TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ASIGNATURA: MATEMÁTICA II (A.T.H.)- U.N.R.N. – AÑO: 2014

1) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por los métodos gráfico, de igualación y de sustitución, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son: a)

2 x + y = 8 b)  3 x − 2 y = − 2 

2 x − 5 y = 1  2 x − 5 y = 3

c) 3 x − y = 5 − 6 x + 2 y = −10

2) En los siguientes problemas, plantear el sistema de ecuaciones y luego resolverlo por cualquiera de los métodos vistos: a) Un operador turístico vende un paquete de 100 pasajes aéreos a un destino A y 50 pasajes aéreos a un destino B por un monto total de 145000$ a una agencia de turismo. Luego, esta agencia vende al público todos estos pasajes, recaudando un total de 163200$. Si con la venta de cada pasaje al destino A la agencia ganó un 10% y con cada pasaje al destino B ganó un 15%, ¿cuál era el valor de cada pasaje originalmente? b) En un aeropuerto trabajan 265 personas. El 10% de las mujeres y el 20 % de los hombres no tienen estudios secundarios. Si el número total de personas que tienen estudios secundarios asciende a 226 ¿cuántos hombres y mujeres trabajan en ese aeropuerto? c) ¿Cuál es la superficie de un terreno rectangular si su perímetro es de 120 metros y el ancho es el triple que el largo? d) Una empresa tiene un salario constituido por un sueldo básico y una bonificación por año de antigüedad. Si un empleado con 4 años de antigüedad gana $1900 y uno con 20 años de antigüedad gana $3500, determinar cuál es el sueldo básico y cuál la bonificación por año. 3) Proponer un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea: a) compatible determinado, b) compatible indeterminado, c) incompatible Justifica en cada caso tus respuestas. 4) Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son e interpretando geométricamente el resultado.

2 x + y = 5  a)  x + 2 y = 2 x − y = 3 

3 x = 4 + z b)   y = 2 − 3z

10 x − y = 1  c) 5 x + y = 0 2 x + y = 2 

x − y = 1  d) 2 x − 2 = 2 y 5 + 5 y = 5 x 

x + y + z = 3 e)  2 x − y − z = 0

5) Resolver cada uno de los siguientes sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss, indicando en cada caso qué tipo de sistemas son e interpretando geométricamente el resultado:

2 x + y − z = 2  a) 2 x + 3 y + 5 z = 1 x + y + 6z = 2 

 x − y + 3z = 3  b)  x + 2 y − z = 2 2 x + y + 2 z = 5 

 x + y − 3z = 0  c) 2 x + y + z = 0 x + y + z = 0 

3x + y − 2 z = 1  d) 6 x + 2 y − 4 z = 3 − 3 x − y + 2 z = 2 

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6) Resolver los siguientes problemas, planteando el sistema de ecuaciones: a) Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía? b) La suma de las edades de tres hermanos es de 32 años. La edad del mayor es igual a la suma de las edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 años, el mayor doblará la edad que tenga el menor. Calcula la edad actual de cada uno de los hermanos. c) Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 18. Además, la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos y, por último, si a este número le restamos el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 99. d) Para una fiesta de casamiento, un fotógrafo tiene los siguientes precios: 90 fotos grandes y 60 fotos pequeñas a $990; 135 fotos grandes y 90 fotos pequeñas a un precio de $1485; y 117 fotos grandes y 78 pequeñas a $1287. ¿Cuánto sale cada foto grande y cada foto pequeña? e) En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. ¿Se puede calcular cuántos hombres, mujeres y niños hay en la reunión? Si no es así, agrega el dato que consideres necesario poder calcularlo y calcúlalo. 7) Determinar si los SEL de ejercicio 1) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer. 8) Determinar si los SEL de ejercicio 4) son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer. 9) Resuelve los siguientes problemas aplicando cualquiera de los métodos vistos, planteando previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente: a) Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del 76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo? b) Un fabricante produce tres artículos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y 3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por año, y los costos de producción por cada unidad son 4$, 5$ y 7$ respectivamente. En el año 2008 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ganancias. Si el costo total fue de 80000$, ¿cuántas unidades de cada producto fabricaron en el año 2008? c) Una compañía produce tres artículos A, B y C, que deben ser procesados en tres máquinas I, II y III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento de cada producto por las tres máquinas está dado en la siguiente tabla: I II III

