···

0 0 0 0 .. .

0 · · · an

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

y se verifica que todas las raíces de q tienen parte real negativa si, y sólo si, todos los coeficientes a1 , a2 , . . . , an y todos los menores principales de la matriz H son positivos; es decir ¯ ¯ ¯ a1 a3 a5 · · · 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a2 a4 · · · 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a3 a5 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a1 a3 · · · 0 ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a3 ¯ ¯ ¯ > 0, ¯ 1 a2 a4 ¯ > 0, . . . , ¯¯ a1 > 0, ¯¯ ¯ > 0. ¯ ¯ 0 1 a · · · 0 2 1 a2 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a1 a3 ¯ ¯ .. .. .. .. ¯ ¯ . . . . ¯¯ ¯ ¯ 0 0 0 · · · an ¯

Observemos que con este criterio obtenemos, directamente, la estabilidad asintótica del sistema; no el número de ceros a cada lado del eje imaginario.

5

Ejercicios

Ejercicio 1. (1) Estudia las singularidades aisladas de la función f (z) =

Log(1 + jz) − z 2 )(e2z + 1)

(z 3

donde el argumento principal se toma en (−π, π]. (2) Halla los tres primeros términos del desarrollo en serie de f(z) alrededor del origen y determina el disco perforado en el que dicho desarrollo es válido. (3) Calcula la integral de f sobre la circunferencia centrada en 1/2 y de radio unidad recorrida en sentido positivo. Ejercicio 2. Escribe una función f que tenga un polo doble en z = 0 con residuo 1, un polo simple en z = j con residuo 2j y que sea analítica en el resto del plano complejo. ¿Cuánto vale la integral de f 0 (z)/f(z) a lo largo de la circunferencia con centro en el punto 1 y radio 4? 1 + Log(z 2 ) , donde Log(z + 2) el argumento principal se toma en (−π, π]. ¿Cuánto vale el residuo de f en −1? I dz sobre las circunferencias Ejercicio 4. Calcula, aplicando el teorema de los residuos, 2 C z +1 C(j, 1), C(−j, 1) y C(0, 2).

Ejercicio 3. Determina y clasifica las singularidades de la función f(z) =

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Ejercicio 5. Calcula los residuos en las singularidades aisladas de las siguientes funciones: z3 + z2 + 2 (1) 3 2 z (z − 1)2 ez (4) 2 2 z (z + 4) (7) tan(z) (10)

z4

1 +1

sen (2z) (2) 1+z 1 (5) z e −1 z n−1 (n ∈ N) (8) n z + an z2 (11) (z − 2)(z 2 + 1)

ez (3) z(1 − z) 1 (6) sen (z) z 2 − 2z (9) (z + 1)2 (z 2 + 4) 1 (12) . z(z + 2)3

Ejercicio 6. En los siguientes casos, calcula la integral de la función f (z) que se da a lo largo de la curva que se indica: (1) f (z) = z n e2/z en C(0, 5). z 2 e−1/z en |z| + |z + 3j| = 4. (2) f (z) = 1 + z2 1 (3) f (z) = en ρ = 2 |sen (θ/2)| (en polares). 1 + z4 1 (4) f (z) = en 2x2 + y 2 = 4. 3 1+z ¡ ¢ en C(0, 3). (5) f (z) = (1 + z + z 2 ) e1/z + e1/z−1 + e1/z−2 z (6) f (z) = en C(0, 5). sen (z) (1 − cos(z)) z (7) f (z) = e1/z en |z| + |z − 3| = 4. 1 − z2 3(z − 1)2 − 1 en el rectángulo de lados z = 0, z = 2, y = ±2. (8) f (z) = 3 z − 3z 2 + 4z − 2 cosh(z) en el cuadrado de vértices ±2 ± 2j. (9) f (z) = z3 ez en el rectángulo de lados x = ±1, y = a, y = a + 4. (10) f (z) = z(z 2 + π 2 ) z en el cuadrado de vértices ±2 ± 2j. (11) f (z) = z2 e −1 Ejercicio 7. Considera la función f(z) = se toma en (−π, π].

2 cos(z) + z 2 − 2 , donde el argumento principal z 2 (ez − 1)Log(1 − jz 2 )

(1) Determina dónde es analítica y clasifica sus singularidades aisladas (2) Determina los tres primeros términos del desarrollo en serie de Laurent de la función f alrededor del origen. (3) Si I C es el rectángulo cuyos vértices son los puntos (0.2, 9), (−0.2, 9), (−0.2, −9) y (0.2, −9),

calcula

f(z) dz.

C

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

Ejercicio 8. Considera la función f (z) =

1 z 2 senh(z)

.

