FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
UNIDAD 4 – Sistemas de ecuaciones lineales..................................................................... 84 Introducción ......................................................................................................................... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ............................................... 84 4.2.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales ...................................................... 85 4.2.1.- Método de igualación ........................................................................................ 85 4.2.2.- Método de sustitución ....................................................................................... 88 4.2.3.- Método de reducción......................................................................................... 89 4.3.- Problema de aplicación............................................................................................ 90 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 4.............................................................................. 91 1.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales ............................................................. 91 2.- Resolver los siguientes problemas ................................................................................. 93
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
UNIDAD 4 – Sistemas de ecuaciones lineales Introducción En esta unidad se aborda el estudio de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se analizan distintos métodos para resolverlos, lo que permite elegir el que resulte más conveniente en cada caso particular. También se realiza la interpretación gráfica, considerando la importancia que tiene este recurso para facilitar la comprensión del problema e ilustrar las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales.
4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas • Se desea determinar el valor de dos números reales x e y , que verifican la siguiente condición: “el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”. La condición requerida establece que:
2x + y = 7 Se ha planteado una ecuación lineal con dos incógnitas. Como ya se vio anteriormente el conjunto solución S1 de esta ecuación está formado por infinitos pares ordenados ( x, y ) que la verifican. Simbólicamente: S1 = {( x; y ) / 2 x + y = 7} o bien S1 = {( x; y ) / y = 2 x + 7} Para obtener algunos de estos pares que son solución de la ecuación planteada, se dan valores a x y se determinan los correspondientes para y , utilizando la expresión y = 2x + 7 . Por ejemplo: si
x = 1, y = 5 .
(1,5) es una de las soluciones de la ecuación, ya que 2 1 + 5 = 7 . También son soluciones: (0,7) , ( 2,3) , K La representación gráfica de la ecuación 2 x + y = 7 es una recta. Los puntos que pertenecen a la recta verifican la ecuación y por lo tanto son las soluciones de la misma.
y
(0,7)
(72 ,0)
O
84
x
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
• Se desea determinar el valor de dos números reales simultáneamente las siguientes condiciones:
x e y , que verifican
o
“el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”
o
“la diferencia entre x e y es igual a 2 ”.
Las condiciones planteadas pueden expresarse algebraicamente del siguiente modo:
2x + y = 7 x y=2 Han resultado dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Estas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente, por eso se dice que forman un sistema de ecuaciones lineales. Se observa que cada una de las ecuaciones del sistema se representa gráficamente mediante una recta. Es importante tener en cuenta que: Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas significa hallar, si es que existen, todos los pares ( x, y ) que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
4.2.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero en este capítulo sólo se verán los siguientes: método de igualación, método de sustitución y método de reducción. 4.2.1.- Método de igualación Sea el sistema
2x + y = 7 . x y=2
Se indican a continuación los pasos a seguir para resolver este sistema empleando el método de igualación. 1º) Se despeja la misma incógnita en cada ecuación.
y = 2x + 7 y=x 2 2º) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación con una incógnita que se formó.
x 2 = 2x + 7 x + 2x = 7 + 2
3x = 9 x=3 3º) Se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones obtenidas en el primer paso, el valor de la incógnita que se ha determinado, y así se calcula el valor de la otra incógnita. En y = x
2 se reemplaza x por el valor obtenido y resulta:
y = 3 2 =1 Curso de Ingreso
85
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
La solución del sistema es el par ordenado (3,1) . Resulta conveniente verificar si la solución hallada satisface las ecuaciones del sistema.
2 3 +1 = 7 3 1= 2 Ahora se puede afirmar que el conjunto solución es S = {(3,1)}. El sistema tiene sólo una solución. El conjunto solución tiene un único elemento, por lo tanto el cardinal de S es igual a 1 : S = 1 (ver Apéndice A – Conjuntos). Gráficamente:
y = 2 x + 7 es la ecuación de la recta r1 y = x 2 es la ecuación de la recta r2 Las dos rectas tienen en común el punto P (3,1) . Ese punto representa gráficamente la solución del sistema.
y
P (3,1) x
O
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales. Interpretación gráfica. Se vio que si al representar gráficamente las dos ecuaciones lineales de un sistema, las rectas que resultan se cortan en un punto, entonces el sistema tiene única solución. Sin embargo, hay sistemas que tienen infinitas soluciones y otros que no tiene solución. Los ejemplos que siguen muestran estas situaciones. Ejemplo 1: Sea
x 2y = 6 2 x = 12 + 4 y • Se despeja y de la primera ecuación.