A 3 1 2

B 1 2 4

C 2 1 1

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La máquina I está disponible 490 horas diarias, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas. d) Las ecuaciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son 3p + 5x = 200 y 7p – 3x = 56 respectivamente. Hallar el punto de equilibrio del mercado. (Resolver también gráficamente) e) Un señor colocó $20000 en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso total anual fue de $1624, y el ingreso de la inversión del 10% fue el doble del ingreso del de la del 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? f) Herón de Siracusa hizo hacer una corona de oro que pesaba 7465 gr. Para saber si el orfebre había reemplazado al oro por plata, Arquímedes sumergió la corona en agua, donde ella perdió 467 gr. de su peso. Se sabe que el oro pierde 0,052 de su peso y la plata 0,095. ¿Cuánto oro y cuánta plata tenía la corona? g) Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $ y un total de 2000 $. Si el número de billetes de 10 $ es el doble que el número de billetes de 20 $, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. h) Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de pesos. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600000 $. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de pesos. ¿Cuánto le costó cada objeto? i) Una compañía paga a sus trabajadores calificados $16 por hora y a los semicalificados $9,5 por hora. Loe empleados que realizan envíos cobran $10 la hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar 70 empleados más, para lo cual ha decidido pagar un total de $800 la hora. A causa de un arreglo con el sindicato, deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que calificados. ¿Cuántos empleados calificados, semicalificados y de envíos debe contratar la compañía? j) Un grupo de personas se reunió para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resultó ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número hubiera igualado al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños se reunieron? k) Un estudiante obtuvo, en un examen que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. Determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. l) Un fabricante vende un cierto producto por 110 $ la unidad. Los costos de producción ascienden a 60$ por unidad, y sus costos fijos son de 7500$. ¿Cuántas unidades debe vender y qué ingresos le generarán, para lograr un beneficio nulo? 10) Resuelve el siguiente sistema de 4x4, si es posible, por el método de Cramer, y por Gauss. x + z = 3 x + y + w = 9   x + y + 2z − w = 3  x − 2 y − z + w = −2 11) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por inversión de la matriz de coeficientes:

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 x + y + z = 11  a) c) 2 x − y + z = 5 3x + 2 y − 24 = − z  12) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss:  x + 2 y + 3z = 3  2 x + 5 y + 7 z = 6 3 x + 7 y + 8 z = 5

x + y − z = 2 a)   2 x − 3 y + 4 z = −3

 x + y + z = −1  b) 2 x + 3 y − z = 0 3x − 2 y + z = 4

u − v + 2w = 5  b) 4u + v + 3w = 15 5u − 2v + 7 w = 31

3x − 4 y + 4 z = −1  c)  x − y + 2 z = 5 4 x + 3 y + z = 6 

Respuestas: 1) a) x=2,y=4 (compatible determinado) b) incompatible c) compatible indeterminado. 2) a) 710$ y 1480$ b) 140 mujeres y 125 hombres c) 675 m2 d) sueldo básico=1500$, bonificación por año de antigüedad=100$. 8 1 4) a) Comp determ. x = ; y = − (dos rectas que se cortan en ese punto) 3 3 b) Comp. Indet {(4/3+1/3z; 2-3z; z), z R}(dos planos que se cortan en una recta) c) Incompatible (rectas secantes dos a dos) d) Comp. Indet {(x; x-1), x R}(rectas coincidentes) e) Comp. Indet. {(1; 2-z; z), z R} (tres planos que se cortan dos a dos en una recta) 7 5 1 9 4 8 3 5) a) Comp. determ. x = ; y = − ; z = b) Comp. indeterm. y = − x ; z = − x 4 4 4 5 5 x 5 c) Comp. determ. (solución trivial) d) Incompatible 6) a) 2 aviones tipo A, 3 tipo B y 5 tipo C. b) 16, 12 y 4 años c) el número es 594. 7) a) si b) no c) no 7) a) si. b) no c) si d) no 9) a) la cadena 9 gramos y el anillo 3 gramos. ; b) 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 de C. c) Deben producirse 98 artículos de A, 76 de B y 60 de C. ; d) x = 28 ; p = 20. ; e) 6000$, 6800$ y 7200$. f) La corona tenía 5631,97 gramos de oro y 1833,03 gramos de plata. ; g) 50 billetes de 10$, 25 de 20$ y 20 de 50$. ; h) Cada uno de los dos primeros objetos de arte costaron 500000$ y un millón de pesos costó el 3er objeto. ; i) 40 semicalificados, 20 calificados y 10 empleados de envíos. ; j) 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. k) Obtuvo un punto en la primer pregunta, 3 puntos en la segunda y 4 en la tercera. ; l) 150 unidades, que dan un ingreso de 16500$. 10) x=1 ; y=3 ; z=2 ; w=5. 10) a) x= 1; y = -2; z = 2 ; b) x= 1; y = -1; z = 1; c) x=4; y=5; z=2 12) a) SCI x= 3/5-1/5z; y= 7/5+6/5 z ; b) S. Incompatible ; c) SCD x= 109/5; y= 40/3; z=2/5

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