Colegio Nacional de Ushuaia Apuntes teórico – prácticos 9no año – EGB 3

Matemática Beatriz Ledesma

PROPORCIONALIDAD. TEOREMA DE THALES. TRIGONOMETRÍA RAZONES Y PROPORCIONES: Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades. La razón entre a y b, donde b ≠ 0 se indica

a
a se denomina ANTECEDENTE y b se denomina CONSECUENTE. b

Cuatro cantidades a, b, c, d, en ese orden forman una proporción si se cumple que

a c = b d

b≠ 0 y d≠ 0

Se lee: “a es b como c es a d”

a y d se llaman extremos; b y c se llaman medios Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En

a c = ⇔ a ⋅b = b ⋅c b d 1 7 Un ejemplo numérico: = ⇔ 2 ⋅ 7 = 1 ⋅ 14 2 14

símbolos:

TEOREMA DE THALES: Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados en la otra E F A B

A//B //C//D E y F son transversales

ab bc cd = = a ' b' b' c ' c ' d '

a

C D

d

a’

b

b’

c

c’ d’

Consecuencias del teorema de Thales: Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte a los otros dos lados o sus prolongaciones, determina sobre éstos segmentos proporcionales.

ma nc = ab cb

ab cb = bm bn

1

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RAZONES TRIGONÓMETRICAS: Triángulos rectángulos: un triángulo rectángulo es aquel que tienen un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados, catetos.

Razones trigonómetricas: Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el adyacente y el otro es el opuesto.

Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera: Seno de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Sen x =

cat.opuesto hipotenusa

sen αˆ =

cb ab

ac y sen βˆ = ab

Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Cos x =

cat.adyacente hipotenusa

cos αˆ =

ac cb y cos βˆ = ab ab

Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Tg x =

cat.opuesto cat.adyacetne

tg αˆ =

cb ac

ac tg βˆ = cb

y

Si lo que se conoce es el ángulo, para calcular las razones trigonométricas se utiliza la calculadora científica y dichos valores se obtienen de la siguiente manera: • Para calcular el seno de 30°: Secuencia de las teclas: sin

3

0

°

=

En el visor aparecerá 0,5; este es el valor del seno de 30° • Para calcular el coseno de 45°: Secuencia de las teclas: cos

4

5

°

=

En el visor aparecerá 0,707106781. se redondea a las milésimas y el valor del coseno de 45° será 0,707. Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere saber el valor del ángulo: • El seno de un ángulo desconocido es 0,49: Secuencia de las teclas: shift

sin

0

.

4

9

2

=

, ,,

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En el visor aparecerá 29° 20’ 26,09’’. Se redondea los segundos y finalmente se considera el siguiente valor: 29°20’26’’. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de los tres lados y el valor de los dos ángulos agudos. Para ello se utiliza el teorema de Pitágoras, las razones trigonómetricas, y la propiedad de los ángulos agudos (en todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios) aˆ = 50° • Dado un ángulo agudo y uno de sus lados: Para calcular bˆ debe aplicarse la propiedad de los ángulos agudos: a

Datos

a c = 4cm

aˆ + bˆ = 90° ⇒ bˆ = 90° − aˆ ⇒ 90° − 50° ⇒ bˆ = 40° Para calcular el lado ab, debe aplicarse la razón trigonométrica que relacione los dos datos con el lado: cos aˆ =

c

b

ac ac 4cm 4cm ⇒ ab = ⇒ ab = ⇒ ab = ⇒ ab = 6,221cm ab cos aˆ cos 50° 0,643

Para calcular el lado cb debe razonarse de la misma manera: tg aˆ =

cb ⇒ cb = tgaˆ ⋅ a c ⇒ cb = tg 50° ⋅ 4cm ⇒ cb = 1,192 ⋅ 4cm ⇒ cb = 4,768cm ac

• Dados dos lados: Para calcular el lado mp, debe aplicarse el Teorema de Pitágoras: mr = rp + mp ⇒ mp = 2

2

2

mr − rp ⇒ mp = 2

2

(10cm)

