CIENCIA TECNOLOGÍA PRODUCCIÓN

Matemáticas

Operaciones algebraicas

3.° Secundaria

Contenido del libro Operaciones algebraicas

Ecuaciones y números complejos

Operaciones con polinomios Productos y potencias División Teorema del resto y sus consecuencias

Funciones, ecuaciones e inecuaciones lineales Función lineal Ecuaciones y función lineal Inecuaciones y función lineal Valor absoluto

Factorización Generalización de casos de factorización Otros métodos de factorización Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Potencias y radicales Potenciación y radicación de números reales Transformaciones algebraicas de los radicales Operaciones con radicales Racionalización

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Métodos algebraicos para resolver sistemas Método de determinantes Sistemas de inecuaciones

Geometría Congruencia de segmentos, ángulos y figuras planas Elementos básicos de la geometría Congruencia de polígonos Congruencia de triángulos Razón, proporción y semejanza Razón y proporción en la geometría Semejanza de polígonos Teoremas de Tales y sus consecuencias Teoremas relativos a los lados de un triángulo

Números complejos Los números imaginarios Los números complejos

Fracciones algebraicas Fracción algebraica Operaciones con fracciones algebraicas

4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Índice Operaciones algebraicas 1 Operaciones con polinomios 6 El peso de las ideas Productos notables y geometría  7 • Productos y potencias  8 • División 14 • Teorema del resto y sus consecuencias  18 Problemas resueltos de profundización 22 Taller de Matemática División sintética generalizada  26 Conexiones Polinomios en la economía  27 Resumen y actividades finales 28

2 Factorización 32 El peso de las ideas: Diferentes caminos para una solución  33 • Generalización de casos de factorización  34 • Otros métodos de factorización  41 • Mínimo común múltiplo y máximo común divisor  45 Problemas resueltos de profundización 50 Taller de Matemática Factorización de polinomios por la regla de Ruffini 54 Conexiones La matemática y el deporte  55 Resumen y actividades finales 56

3 Potencias y radicales 60 El peso de las ideas Las potencias y las dimensiones  61 • Potenciación y radicación de números reales  62 • Transformaciones algebraicas de los radicales  65 • Operaciones con radicales  68 • Racionalización 73 Problemas resueltos de profundización 76 Taller de Matemática Potencias y raíces  80 Paradojas La verdad (por simple observación) que resultó falsa  81 Resumen y actividades finales 82

4 Fracciones algebraicas 86 El peso de las ideas El número áureo  87 • Fracción algebraica  88 • Operaciones con fracciones algebraicas  94 Problemas resueltos de profundización 102 Taller de Matemática Evaluación de fracciones  106 Paradojas La paradoja de la repartición de la herencia  107 Resumen y actividades finales 108

Solucionario 112 Bibliografía 122 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

5

1 Fracción algebraica ! Actividad inicial. Escribe cada número como una fracción: 0,5; 4; 3,7; 4, 5; - 3.

1.1 Definición y características Las expresiones

2 n 1 a + b x 2 + 2 xy + y 2 , , , son fracciones algebraicas. n-2 x a-b x3 + y3

Una fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y cuyo denominador son expresiones algebraicas, y donde el denominador se define de tal forma que no puede tomar un valor de 0. Decimos que una fracción está definida cuando su denominador es diferente de cero. Las condiciones que deben satisfacer las letras o variables de una fracción para evitar que el denominador sea igual a cero se llaman restricciones de la fracción algebraica.

Problemas resueltos 1. Indica las restricciones que se deben aplicar para que las fracciones estén definidas.

4+x . El denominador debe ser distinto de 0. Entonces: 2x - 3 3 3 2 x - 3 ! 0 ( x ! ; por tanto, x debe ser distinto a . 2 2 3 b) . El denominador debe ser distinto de 0. Entonces: x+y

a)

c)

x + y ! 0 ( x !- y; por tanto, x y y no deben tener valores opuestos: x ! - y. 5 2

x +4

. El denominador debe ser distinto de 0. Entonces:

x 2 + 4 ! 0 ( x 2 !- 4; por tanto, no existen restricciones reales, ya que ningún número real elevado al cuadrado es negativo.