2y = x + 6
y=
1 x 3 (I) 2
• Se despeja y de la segunda ecuación. 86
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
4 y = 2 x 12
y=
1 x 3 (II) 2
Se observa que las expresiones (I) y (II) son iguales. Esto significa que las ecuaciones del sistema corresponden a la misma recta. Cada punto ( x, y ) de esa recta es solución del sistema. El sistema tiene infinitas soluciones. El conjunto solución es S = ( x, y ) / y =
1 x 3 2
y
S =
.
Gráficamente:
y
O
(6,0)
x
(0,-3)
Ejemplo 2: Sea
2x + y = 3 2 y = 4x + 2 • Se despeja y de la primera ecuación.
y = 2 x 3 (I) • Se despeja y de la segunda ecuación.
y = 2 x + 1 (II) Las expresiones (I) y (II) corresponden a las ecuaciones de dos rectas que tienen igual pendiente, pero distinta ordenada al origen. Esas rectas son paralelas y no tienen ningún punto en común. El sistema no tiene solución. El conjunto solución es vacío: S =
S = 0.
y
Gráficamente:
y
x
O
Curso de Ingreso
87
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
En el siguiente cuadro se presenta una clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Incompatibles No tienen solución
Compatibles Tienen solución
y
Determinados Única solución
Indeterminados Infinitas soluciones x y
y
Las rectas son paralelas
P
x
x
Las rectas se cortan en un punto
Las rectas son coincidentes
Observación Antes de aplicar cualquier procedimiento algebraico es conveniente realizar primero la representación gráfica de las ecuaciones del sistema para determinar si el sistema tiene o no solución y si tiene solución establecer si es única o no. 4.2.2.- Método de sustitución Se aplicará el método de sustitución para resolver el sistema
2x + y = 7 , ya resuelto x y=2
anteriormente por el método de igualación. El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 1º) En este ejemplo se despeja y en la primera ecuación.
y = 7 2x 2º) En la otra ecuación se sustituye y por 7
2x .
x (7 2 x ) = 2 3º) Se resuelve esta ecuación que tiene una sola incógnita.
x (7 2 x ) = 2 88
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
x 7 + 2x = 2
x + 2x = 2 + 7 3x = 9 x=3 4º) Se sustituye en la expresión y = 7 la otra incógnita.
2 x el valor obtenido para x y se calcula el valor de
y = 7 2 3 =1 La solución del sistema es el par ordenado (3,1) . Se confirma, aplicando ahora el método de sustitución, que el conjunto solución del sistema dado es S = {(3,1)}. 4.2.3.- Método de reducción El sistema
2x + y = 7 se resolverá también aplicando el método de reducción. x y=2
Este método consiste en: • Multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las dos ecuaciones. • Luego, se restan las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y poder despejar la otra. 1º) Se puede observar que si no se modifica la primera ecuación y se multiplica por 2 la segunda, se igualan los coeficientes correspondientes a la incógnita x . Se obtiene un sistema equivalente al original que resulta:
2x + y = 7 2x 2 y = 4 2º) Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema.
2x + y = 7 2x 2 y = 4 0x + 3 y = 3 3º) Se resuelve la ecuación que quedó.
3y = 3
y =1 4º) Se sustituye el valor de y en alguna de las ecuaciones originales y se despeja la otra incógnita.
2x + 1 = 7
x=
7 1 =3 2
Curso de Ingreso
89
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
El conjunto solución es S = {(3,1)}, el mismo que se obtuvo cuando se resolvió el sistema por los otros métodos. Otra forma de resolver el sistema de ecuaciones de este ejemplo es eliminando la variable y , para lo cual en este caso se suman miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema:
+
2x + y = 7 x
y=2
3x + 0 y = 9 Entonces: x =
9 =3 3
Reemplazando en x
3
y = 2 , resulta:
y=2 y =1
4.3.- Problema de aplicación Un bodeguero debe realizar una venta de 355 litros de vino de dos variedades distintas: Malbec y Cabernet. Si el precio del vino Malbec es $ 8 el litro y el de Cabernet es de $ 6 el litro, ¿cuántos litros de cada variedad debe vender el bodeguero para recibir por la venta un total de $2590? Sea:
x la cantidad de litros de vino Malbec que se deberán vender e y la cantidad de litros de vino Cabernet. Las condiciones del problema establecen que:
x + y = 355 l
8 $l x + 6 $l y = $2590 Ha quedado planteado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, el cual podrá ser resuelto aplicando alguno de los métodos vistos. Se deja como ejercicio encontrar el conjunto solución.
