TP Nº 5 Sistemas de Ecuaciones - Profesor: Martin Goin – UNRN - Ingeniería

Sistema de Ecuaciones Llamamos Sistema de Ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Puede estar compuesto por dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Por ejemplo:

En este caso el sistema está formado por tres ecuaciones con 4 incógnitas. La primera ecuación presenta un polinomio de grado 2, la segunda de grado 3 y la tercera es de grado uno. En nuestro caso vamos a ver Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2 X 2, es decir de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo:

Sistema de Ecuaciones Lineales Interpretación geométrica: Cada ecuación de un sistema de este tipo (lineal y con dos incógnitas) representa una recta en el plano. Para resolver el sistema se debe hallar el o los puntos de intersección. Importante: Recordemos que una manera fácil de graficar es dejando de modo explicita cada ecuación (Y en función de X). Para el ejemplo anterior nos quedaría de la siguiente manera:

La primera ecuación está representada por una recta de pendiente positiva 5/3 y corta la ordenada al origen en -7/3, mientras que la segunda recta tiene una pendiente positiva de 1/4 y su ordenada al origen es 1/2. La grafica entonces nos quedaría de la siguiente forma:

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Claramente se ve que las dos rectas se intersectan en el punto (2; 1), es decir que si reemplazamos los valores X = 2 e Y = 1 se cumplen las dos igualdades. En este caso hallamos una única solución, pero podría pasar que encontremos infinitas o directamente no encontremos ninguna. En cada caso se tiene una clasificación en la solución> Sistema Compatible Determinado: Si tiene una única solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas que se cortan en un punto. Sucede cuando las rectas No son paralelas. Sistema Compatible Indeterminado: Si tiene infinitas soluciones. La representación gráfica del sistema son dos rectas coincidentes. Sucede cuando las rectas son paralelas y coincidentes Sistema Incompatible: Si no tiene solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas que son paralelas, es decir No cortan. Sistema Incompatible

Sistema Compatible Indeterminado

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La recta azul está conformada por las dos rectas coincidentes (verde y roja)

No siempre es suficiente obtener el resultado por medio de la gráfica, sobre todo cuando los valores no son enteros, porque necesitamos mayor precisión. Para eso será factible resolverlo a través de métodos aritméticos.

Métodos de Resolución A continuación veremos otras formas de obtener los resultados (no gráficos) con dos métodos muy conocidos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Métodos de Igualación y Sustitución.

Método de Igualación Consiste en: 1) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, quedando en función de la otra incógnita 2) Luego se iguala lo obtenido al despejar obteniendo una ecuación de una sola variable 3) Se resuelve la ecuación para obtener el valor de la única variable 4) Se reemplaza el valor de la variable obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones del ejercicio 5) Se verifican los resultados reemplazando los valores de las dos variables en ambas ecuaciones del ejercicio Resolvemos por método de Igualación el ejercicio resuelto geométricamente:

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1)

Despejamos Y en ambas ecuaciones:

2)

3)

4)

Por ejemplo en la primera ecuación

Es decir que el resultado es:

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5)

Verificamos en ambas ecuaciones reemplazando el resultado:

Se verifican las igualdades Importante: Al obtener un único valor, entonces se trata de un Sistema Compatible Determinado

Método de Sustitución Consiste en: 1) Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones 2) Se reemplaza la variable que se despejó en la otra ecuación, obteniendo una ecuación en una variable 3) Se resuelve para obtener el valor de esta variable 4) Se reemplaza el valor de la variable obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones del ejercicio 5) Se verifican los resultados reemplazando los valores de las dos variables en ambas ecuaciones del ejercicio Resolvemos por método de Igualación el ejercicio anterior:

1)

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Despejamos Y en la primera ecuación:

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2)

3)

4)

Por ejemplo en la primera ecuación

Es decir que el resultado es:

5)

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Verificamos en ambas ecuaciones reemplazando el resultado:

