Teorema de Bayes Sean A1, A2, …, An ∈ Ω, mutuamente excluyentes ⇒ si A es cualquier evento ⇒
P Ak / A=
P Ak . P A/ Ak n
∑ P Ai . P A/ Ai i=1
Ej.1: La Caja I contiene 3 bolas rojas y 2 azules, y la Caja II, 2 rojas y 8 azules. Se lanza una moneda y, si sale cara, se saca una bola de la Caja I y si sale cruz, se saca una bola de la Caja II. Hallar la probabilidad de sacar una bola roja. 1 3
1 2
2
⇒ P R =P I . P R/ I +P II . P R / II = 2 . 5 2 . 10 = 5
Supongamos, por los datos del problema anterior, que quien lanza la moneda no revela si es cara o cruz pero dice que se extrajo una bola roja. ¿Cuál es la probabilidad que la bola roja se escoja de la Caja I? 1 3 . P I . P R/ I 2 5 3 ⇒ P I /R = P I . P R/ I +P II . P R/ II = 1 3 1 2 = 4 . . 2 5 2 10
Ej.2: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son: 3%, 4% y 5%, respectivamente. a) Realizar un diagrama de árbol. b) Si seleccionamos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que sea defectuosa. c) Si tomamos al azar una pieza y resulta ser defectuosa, calcular la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. d) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Ej.3: El 20% de los empleados de una empresa son Ingenieros (I) y el 20% Economistas (E). El 75% de los Ingenieros y el 50% de Economistas, ocupan puestos directivos; mientras que del resto (O) (no-ingenieros y no-economistas), sólo el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo, elegido al azar, sea Ingeniero? Ej.4: La probabilidad que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0,1; la probabilidad de que suene la alarma, si se ha producido un accidente, es de 0,97 y la probabilidad de que suene la alarma, si no se ha producido ningún incidente, es 0,02. En el supuesto que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