90
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 4 1.- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Dado el sistema
2x + y = 1 2 y = 4 4x
a) Representar gráficamente las ecuaciones del sistema b) Determinar gráficamente si el sistema tiene solución o no. Si el sistema tiene solución, encontrar analíticamente el conjunto solución. 1.2. Construir para cada gráfico un sistema de ecuaciones cuya representación geométrica sea la dada. y
y
5 4 2 x
5
2
6
x
y
4 2 2
x
4
1.3. Para los sistemas de ecuaciones lineales que figuran a continuación: i) Interpretar gráficamente cada uno de ellos ii) En cada caso, indicar si el sistema tiene solución o no, y si tiene solución establecer si es única o no. iii) Si el sistema tiene solución única, resolverlo mediante un método analítico. Escribir el conjunto solución. iv) Si el sistema tiene infinitas soluciones, proporcionar al menos dos de ellas
a.
x 3 x + 5
Curso de Ingreso
y =2 2 y 2 = 2 5 91
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
b.
2x y = 1 4x 2 y 4 = 0
c.
3x + 2 y = 14 2x + y = 8
d.
u = 2v 4 3u 6v + 12 = 0
e.
3x + 7 y = 4 3 7 x+ y =4 5 5
f.
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
2x 5 y = 3 3x = 10 + 5 y y+2 3 y 1 x= 2 x=
g.
h.
3 y + 3x =
3 2
y = 4x 2 i.
4 x = 10 3 y 12 x = 10 9 y
j.
x y 2=0 6 x = 4( y 2 )
k.
4 x + 6 y = 18 2x + 3 y = 9
l.
2x + 3y = 4 4x 3 y = 5
m.
2x y = 0 4x + 2 y = 4
n.
2x 6 y = 1 x 3y = 4
92
Curso de Ingreso
FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.- Resolver los siguientes problemas 2.1. Un joyero ha vendido 18 pulseras de plata y 13 de oro por $3500. Una pulsera de oro cuesta cuatro veces lo que cuesta una de plata. ¿Cuál es el precio de una pulsera de cada clase? 2.2. Esteban pagó una cuenta de $300 con billetes de $2 y de $5. En total empleó 90 billetes para hacer el pago.¿Cuántos billetes de cada valor utilizó? 2.3. Entre dos estantes de una librería hay 90 libros. Si se pasan 10 libros del segundo al primer estante, ambos quedan con la misma cantidad de libros.¿Cuántos libros había inicialmente en cada estante? 2.4. Un número de dos cifras es tal que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades, y la diferencia de las dos cifras, aumentada en 12, es igual a 15. Calcula ese número. 2.5. Laura es 17 años mayor que Pablo y la suma de sus edades es 75 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 2.6. En un grupo de 560 personas asistentes a un espectáculo la razón entre hombres y mujeres es 2/5. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres concurrieron? 2.7. La edad de María más el duplo de la edad de Pedro es 14. El duplo de la edad de María dentro de 4 años será la de Pedro dentro de 6 años. Calcular la edad de ambos. 2.8. Un comerciante compra dos objetos por $2100 y los vende por $2202. Si en la venta de uno de los objetos gana el 10% y en el otro pierde el 8%, ¿cuánto pagó por cada uno de los objetos? 2.9. En un triángulo isósceles la suma de la base y de la altura es igual a 40cm. Si se agregan 12cm a la base, se obtiene 9/4 de la altura. Calcular el área. 2.10. Si se aumenta en 2m tanto el ancho como el largo de un rectángulo, el perímetro mide 30m Si el largo se disminuye en 2m resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 2.11. El perímetro de un rectángulo mide 17cm y su base mide 0,1dm más que el doble de la altura. Averiguar las medidas en m del rectángulo 2.12. El propietario de un campo ha decidido sembrar en él dos tipos de cultivo: A y B. La semilla del cultivo A cuesta $4 por hectárea, y la del cultivo B, $6 por hectárea. El costo de mano de obra es de $20 por hectárea para el cultivo A y de $10 por hectárea para el cultivo B. Si el propietario dispone gastar $480 en semillas y $1400 en mano de obra, ¿cuántas hectáreas de cada cultivo podrá sembrar? 2.13. Un elaborador de vinos artesanales se dispone a preparar un corte (mezcla) entre dos variedades: chardonay y pinot gris. Para responder a un pedido de compra, el volumen total de la mezcla a obtener debe ser de 1420 litros. Si el volumen de chardonay que interviene en la mezcla es igual a dos tercios del volumen de pinot gris más 120 litros, ¿cuántos litros de cada variedad deben mezclarse para obtener el corte deseado?
Curso de Ingreso
93
Unidad 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ
2.14. Juan para ingresar a la universidad debe rendir un examen tipo test que consta de 20 preguntas. Por cada respuesta correcta obtiene 0,5 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le resta 0,25 puntos. Si luego de corregida la prueba obtuvo 7 puntos, calcular cuantas respuestas correctas tuvo.
94
Curso de Ingreso
