MATEMÁTICAS | UNIDAD 33
Teorema de Pitágoras
• Conocer el teorema de Pitágoras. • Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular lados faltantes en un triángulo rectángulo. • Revisar una demostración del teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras fue demostrado en la antigua Grecia y representó un enorme avance en las matemáticas. Incluso algunos matemáticos contemporáneos, como Ian Stewart, lo catalogan como la primera ecuación que cambió el mundo, debido a que la posibilidad de relacionar longitudes, áreas y números permitió el desarrollo de gran parte de las matemáticas, como la trigonometría o la geometría analítica. En esta unidad estudiaremos el teorema de Pitágoras, veremos algunas de sus aplicaciones y una de sus numerosas demostraciones.
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Teorema de Pitágoras
Catetos Hipotenusa Cuadrado
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°; en cualquier triángulo sólo puede haber un ángulo de este tipo, dado que la suma de los ángulos interiores es 180° (para que hubiera más de un ángulo de 90°, sería necesario que el tercer ángulo midiera 0°). Los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres específicos: los dos adyacentes al ángulo recto se llaman catetos, mientras que el opuesto a éste se denomina hipotenusa.
El teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados del triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa; entonces, si la hipotenusa es c y los catetos, a y b, tenemos lo siguiente: a² + b² = c² Un número positivo al cuadrado se puede representar geométricamente como un cuadrado cuyo lado es igual a ese número. Por ello, el teorema de Pitágoras
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se puede representar al construir cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo, como se muestra a continuación:
Observa que el cuadrado grande c², corresponde a la hipotenusa c, mientras que los otros dos cuadrados, a² y b², se relacionan con los catetos a y b, respectivamente. Pitágoras demostró el teorema anterior hace más de dos mil quinientos años. Con el paso del tiempo, se han dado varios sobrenombres a su representación gráfica, incluso algunos lúdicos; por ejemplo, hay quienes le llaman los “calzones de Pitágoras”, y lo representan así. En la figura, los cuadrados son el cuerpo y las piernas de Pitágoras, mientras el triángulo rectángulo representa sus “calzones”. Comprender la relación entre la hipotenusa y los catetos es fundamental, pues ésta tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, por ejemplo, nos permite calcular medidas y distancias, como veremos a continuación.
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras Calcular la medida de lados en triángulos rectángulos Cuando conocemos la medida de dos lados de un triángulo rectángulo, con el teorema de Pitágoras podemos calcular la medida del lado faltante. En general, la literal c representa la hipotenusa, mientras que a y b, representan a los catetos.
• c² = a² + b² • a² = c² − b² • b² = c² − a²
Si sabemos la medida de los dos catetos, a y b, basta con sustituir los valores conocidos en el teorema de Pitágoras: c² = a² + b², para conocer la hipotenusa. Observa, por ejemplo, el siguiente triángulo.
En este caso, a = 12 unidades y b = 5 unidades, entonces se tiene lo siguiente: c² = a² + b² c² = 12² + 5² c² = 144 + 25 c² = 169 c = √ 169 c = ±13
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Al calcular la raíz cuadrada de cualquier número mayor que cero, obtienes dos resultados, uno positivo y uno negativo. Sin embargo, dado que estamos calculando la medida de un lado, el resultado debe ser positivo. Por tanto, la hipotenusa mide 13 unidades. Si el lado desconocido es algún cateto, es decir, si conocemos la medida de la hipotenusa y de un cateto, obtener el valor del lado faltante es sencillo: en la primera expresión (c² = a² + b²) despejamos a o b, según corresponda, y sustituimos los valores conocidos. Así obtenemos dos fórmulas: a² = c² − b² y b² = c² − a². Por ejemplo:
En este caso, b = 15 unidades y c = 17 unidades, por lo que al utilizar la expresión obtenemos lo siguiente: a² = c² − b² a² = 17² − 15² a² = 289 − 225 a² = 64 a = √ 64 a = ±8
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De nuevo obtenemos dos valores, pero sólo consideramos el número positivo. Por tanto, el cateto desconocido, a, mide 8 unidades. En el ejemplo anterior, desconocíamos el valor de a; pero, si nos hubiera faltado la medida del cateto b, habríamos procedido de igual manera, sólo que usando la expresión b² = c² − a².
Calcular la distancia entre dos puntos Como comentamos anteriormente, el teorema de Pitágoras también permite calcular un dato importante en geometría analítica: la distancia entre dos puntos. Para ver cómo hacerlo, marcamos en el plano cartesiano dos puntos, junto con sus coordenadas: (x1, x2) y (y1, y2).
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Coordenadas Distancia Geometría analítica
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Además, trazamos rectas que pasan por los puntos y son paralelas a los ejes, las cuales serán perpendiculares entre sí, de modo que hemos construido un triángulo rectángulo del cual conocemos las medidas de los catetos: a = y2 − y1 b = x2 − x1 Así, con el teorema de Pitágoras, podemos calcular la distancia entre los dos puntos, c: c² = a² + b² c² = (y2 − y1)² + (x2 − x1)² c = √(y2 − y1)² + (x2 − x1)² No te preocupes si no comprendes todas las letras de la expresión anterior. En este momento de tu preparación académica no es fundamental que entiendas por completo la expresión, pero quisimos presentártela para demostrar otra aplicación del teorema de Pitágoras.
Una demostración del teorema de Pitágoras Existen muchísimas demostraciones del teorema de Pitágoras. Una de las más conocidas y sencillas utiliza el binomio al cuadrado y su desarrollo, el trinomio cuadrado perfecto, visto geométricamente. Por ello, para exponerla, utilizaremos lo que aprendiste en el repaso de las unidades anteriores, acerca de los productos notables.
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• Misma área • Binomio al cuadrado • Congruencia de triángulos
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Para demostrar el teorema, calcularemos el área de un mismo cuadrado de dos maneras distintas. Observa que los siguientes cuadrados, el azul y el anaranjado, tienen la misma área, pero se dividieron de distinta forma.
En el cuadrado izquierdo, como cada lado mide a + b, su área es igual a (a + b)². Esa expresión, desarrollada, es igual a² + 2ab + b². El área del cuadrado derecho es igual a la suma del área de los cuatro triángulos congruentes y un cuadrado más pequeño. El área de cada triánab gulo es 2 , mientras que la del cuadrado pequeño es c². Así, el área de todo ab el cuadrado es 4( 2 ) + c². Y, como los dos cuadrados tienen el mismo tamaño, las expresiones anteriores deben ser iguales: ab
(a + b)² = 4( 2 ) + c² a² + 2ab + b² = 2ab + c² a² + 2ab + b² − 2ab = 2ab + c² − 2ab a² + b² = c²
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El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras
catetos
Hipotenusa
Enunciado
Representación algebraica
c² = a² + b²
Aplicaciones
Calcular la medida de un lado faltante
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Calcular la distancia entre dos puntos
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Durante una tormenta, un árbol se fracturó a una altura de 1.60 m. Su punta cayó al suelo a una distancia de 7.40 m de la base. ¿Aproximadamente, cuánto medía de alto el árbol antes de fracturarse? A) 1.7 m B) 4.5 m C) 7.6 m D) 9.2 m
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