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Se verifican las igualdades Importante: No es necesario utilizar ambos métodos. Con uno es suficiente, pero si se podría reforzar con la gráfica de ambas rectas para saber si la intersección coincide con el resultado obtenido. Veamos la resolución del siguiente ejercicio:

Lo vamos a resolver con el método de igualación

1)

Despejamos Y en ambas ecuaciones:

2)

3)

Sistema Incompatible Página 7

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Importante: Cuando desaparece la variable en la resolución (en este ejemplo la X) y la igualdad final no se cumple significa que el sistema es incompatible. No tiene solución Veamos otro ejemplo:

Para alternar métodos, vamos a resolverlo con sustitución

1)

Despejamos Y en la primera ecuación:

2)

3)

Sistema Compatible Indeterminado Importante: Cuando desaparece la variable en la resolución (en este ejemplo la X) y la igualdad final se cumple significa que el sistema compatible indeterminado. Es decir que existen infinitas soluciones. Se trata de todos los puntos de la recta que determinan las dos ecuaciones Resolución de problemas: Los sistemas de ecuaciones también permiten resolver problemas. Los pasos a seguir son: Procedimientos para resolver problemas a) b) c) d)

Definición de las incógnitas Traducir al lenguaje algebraico el enunciado Planteamiento de la solución Resolución del sistema de ecuaciones (cualquier método)

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TP Nº 5 Sistemas de Ecuaciones - Profesor: Martin Goin – UNRN - Ingeniería e)

Verificación y coherencia del resultado obtenido respecto del enunciado

Problema 1: La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro. ¿Qué números son? a)

X → primer número

Y → segundo número

b)

La suma de los dos números es 12 → X + Y = 12

La mitad de uno de ellos el doble del otro → X/2 = 2Y c)

Nos queda el siguiente sistema:

d) Resolvemos por sustitución Despejamos Y en la primera ecuación Luego lo reemplazamos en la otra ecuación

Resolvemos Y

Sistema Compatible Determinado e)

Verificación: Reemplazamos las soluciones de X e Y en el sistema de ecuaciones

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Se cumplen las igualdades También podemos reforzar la verificación con la grafica de las dos rectas en el plano

Importante: Recordemos que una manera fácil de graficar es dejando de modo explicita cada ecuación (Y en función de X). Para el ejemplo anterior nos quedaría de la siguiente manera:

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TP Nº 5 Sistemas de Ecuaciones - Profesor: Martin Goin – UNRN - Ingeniería Ejercicios Prácticos para hacer en clase: 1) Resolver las siguientes inecuaciones usando alguno de los métodos (sustitución/igualación) y graficar Además se pide clasificar el tipo de solución. a)

b)

d)

e)

g)

h)

c)

f)

i)

2) Resolver los siguientes problemas: a) En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente. b) Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor. c)

Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?

d) Un libro se vende en dos presentaciones: una rústica y una de lujo. Un señor compra 10 rústicas y 3 de lujo y paga por las diez primeras $2200 más que por las tres de lujo. Otro señor compra una de lujo y dos rústicas, y paga en total la cuarta parte de lo que abonó el anterior. ¿Cuál es el precio de cada presentación? e) Un señor compró dos cuadros, pagando por ambos $16800. Luego los vendió, ganando un 15% con el primer cuadro, pero perdiendo un 10% con el segundo. De todos modos, obtuvo una ganancia final de $1320. ¿A qué precio había comprado los cuadros? f) Un operador turístico vende un paquete de 100 pasajes aéreos a un destino A y 50 pasajes aéreos a un destino B por un monto total de $1450000 a una agencia de turismo. Luego, esta agencia vende al público todos estos pasajes, recaudando un total de $1632000. Si con la venta de cada pasaje al destino A la agencia ganó un 10% y con cada pasaje al destino B ganó un 15%, ¿cuál era el valor de cada pasaje originalmente?

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