(1) Estudia y clasifica sus singularidades aisladas. (2) Determina la parte principal de su desarrollo en serie de Laurent alrededor del origen. I (3) Calcula f (z) dz, siendo C la circunferencia con centro en el origen y radio 4. C

Ejercicio 9. (1) Halla y clasifica las singularidades de la función f (z) =

1 . z (3sen (z) + j cos(z))

(2) Halla los tres primeros términos del desarrollo en serie de Laurent de f en el origen, indicando en qué disco perforado es válido dicho desarrollo. (3) Calcula la integral de f sobre a circunferencia unidad recorrida en sentido positivo. Ejercicio 10. (1) Prueba que si x es un número real y positivo, entonces Log(x + j) + Log(−x + j) = log(x2 + 1) + πj, donde el argumento principal se toma en (−π, π] y log(·) es el logaritmo neperiano real usual. Log(z + j) (2) ¿Dónde es analítica la función f(z) = ? z2 + 1 I (3) Calcula la integral f(z) dz, siendo CR la curva cerrada formada por la mitad superior CR

de la circunferencia con centro en el origen y radio R, y el trozo del eje real comprendido entre −R y R. Z ∞ log(x2 + 1) (4) Tomando límites cuando R → ∞ en el apartado anterior, calcula dx. x2 + 1 0 Ejercicio 11. Comprueba los siguientes resultados. (Los parámetros que aparecen se supone que son reales). (1)

(3)

(5)

Z Z

Z

∞ −∞ ∞ 0

x2 π dx = 2 2 2 (x + a ) 2a

√ x2 + 1 π 2 dx = x4 + 1 2

∞ −∞

dx =π 2 x + 2x + 2

(2)

(4)

(6)

Z Z

Z

∞ 0

dx π(2n − 2)! = 2 n (1 + x ) ((n − 1)!)2 22n−2

(n ∈ N)

∞

dx π = 2 2 2 −∞ (x + 4x + 5) ∞

dx = π. 2 −∞ (x − a) + 1

Ejercicio 12. Comprueba que las siguientes integrales valen lo que se indica. (Los parámetros

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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que aparecen se supone que son reales). (1)

(3)

(5)

Z

Z

Z

∞ −∞ ∞ 0 ∞

x cos(x) π dx = e−3 (cos(1) − 3sen (1)) 2 x − 2x + 10 3

¢ sen 2 (kx) π ¡ −2ka 1 − e dx = x2 + a2 4a

−∞

(2)

(a, k > 0)

(4)

xsen (ax) π dx = e−a sen (a) (a > 0) 4 x +4 2

(6)

Z

Z

Z

∞

cos(x) π dx = 2 e −∞ 1 + x ∞

xsen (πx) π dx = 2π 2 e −∞ x − 4x + 8 ∞

xsen (x) dx = πe−a . 2 2 −∞ x + a

Ejercicio 13. Prueba las siguientes igualdades (los parámetros que aparecen se supone que son reales): (1)

(3)

(5)

Z

Z Z

2π 0 2π 0 2π 0

1 2π dt = √ a + cos(t) a2 − 1

(a > 1)

(2)

dt 5π 2 dt = 32 (5 − 3sen (t))

(4)

sen (3t) dt = 0 5 − 3 cos(t)

(6)

Z

Z Z

π 0

cos(2t) πa2 dt = 1 − 2a cos(t) + a2 1 − a2

2π 0 2π 0

a2

cos2 (t)

dt 2π = 2 2 + b sen (t) ab

(|a| < 1)

(a, b > 0)

dt 2π = . 2 1 − 2a cos(t) + a 1 − a2

Ejercicio 14. Halla el número de raíces de z 4 + 5z + 1 = 0 en los círculos de centro 0 y radios 1 y 2, respectivamente, aplicando el Teorema de Rouché. Ejercicio 15. Prueba que z − ez + a = 0 (a > 1) tiene sólo una raíz en el semiplano izquierdo. Ejercicio 16. Determina el número de raíces de las siguientes ecuaciones en el interior del disco unidad. (1) (2) (3) (4)

z 5 + 8z + 10 = 0. z 8 − 2z 5 + z 3 − 8z 2 + 3 = 0. z 6 + 3z 5 − 2z 2 + 2z − 9 = 0. z 7 − 7z 6 + 4z 3 − 1 = 0.

Ejercicio 17. Determina el número de raíces con parte real positiva de los siguientes polinomios aplicando el criterio de Nyquist. x2 + 2x − 3,

x3 + 2x2 + 2x + 1,

x3 + 2x2 + 2x + 1,

x3 + x2 + 9x + 4.

