TEOREMA DE ROLLE Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y tal que f(a) = f(b), entonces existe al menos un c ∈ (a , b) tal que f‘(c) = 0, es decir, hay un punto c del intervalo (a, b) en el que la tangente a la curva es horizontal.

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Sí f(x) = CTE ⇒ f’ (x) = 0 Sí f(x) ≠ CTE ⇒ al ser la función continua se presentará un máximo (M) ó un mínimo (m), al menos, por lo que f ’(M) = f ’(m) = 0

Es importante que se cumplan las hipótesis del Teorema de Rolle ya que en caso contrario no se cumple éste. Veamos algún ejemplo: Ejemplo 1: y = |x| La función no es derivable en el intervalo siempre que contenga al origen, luego no existe un punto que verifique f ‘( c ) = 0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE Si la f(x) es continua en [a, b] (a < b) y derivable en (a, b) entonces ∃ c ∈ (a, b) tal que f ( b ) − f (a ) = f ' (c) b−a Sea la función h ( x ) = [f (b) − f (a )]·x − (b − a )·f ( x ) h(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) por serlo f(x) y se verifica que en los extremos del intervalo [a , b], toma los siguientes valores h (b) = [f ( b) − f (a )]·b − ( b − a )·f (b) = a·f (b) − b·f (a )

h (b) = [f ( b) − f (a )]·a − (b − a )·f (a ) = a·f (b) − b·f (a ) luego por el Teorema de Rolle ∃ c ∈ (a, b) tal que h ' (c) = [f (b) − f (a )] − ( b − a )·f ' (c) = 0 luego f ( b ) − f (a ) = f ' (c) b−a si cambiamos b por x + h y a por x, obtenemos otra expresión de este teorema: f ( x + h ) − f ( x ) = h·f ' ( x + θh ) ; 0 < θ < 1

que se conoce como FÓRMULA DE LOS INCREMENTOS FINITOS.

1

El teorema tiene una sencilla interpretación geométrica como se ve en la figura,

en la que se verifica f ( b ) − f (a ) = tg α b−a que es la pendiente de la cuerda que une los puntos A (a , f(a)) y B (b , f(b)) y paralela a dicha cuerda hay una tangente a la curva en un punto c ∈ (a , b).

Ejemplo 1: Hallar el punto de la curva f ( x ) = 3x 3 + 3x en el intervalo (0,1) tal que la tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los extremos del intervalo. f ' ( x ) = 3 3 x 2 + 3 → f ' (c) = 3 3 ⋅ c 2 + 3 f (1) − f (0)   2 f ' (c) = : f (1) = 3 ⋅13 + 3 ⋅ 1 = 3 + 3  : 3 3 ⋅c + 3 = 3 + 3 1− 0   f (0) = 3 ⋅ 0 3 + 3 ⋅ 0 = 0   despejando c:

c=±

Ejemplo 2: Calcular el valor aproximado de

1 ± 3 = 3 3

200

Aplicando el T.V.M. a f ( x ) = x en el intervalo [196,200] f (200) − f (196) = 4

200 − 196 = 4

200 − 14 1 = f ' (c ) = 4 2 c

200 − 14 1 2 = ; 200 = 14 + 4 2 c c ) 1 1 1 2 2 2 2 Como 196 < c < 200 < 225 ⇒ 14 < c < 15 ⇒ > > ⇒ > > ⇒ 0'1428 > > 0'13 14 14 c 15 c 15 c Sustituyendo ) ) f (200) = 200 = 14 + 0'13 = 14'13

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY Sean f(x) y g(x) funciones continuas en [a , b] y derivables en (a , b), g(a) ≠ g(b) y no se anulan simultáneamente las derivadas en ningún punto interior, entonces existe al menos un punto c ∈ (a , b) tal que: f ( b ) − f ( a ) f ' ( c) = g ( b ) − g ( a ) g ' ( c) El teorema se puede demostrar aplicando el Teorema del valor Medio de Lagrange a cada una de las funciones: f ( b ) − f (a ) = ( b − a ) ⋅ f ' (c)

g(b) − g(a ) = (b − a ) ⋅ g' (c) dividiendo miembro a miembro f (b) − f (a ) f ' (c) = siempre que g(b) ≠ g(a) y g' (c) ≠ 0 g(b) − g(a ) g' (c) Otra forma de demostrarlo es mediante el teorema de Rolle, para ello se crea una función de la forma:

F(x ) = [f (b ) − f (a )]⋅ g(x ) − [g(b ) − g(a )]⋅ f (x )

Esta nueva función por ser combinación lineal de funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), también será continua en [a, b] y derivable en (a, b). F(x), toma valores iguales en los extremos del intervalo F(a ) = [f (b ) − f (a )]⋅ g (a ) − [g (b ) − g (a )]⋅ f (a ) = f (b ) ⋅ g (a ) − g (b ) ⋅ f (a ) F(b ) = [f (b ) − f (a )]⋅ g(b ) − [g(b ) − g(a )] ⋅ f (b ) = f (b ) ⋅ g(a ) − g(b ) ⋅ f (a ) Por lo tanto, la función F(x) cumple las condiciones del teorema de Rolle, y por tanto existe un valor c ∈ (a, b) tal que F′(c ) = 0

F′(x ) = [f (b ) − f (a )]⋅ g′(x ) − [g(b ) − g(a )]⋅ f ′(x ) Según el Teorema de Rolle: F′(c ) = [f (b ) − f (a )] ⋅ g′(c ) − [g (b ) − g (a )] ⋅ f ′(c ) = 0 Ordenando la expresión:

[f (b ) − f (a )]⋅ g′(c) = [g(b ) − g(a )]⋅ f ′(c) ⇒

f (b) − f (a ) f ' (c) = g(b) − g(a ) g' (c)

Ejemplo: Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = 4x3 + 6x2 – 12x y g(x) = 3x4 + 4x3 – 6x2 en el intervalo [0,1] y comprobar que no se verifica explicando la aparente anomalía.

( (

) )

f (a ) = f (0) ; f (b) = f (1) = −2 f (b) − f (a ) − 2 f ' ( x ) 12 ⋅ x 2 + x + 1 1 = = = = : g (a ) = g (0) ; g (b) = f (1) = 1  g (b) − g (a ) 1 g ' ( x ) 12 x ⋅ x 2 + x + 1 x Despejando x −1 x= ∉ (0,1) 2 El teorema se incumple por que las derivadas de las dos funciones se anulan simultáneamente en un mismo punto del intervalo. −1 ± 1+ 4 f ' ( x ) = 12· x 2 + x − 1  2 = 0'618  : x + x −1 = 0 ⇒ x = 2 2 g' ( x ) = 12x· x + x − 1  Sí aplicamos el teorema de Cauchy a las misma funciones en el intervalo [0 , ½] obtenemos:

( (

) )

3

 1 f (a ) = f (0) = 0 : f (b) = f   = −4  64 1 13  −4  1 2   = = ⇒x= = 0'2 ∈  0,  : 13  13 13 x 1 64  2 g(a ) = g(0) = 0 : g (b) = g  = − − 16  16 2

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