PROBLEMAS DE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 1. Para la calificación de un curso, se decide que la primera evaluación cuente un 25%, la segunda, un 35% y la tercera, un 40%. Una alumna a tenido un 5 en la primera y un 7 en la segunda. ¿Qué nota tiene que conseguir en la tercera para que su calificación final sea 7? Solución. Media ponderada: x = ∑ pi ⋅ x i Donde pi es el tanto por uno de ponderación de cada valor. 35 40 25 7= ⋅5 + ⋅7 + ⋅x 100 100 100 0,4 ⋅ x = 7 − (0,25 ⋅ 5 + 0,35 ⋅ 7 ) 3,3 x= = 8,25 0,4 2. Un profesor de tenis reparte pelotas entre sus alumnos para hacer un entrenamiento. Da 3 a cada uno y le sobran 12. Como quiere que cada alumno tenga 5, calcula que debe comprar 18 pelotas más. ¿Cuántos alumnos son? Solución. x ≡ nº de pelotas El número de alumnos es el mismos en ambos casos y es igual al número de pelotas que reparte entre en número de pelotas que da a cada alumno. En el primer caso le sobran 12, reparte x − 12 dando 3 pelotas por alumnos y por tanto, el x − 12 número de alumnos es . 3 En el segundo caso le faltan 18, repartiría x + 18 dando 5 pelotas por alumnos y por tanto, el x + 18 . número de alumnos es 5 Igualando se despeja x 114 x − 12 x + 18 = 57 : 5 ⋅ (x − 12 ) = 3 ⋅ (x + 18) : 5x − 60 = 3x + 54 : 2x = 114 : x = = 2 3 5
El profesor tiene 57 pelotas. 3. La edad de un padre es el cuádruplo de la de su hijo, pero dentro de 16 años será solamente el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Solución. x ≡ Edad de hijo; 4x ≡ Edad del padre hijo : x + 16 Dentro de 16 años: ; Edad padre = 2× Edad hijo Padre : 4 x + 16 4x + 16 = 2 ⋅ (x + 16 ) : 4x + 16 = 2x + 32 : 2 x = 16 : x = 8 El hijo tiene 8 años y el padre 32. 4. La suma de un número par, el par anterior y los dos impares que lo siguen, es 34. Calcula ese número. Solución. • Par: 2x • Par anterior: 2x − 2 • Impares siguientes: 2x + 1; 2x + 3 2x + 2 x − 2 + 2x + 1 + 2 x + 3 = 34 : 8x + 2 = 34 : 8x = 32 : x = 4 El número es 8.
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5. Un grifo A tarda en llenar un depósito el doble de tiempo que otro B. Abiertos simultáneamente, llenan el depósito en dos horas. ¿Cuánto tardará cada uno por separado? Solución. x ≡ Tiempo que tarda el grifo B en llenar el depósito. 2x ≡ Tiempo que tarda el grifo A en llenar el depósito.
La ecuación se obtiene igualando la suma de la fracción de depósito que llena cado uno de los grifos en la unidad de tiempo con la fracción de depósito por unidad de tiempo necesaria para llenarlo en 120 minutos. Si x es lo que tarda el grifo B en llenar el depósito, unidad e tiempo, de igual forma,
1 es la fracción de depósito que llena en la x
1 es la fracción de depósito que llena el grifo A en la unidad e tiempo. 2x 1 1 1 + = x 2 x 120
Sumando se despeja x.
3 ⋅ 120 3 1 = : x= = 180 2 2 x 120 El grifo B tarda en llenar el depósito 120 minutos, el grifo A el doble, 360 minutos
6. Un remero sube con su barca un río a una velocidad de 30m/min y baja a 60m/min. ¿Hasta qué distancia se aleja en paseo de hora y media? Solución. x ≡ Distancia en metros que se aleja el remero. La igualdad se establece sumando el tiempo que emplea en subir con el que emplea en bajar e igualando la suma al tiempo total. El tiempo se expresa en función del espacio recorrido (igual en la subida que en la bajada, x) y de la velocidad que lleva en cada uno de los trayectos recordando la s s definición de velocidad en física elemental v = : t = . t v x • Tiempo de subida = 30 x Tiempo de bajada = • 60 Tiempo de subida + Tiempo de bajada = 90 min x x 3x 90 ⋅ 60 + = 90 : = 90 : x = = 1800 30 60 60 3 El remero se aleja 1800 m del punto de salida 7. Un grupo de abejas, cuyo número es igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, 8 se poso sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a del enjambre, solo una abeja del mismo 9 enjambre revoloteaba sola en torno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas. ¿Cuántas abejas forman el enjambre? Solución. La ecuación se plantea sumando las abejas que hay en cada uno de los grupos e igualando al número de abejas que tiene el enjambre.
