Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Proporcionalidad, Teorema de Thales Docente responsable: Fernando Aso Teorema de Pitágoras El triángulo ABC es rectángulo y en él se cumple que:

Es decir: la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados menores es igual al área del cuadrado construido sobre el lado mayor. Esto no ocurre en los triángulos que no son rectángulos: El triángulo EFD es obtusángulo, en él se observa que:

La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeños es menor que el área del cuadrado construido sobre el lado mayor. Por ultimo si el triángulo es acutángulo:

La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados pequeños es mayor que el área del cuadrado construido sobre el lado mayor.

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Proporcionalidad, Teorema de Thales Docente responsable: Fernando Aso Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo los lados menores son los que forman el ángulo recto. Se llaman catetos, el lado mayor se llama hipotenusa.

b y c son catetos a es la hipotenusa El teorema de Pitágoras dice: a2  b2  c2

Es decir: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Números pitagóricos Hace más de 3000 años, los egipcios utilizaban el siguiente artilugio para construir ángulos rectos. En una cuerda, mediante nudos, se señalan 12 tramos iguales Con unas estacas se tensa la cuerda, de modo que se forme un triángulo de lados 3, 4, 5. Entonces el ángulo en que confluyen los lados de longitudes 3 y 4 es recto. Los números 3, 4 y 5 por cumplir la relación 52  4 2  32 , se llaman pitagóricos. Tres número naturales a, b, c, se llaman pitagóricos si cumplen con la relación a 2  b 2  c 2 , en tal caso, son los lados de un triángulo rectángulo. La terna de números pitagóricos 3, 4, 5 es la más conocida. De ella se obtienen fácilmente 6, 8, 10; 30, 40, 50; 15, 20, 25. Otras ternas pitagóricas son: 5, 12, 13 8, 15, 17

25  144  169 64  225  289

Razones y proporciones aritméticas Se llama razón, entre dos números racionales a y b, al cociente entre ambos, siendo b  0 . Antecedent e  a  r  razón Con sec uente  b  3 1 4 7  0,75  1,3 a) b)   0,125 c) d)   3,5 4 8 3 2

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Proporcionalidad, Teorema de Thales Docente responsable: Fernando Aso Dadas las siguientes razones: 1 7 1 7  0,5   0,5   2 14 2 14 Cuatro números racionales a, b, c y d (con b y d distintos de cero), forman una proporción si la razón entre los dos primeros es iguala la razón entre los dos segundos. a y d son los extremos de una proporción. b y c son los medios. a c a c “a es a b como c es a d” r r  d es el cuarto proporcional. b d b d 3 9 1 4 5 25 b) c)    4 12 3 12 2 10 Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales. a b  b c b es el medio. c es el tercero proporcional 2 8 1 3 1 2 a) b)    c)   8 32 3 9 2 4

a)

d) 

8 4  2 1

d) 

8 4  4 2

Propiedad fundamental de las proporciones En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. a c   ad  bc b d bc ad ad a b c d c b 3 6 a)   3  8  4  6  24  24 4 8 1 3 b)     115  5   3  15  15 5 13 Teorema de Thales Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados en la otra. ab bc cd   a´b´ b´c´ c´d´ Aplicando las propiedades se pueden establecer distintas proporciones a partir de la anterior. Corolario del teorema de Thales Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte a los otros dos lados o sus prolongaciones, determina sobre éstos, segmentos proporcionales.

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Aplicaciones del teorema de Thales División de un segmento en partes iguales Un segmento se puede dividir gráficamente en una cantidad x de partes iguales. Si, por ejemplo, se quiere dividir un segmento ab en 4 partes iguales, se procede de la siguiente manera: 1º Con origen en uno de los extremos del segmento se traza una semirrecta. 2º Con el compás, con una abertura cualquiera, se marcan a partir del origen cuatro segmentos iguales sobre la semirrecta. 3º Se traza la recta que une la última marca hecha en la semirrecta con el otro extremo del segmento. 4º Se trazan rectas paralelas a la trazada, que pasen por las marcas del compás sobre la semirrecta. Construcción del cuarto y tercero proporcional La interpretación gráfica del cuarto y tercero proporcional es la siguiente:

Para construir el cuarto proporcional a tres segmentos dados se procede de la siguiente manera: 1º Se trazan dos semirrectas con el origen en común. 2º Se transportan dos de los segmentos a partir del origen de una de las semirrectas, uno a continuación del otro ( ab y bc ) y luego el tercer segmento ( am ) sobre la otra semirrecta también a partir del origen. 3º Se traza la recta que une los puntos b y m; luego por c se traza la paralela a bm , quedando determinado el segmento md , que es el cuarto proporcional. Para construir el tercero proporcional se utiliza el mismo procedimiento, pero los segmentos am y bc deben ser iguales.