Resumen de la Unidad II Unidad II – Probabilidades

UNIDAD II

Probabilidades

Definición de algunos términos

•Experimento Aleatorio: Es cualquier operación cuyo resultado no se puede predecir con exactitud. •Evento Aleatorio: Es un posible resultado del experimento aleatorio. Este resultado puede ser un número si la característica que se está observando es de naturaleza cuantitativa y será una cualidad o atributo si la característica es cualitativa. •Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Está representado por la letra griega Ω.

Definición de algunos términos

 Evento o Suceso: Es un subconjunto del espacio muestral finito, es decir, es un conjunto de posibles resultados.  Evento elemental: Es un evento que contiene un solo elemento, es decir, un solo resultado posible del experimento.

Probabilidad ocurrencia de un evento P(E) =

P(E) =

n de casos favorables en que ocurre E n de casos posibles del experimento n (E) n (Ω)

A este tipo de definición, se le denomina la definición clásica de la probabilidad de la ocurrencia de un evento.

Observaciones  Si los eventos A y B son excluyentes o disjuntos (Dos eventos son excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente), es decir A ∩ B = Φ, entonces: P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

 Si A y B son dos eventos cualesquiera, se tiene que: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)

Regla de la multiplicación de probabilidades La fórmula que define la probabilidad condicional de B dado A, considerando que P(A) > 0 es:

P(B A) =

P( A ∩ B ) P( A )

Se puede reacomodar multiplicando ambos lados de la ecuación por P(A). Así pues:

P( A ∩ B) = P( A) • P(B A) Esto significa que la probabilidad de que dos eventos A y B ocurran juntos, es igual a la probabilidad de que A ocurra multiplicado por la probabilidad que B ocurra, dado que A ha ocurrido.

Independencia de eventos Si la ocurrencia o no del evento A no afecta la probabilidad de que ocurra el evento B, entonces se dice que B es independiente de A.

Definición.- Dos eventos A y B son independientes si se cumple: P (A ∩ B) = P ( A ) • P ( B )

Regla de Bayes Las probabilidades P(F/E) y P(E/F) se refieren a eventos diferentes y en general no son iguales. Por ejemplo en el diagnóstico médico, el profesional puede conocer la probabilidad de un complejo particular de síntomas producido por una determinada enfermedad, pero lo que él desea para el paciente es la probabilidad de la enfermedad dado el complejo de síntomas. Sean los eventos: E : presencia de la enfermedad F: síntomas

Regla de Bayes Ahora los síntomas pueden presentarse con la enfermedad y sin la enfermedad, es decir: F = (E ∩ F) ∪ (E ∩ F) Luego:

P(F) = P(E∩F)+P(E∩F) = P(E) •P(F/E)+ P(E) •P(F/E)

y la pregunta que se formula el médico es: Dados los síntomas, ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Simbólicamente:

¿ P(E/F) ?

Regla de Bayes Tenemos:

P(E ∩ F ) P(E F ) = P(F )

P(E F ) =

P(E ) • P(F E ) P(E ) • P(F E ) + P(E ) • P(F E )

Fórmula conocida con el nombre de TEOREMA DE BAYES.

Evaluación de una prueba de tamizaje en un estudio comparativo caso-control utilizando el Teorema de Bayes Estado de la enfermedad

Resultados de la prueba

Presente (casos) B

Ausente (controles) B

Positiva (a)

Verdadero Positivo (VP)

Falso Positivo (FP)

Negativa (a)

Falso Negativo (FN)

Verdadero Negativo (VN)

Total

VP + FN

FP + VN

De este cuadro, podemos identificar los siguientes eventos: B: El evento de que una persona tiene la enfermedad en cuestión; B: El evento de que una persona no tiene la enfermedad; A: El evento de que el sujeto da una respuesta positiva a la prueba A: El evento de que el sujeto da una respuesta negativa.

Evaluación de una prueba de tamizaje en un estudio comparativo caso-control utilizando el Teorema de Bayes P(A/B): Probabilidad de una respuesta positiva dado que la persona tiene la enfermedad, o sea, es la proporción de positivos entre los enfermos, es decir, la sensibilidad de la prueba. Se calcula como: P( A B ) =

VP VP + FN

P(A/B): Probabilidad de obtener respuesta negativa dado que no tiene la enfermedad. VN , expresa la especificidad P( A B ) = FP + VN de la prueba Además se tiene que: P(B): Probabilidad de estar enfermo. Este término es la proporción de prevalencia real de la enfermedad. P(B): Probabilidad de no estar enfermo.

Evaluación de una prueba de tamizaje en un estudio comparativo caso-control utilizando el Teorema de Bayes Interés: Determinar la probabilidad de tener la enfermedad dado el hecho de ser positivo a la prueba, o sea, el valor predictivo positivo de la prueba. Esta probabilidad puede representarse como P(B/A).

Tenemos que por definición de probabilidad condicional se tiene que: P( A ∩ B )

P(B A ) =

P( A )

De acuerdo a la regla de multiplicación de eventos se tiene: P (A∩B) = P(B) • P(A/B) Por consiguiente:

P(B) • P( A B) P(B A) = P( A )

.......................(*)

Evaluación de una prueba de tamizaje en un estudio comparativo caso-control utilizando el Teorema de Bayes P(A) se puede escribir de la siguiente manera: P(A) = P(A y B o A y B) = P(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

Como A ∩ B y A ∩ B son disjuntos, se tiene que: P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(B) • P(A/B) + P(B) • P(A/B) Por consiguiente, reemplazando en (*), tenemos que: P(B A ) =

....................(1)

P(B) • P( A B) P(B) • P( A B) + P(B) • P( A B)

Este resultado se conoce como el Teorema de Bayes y sirve para calcular una probabilidad partiendo del conocimiento de otras. Esta probabilidad puede expresarse como:

P(B A) =

PREVALENCIA x SENSIBILID AD PREV. x SENS. + (1 − PREV.) • (1 − ESPECIF.)