ECUACIONES Ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones polinómicas se resuelven dependiendo del grado. Ecuaciones de 1º grado. Se despeja la variable teniendo en cuenta las reglas elementales del álgebra: i)

Si la ecuación tiene denominadores, se quitan multiplicando todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. x−a x−2 Ejemplo: m.c.m = 2b −1 = − 2 b x−a x−2 2b − 2b ⋅ 1 = 2b ⋅ x − 2b 2 b b(x − a ) − 2b = 2bx − 2(x − 2 )

ii)

Si existen paréntesis, se quitan aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. bx − ab − 2b = 2bx − 2 x + 4

iii)

Se separan los términos que tienen variable de los numéricos, intentando dejar los términos con variable en el primer miembro de la ecuación. bx − 2bx + 2x = 4 + ab + 2b

iv)

Se agrupan los términos y si es necesario se saca factor común de x. 2x − bx = 4 + ab + 2b : x ⋅ (2 − b ) = 4 + ab + 2b Por último se despeja la variable. 4 + ab + 2b x= 2−b

v)

Ecuaciones de 2º grado. Las ecuaciones de segundo grado tiene la forma:

ax 2 + bx + c = 0 Se resuelven mediante la expresión: x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

(

)

El número de soluciones de la ecuación depende del valor del discriminante ∆ = b 2 − 4ac de la ecuación: -

Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , la ecuación tiene dos soluciones diferentes.

-

Si ∆ = b 2 − 4ac = 0 , la ecuación tiene una solución doble, dicho de otra forma la solución es única.

-

Si ∆ = b 2 − 4ac < 0 , la ecuación tiene soluciones imaginarias, dicho de otra forma, no tiene soluciones reales.

Para ecuaciones de segundo grado incompletas, no es necesario aplicar la expresión general, aunque si se aplica también se obtienen las soluciones. Ecuaciones de segundo grado sin término independiente: ax 2 + bx = 0 Se resuelven sacando factor común de x e igualando a cero cada factor por separado. x=0  b ax 2 + bx = 0 : x ⋅ (ax + b ) = 0 :  ax + b = 0 : x = −  a Ecuaciones de segundo grado sin término en x. ax 2 + c = 0

1

Se resuelven despejando x. ax 2 + c = 0 : ax 2 = −c : x 2 = −

c c : x=± − a a

Ecuaciones bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas tienen la forma: ax 2n + bx n + c = 0 Se resuelven mediante un cambio de variable que convierte la expresión en una ecuación de segundo grado.  x n = t  2 ax 2n + bx n + c = 0 :  2n  : at + bt + c = 0 x = t 2  Ecuación que se resuelve mediante como una ecuación de segundo grado y que una vez obtenids los valores de t, se obtienen los valores de x t=

− b ± b 2 − 4ac 2a

 t = t1 = x n ⇒ x = n t1 : n t = t 2 = x ⇒ x = n t 2

Ecuaciones polinómicas en general. Se resuelven mediante el método de Ruffini. Ecuaciones racionales. Se resuelven multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores y ordenando la expresión como una ecuación polinómica. Ecuaciones irracionales. Son ecuaciones que llevan raíces. El método de resolución depende del número de raíces que lleve la ecuación.

Si la ecuación lleva solo un radical, se aísla el radical en uno de los miembros de la ecuación y se elevan los dos miembros de la ecuación al índice del radical, eliminando de esta forma el radical y transformando la ecuación en polinómica. Si la ecuación lleva dos radicales cuadráticos, se puede optar por separar los radicales en distintos miembros de la ecuación o dejarlos en un mismo miembro. Para eliminar los radicales, habrá que elevar, de forma sucesiva, dos veces la ecuación al cuadrado, aislando entre una y otra el radical que nos quede.

2