Si denominamos por x el número de abejas del enjambre: • • •
x 2 8 Abejas muy alejadas: x 9 Abejas en torno al loto: 2
Abejas en el jazmín:
2
Abejas en el jazmín + Abejas muy alejadas + Abejas en torno al loto = Abejas del enjambre x 8 + x+2=x 2 9
x x 8 x 1 x 1 = x− x−2 : = x − 2 : 9⋅ = x − 18 = 9 ⋅ x − 2 : 9 2 9 2 9 2 2 9 Elevamos al cuadrado para quitar la raíz: 2
2
x 9 = (x − 18)2 : 9 2 ⋅ x = x 2 − 36x + 324 : 81 x = x 2 − 36x + 324 2 2 2
(
)
81x = 2 ⋅ x 2 − 36 x + 324 : 81x = 2x 2 − 72x + 648 : 2x 2 − 153x + 648 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones, una de ellas se descarta por ser un número decimal y x debe ser un entero positivo (nº de abejas ≥ 0).
2x
− b ± b 2 − 4ac x a → : − 153x + 648 = 0 2
= 720 x=9 2
2
El enjambre está formado por 72 abejas 8. Dos campesinas llevaron en total cien huevos al mercado. Una de ellas tenía más mercancía que la otra, pero recibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, la primera campesina dijo a la segunda: “Si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tu, habría recibidos 15 cruceros”. La segunda contestó: Y si yo hubiera vendido los huevos que tenias tú, habría 2 cruceros”. ¿Cuántos llevo cada una? sacado de ellos 6 + 3 Solución. Sea x el número de huevos que lleva la primera campesina y x − 100 la segunda. La ecuación se plantea a partir de la igualdad de beneficios de ambas campesina, igualando los productos del número de huevos de cada campesina por su precio de venta.
El precio de venta de cada campesina se obtiene de la conversación entre ellas: El precio de venta de la campesina A es el cociente del beneficio que hubiera obtenido la campesina B entre su número de huevos, si los hubiera vendido al precio de A. 2 6+ Beneficio de B 20 3 Precio venta A = = = nº huevos B 100 − x 3(100 − x ) Razonando de la misma forma se obtiene el precio de venta de B. Beneficio de A 15 15 Precio venta B = = = nº huevos A x x Igualdad: nº huevos A × Precio de A = nº huevos B × Precio de B 15 20 x⋅ = (100 − x ) ⋅ x 3(100 − x ) 20 x 2 = 45(100 − x )2 : 4x 2 = 9(100 − x )2
(
)
4x 2 = 9 100 2 − 200x + x 2 : 4x 2 = 90000 − 1800x + 9x 2 5x 2 − 1800x + 90000 = 0 : x 2 + 360x − 18000 = 0 Resolviendo la ecuación se obtienen dos soluciones, de las cuales una es mayor de 100 y se
descarta. x
2
− b ± b 2 − 4ac a → : + 360 x − 18000 = 0 2
x = 60 x = 300
La campesina A lleva 60 huevos y la B 40.
3
9. Una cuadrilla de segadores debía segar dos campos, uno con doble superficie que el otro. Durante medio día trabajo toda la cuadrilla en el campo grande. En la otra mitad del día, se repartieran, trabajando la mitad en el campo grande, y la otra mitad en el pequeño. Quedó sin segar una pequeña porción del prado pequeño, que ocupó un día completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? Solución. x ≡ nº de segadores. La igualdad se establece teniendo en cuenta que la superficie del campo grande es el doble que la del campo pequeño, y expresando estas en función del número de segadores que trabajan y el tiempo que emplean, suponiendo que todos los segadores siegan la misma superficie en el mismo tiempo 1 x 1 • Superficie campo grande = x ⋅ + ⋅ 2 2 2 x 1 • Superficie campo pequeño = ⋅ + 1 ⋅ 1 2 2 Superficie campo grande = 2×Superficie campo pequeño 1 x 1 x 1 x ⋅ + ⋅ = 2 ⋅ ⋅ + 1 2 2 2 2 2 Ordenando x x x x + = +2 : =2 : x =8 2 4 2 4 La cuadrilla la forman 8 segadores. 10. A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga, con ocho; Vera con 9, y así sucesivamente hasta llegar a Nina, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada? Solución. Maria, la chica que baila con menos chicos, baila con siete, por lo tanto el número de chicos será seis unidades mayor que el número de chicas, suponiendo, por tal y como se enuncia el problema (María bailó con siete muchachos, Olga, con ocho; Vera con 9, y así sucesivamente hasta llegar a Nina), que el número de chicos con los que bailan las chicas va aumentado de uno en uno. Si denominamos por x al número de muchachos, x − 6 será el número de chicas, y la suma de ambos es 20. x + x − 6 = 20 : 2x = 26 : x = 13
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