2

− (4cm )

mp= 100cm 2 − 16cm 2 ⇒ mp = 9,165cm

r

Datos

mr =10cm rp = 4cm

2

m

p

Para calcular el rˆ , debe aplicarse una razón trigonométrica que relacione los datos dados con el ángulo:

rp 4cm ⇒ cos rˆ = ⇒ cos rˆ = 0,4 ⇒ rˆ = 66°25'19' ' mr 10cm ˆ , debe razonarse de la misma manera: Para calcular el m rp 4cm ˆ = Sen m ⇒ senmˆ = ⇒ senmˆ = 0,4 ⇒ mˆ = 23°34'41' ' mr 10cm cos rˆ =

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Actividades 1) Completar con = ó ≠ , según corresponda: a)

1 1 b) 2 ........ 3 6

3 7 ..... 7 3

c)

0,9 9 ...... 0,2 2

d)

3 9 ..... − 4 12

e)

9 4 ..... 5 2

2) Completar con el número que verifique a cada una de las siguientes proporciones: a)

..... 5 = 18 9

b)

12 ..... = 5 − 10

c)

− 21 3 = 35 .......

d)

− 16 ...... = − 15 45

3) Encontrar el valor de x aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

a)

7 35 = x 15

b)

x +1 6 = 2x 8

1 1 x−2 3= 4 2 3

2x − c)

1  11 2  ⋅ −  3  15 5  d) = x

−

1 6

(0,5)2 ⋅ 1

3

4) Escribir V (verdadero) y F (falso): a. A ab le corresponde ef sobre la otra transversal. _____ b. A bd le corresponde gh sobre la otra transversal. _____ c. A cb le corresponde ef sobre la otra transversal . _____

5) Tener en cuenta el gráfico y escribir los segmentos que correspondan para completar la proporción:

a)

ab ........ = bc ........

b)

bc ........ = bd ........

c)

........ a ' d ' = ......... b' c'.

d)

ab ........ = ........ c' d '

e)

ac ........ = ........ c' d '

6) Calcular el valor de x y escribir el valor de cada segmento: a) ab= x + 5 cm b) ac = 2x – 13 bc = 2x – 3 cm bc = 8 cm de = 7,5 cm db = 6cm ef = 7 cm de = x + 17 cm

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c) ac = 3x + 4cm bc = x + 5 cm ce = 18 cm cd = 8cm

7) Utilizar la calculadora científica y unir con flechas según corresponda: a. sen 35° 15’ * 0,573576436 b. cos 70° 45’ * 0,57714519 c. tg 60° * 0,5 d. sen 35° * 1,732050808 e. cos 60° * 0,329690645 8) Escribir en la línea punteada el valor del ángulo al que corresponden las siguientes razones: a. sen .............. = 0,33243549 b. tg ................ = 1, 482560969 c. cos ............. = 0, 390731128 d. sen .............. = 0,996755507 9) Resolver los siguientes triángulos rectángulos: a) b)

ab= 6,5 cm b = 37°

df = 12 cm f = 53°

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10) Resolver los problemas aplicando las razones trigonómetricas: a.

Hallar el área y los ángulos de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 16cm cada uno y su base 10cm. b. Desde un faro, a una altura de 49 m, se observa un velero con un ángulo de depresión de 15° 30’. ¿a qué distancia de la base del faro se encuentra el velero? c. Un hombre trata de cruzar un río, en línea recta y en forma perpendicular, desde una orilla hasta la otra. La corriente lo desvía alejándolo 50m del punto adonde quería llegar. Si el ancho del río es de 100m, ¿con qué ángulo se desvía? d. Desde el patio de una casa y a una distancia de 15m de la misma, una persona calculó en 23° el ángulo de elevación hacia el extremo superior de una antena ubicada en el techo de la casa. Luego midió el ángulo de elevación, desde la posición anterior, hasta el techo de la casa y resultó de 18°. ¿cuál es la altura de la antena?¿Qué distancia hay desde el techo hasta donde el observador realizó las mediciones? e. Se colocaron cuatro alambres de suspensión para una antena de transmisión y cada uno fue sujetado formando un ángulo de 72° con el piso. Si se utilizaron en total 150 m de alambre, ¿cuál es la altura de la antena? f. Un globo aerostático se observa desde dos posiciones A y B con un ángulo de elevación de 23° y 17°, respectivamente. Si el globo se encuentra a 183 m de altura, ¿cuántos kilómetros existen entre los dos puntos de observación? g. Un radar se encuentra a 80 m de altura. ¿a qué distancia de la base del radar se encuentra una persona que lo observa con un ángulo de elevación de 38°?

Nota: Para tener en cuenta en la resolución de los problemas:

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