Ejercicio 18. Prueba que el polinomio p(z) = z 3 + z 2 + 9z + 4 no tiene raíces en el semiplano derecho aplicando tanto el Criterio de Nyquist como el de Routh-Hurwitz. Ejercicio 19. Determina la estabilidad de los sistemas cuyas funciones de transferencia vienen

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

dadas por 1 , s4 + 8s2 + 24s2 + 32s − 65 1 , G2 (s) = 4 3 s + 6s + 5s2 − 2s − 10 1 , G3 (s) = 4 3 s + s + s3 + s + 1 G1 (s) =

usando tanto el Criterio de Nyquist como el de Routh-Hurwitz. Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores. Ejercicio 20. Enuncia y demuestra el Teorema de los Residuos. Ejercicio 21. (1) Sean f y g dos funciones analíticas en un dominio Ω y sea z0 ∈ Ω un cero simple de g en el que f(z0 ) 6= 0. Prueba que ¶ µ f 0 (z0 )g0 (z0 ) − f(z0 )g00 (z0 ) f(z) = Res , z . 0 [g(z)]2 [g 0 (z0 )]3 (2) Aplica esta fórmula para hallar el residuo de la función Ejercicio 22. Calcula radio igual a 2.

I

C

(z 2

ez en el origen. [sen (z)]2

1 dz siendo C la circunferencia con centro en el punto j y + 4)2

Ejercicio 23. Sea f la función compleja dada por µ ¶ zj Log 1 − 2π f (z) := 2 jz z (e + 1 − 2 cos(z)) donde Log(w) indica el logaritmo principal de un número complejo w cuando el argumento principal de w es el que pertenece al intervalo (−π, π]. (1) Halla el dominio de analiticidad de f y clasifica sus singularidades aisladas. (2) Halla la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f en z0 = 0 e indica en qué dominio es válido dicho desarrollo. (3) Calcula las integrales I

f(z) dz

y

C

I

C

f 0 (z) dz f (z)

siendo C la elipse de ecuación |z| + |z − 2π| = 4π. Ejercicio 24. (1) Halla los desarrollos de la función f (z) = todos los dominios anulares centrados en el punto z1 = 1.

z2

z en serie de Laurent en − 3z + 2

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(2) Sea C elI triángulo de vértices M = 1/2, N = 3 + j y P = 3 − j recorridos en el orden dado. Calcula f(z) dz. C

Ejercicio 25. (1) Halla el dominio de analiticidad y clasifica las singularidades aisladas de la función Log (1 + z −1 ) f(z) = e1/(z−3) + z−4 donde Log(w) denota el logaritmo principal de un número complejo w cuando se toma su argumento principal en el intervalo (−π, π].

(2) Determina el dominio de convergencia del desarrollo en serie de Laurent de f en el punto z0 = 3 y calcula la parte principal de dicho desarrollo. (3) Calcula la integral de f sobre la circunferencia con centro en z1 = 3 y radio 2. Ejercicio 26. Usa la aplicación del Teorema de los Residuos al cálculo de integrales de Fourier 1 . para hallar la transformada de Fourier inversa de la función F (ω) = jω Ejercicio 27. Calcula Z ∞ sen (2x) dx. 2 −∞ x + 2x + 5 Ejercicio 28. Calcula la integral Z

∞

−∞

cos(x) dx. x2 − 2x + 10

1 . − 6t + 10 Ejercicio 30. Sea z0 un polo triple de una función f(z). ¿Qué tipo de singularidad tiene en z0 la función f 0 (z)/f (z)? ¿cuánto vale su residuo? Razona tus respuestas. Ejercicio 29. Calcula la transformada de Fourier de la señal f (t) =

t2

Ejercicio 31. (1) Enuncia el Teorema de Rouché. (2) Determina el número de ceros de la función h(z) = ez − 6z 3 en el interior del círculo unidad. Ejercicio 32. (1) Halla y clasifica las singularidades de la función f(z) =

Log(z 2 + 1) − z 2 . z 3 (sen (πz))2

(2) Halla los tres primeros términos del desarrollo en serie de Laurent de f alrededor de z0 = 0. (3) Usando el Teorema de Rouché, determina el número de raíces del polinomio p dado por p(z) = z 6 + z 5 + z 2 en el interior del círculo C(0, 3/4) con centro en el origen y radio 3/4. (4) Sea C la frontera del conjunto Ω = {z ∈ C : |Re z| ≤ 1/2, |Im z| ≤ 1/2} .

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Lección 10. El Teorema de los Residuos

Calcula

I µ f(z) + C

1 6 z + z5 + z2

¶

dz.

Ejercicio 33. El dibujo muestra el diagrama de Nyquist de un polinomio f (z) de grado 5; es decir, la imagen por f(z) del segmento [−jR, jR] del eje imaginario, con R suficientemente grande, recorrida en el sentido que se indica. ¿Cuántos ceros de f(z) tienen parte real positiva? Razona tu respuesta. f ( jR )

0

f ( − jR )

Ejercicio 34. Aplica el criterio de Nyquist para determinar el número de ceros con parte real positiva de p(x) = x4 − 6x − 1.

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Bibliografía.

[517.5/2-CHU] R.V. Churchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, Cap. 6. [51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. 1. [517.5/WUN] W.A. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones, Cap. 5, 6 y 7.