Actividades 1. Determina las restricciones para las siguientes fracciones.

a)

x+3 x-5

b)

1 2x - 6

c)

8 3x - 7

d)

3+x x

e)

6 x - 2y

1.2 Fracciones equivalentes Actividad inicial. El papá de Ana preparó un pastel. Ana comió la cuarta parte del pastel y su hermana comió la tercera parte de lo que quedó. ¿Quién comió más pastel?

Cambio de signos. Todas las fracciones tienen 3 signos: Signo de la fracción 88

-

-a -b

Signo del numerador Signo del denominador ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Si a y b son dos números reales (con b ! 0), se pueden realizar los siguientes cambios de signos: -a a -a a = ==b -b b -b -

-a a -a a = = =b -b b -b

Más información Ejemplos de cambio de signos: 2 -2 -2 2 = ==-3 -3 3 3 -

Si en una fracción algebraica se cambian dos signos, la fracción no cambia. Si se cambian uno o tres signos, la fracción sí cambia de signo.

7 -7 -7 7 == = -6 6 -6 6

Problemas resueltos 2. Cambia los signos en la fracción -

a-x+4 . x-a

Podemos cambiar el signo de la fracción y el signo del numerador: -

- _a - x + 4 i -a + x - 4 a-x+4 x-a-4 =+ = = x-a x-a x-a x-a

Más información

También podemos cambiar el signo de la fracción y el signo del denominador: -

a-x+4 a-x+4 a-x+4 a-x+4 =+ = = -x + a a-x x-a - _ x - ai

- _ x - a i =- x + a

Y también podemos cambiar el signo del numerador y el signo del denominador: -

En un binomio, el signo negativo delante del paréntesis invierte el orden de los términos. = a-x

- _a - x + 4 i -a + x - 4 a-x+4 x-a-4 ===-x + a x-a a-x - _ x - ai

3. Cambia signos al numerador y al denominador en

5_ x - 1i

_1 - x i _5 - x i

.

Como el numerador y el denominador están compuestos por factores, debemos cambiar el signo a un factor del numerador y a un factor del denominador. Probemos con el primer factor: 5 _ x - 1i

_1 - xi_5 - xi

=

- 5 _ x - 1i

-_ 1 - x i _ 5 - x i

=

- 5 _ x - 1i

_- 1 + xi _5 - xi

=

- 5_ x - 1i

_ x - 1 i _5 - x i

También podemos cambiar el signo al segundo factor: 5` x - 1j

_1 - xi_5 - xi

=

5 a - _ x - 1 ik

_ 1 - x i a - _ 5 - x ik

=

5_- x + 1i

_1 - xi_- 5 + xi

=

5 _1 - x i

_1 - x i _ x - 5 i

Actividades 2. Cambia las fracciones con signo negativo a fracciones con signo positivo y

expresa las fracciones que tienen signo positivo con signos cambiados en el numerador y en el denominador. a) -

b)

x-1 x2

_ x - 2i_ x + 3i - _2 - x i x2 - 2 x + 1 2x + 1 c) e) g) i) 4 x2 _ x + 1i_ x - 4i - _ x + 1i_ x - 4i - _ x3 - 1 i

- _4 - 2 x i 5 _ x + 3i x+3 1-x x2 - x + 1 d) f) h) j) -2 x - 4 -1 - x 2x + 5 _2 x - 1 i _3 - 2 x i 4 x _ x - 1i

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89

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROFUNDIZACIÓN 17. Analiza críticamente las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.

a)

2+x 3

x +8



b)

6 2

x -y



c)

2 2

x +x



2 d) x + 2 3 x-y

Recordemos que el denominador de una fracción debe ser distinto de 0 ( porque la división entre 0 no está definida ) y que, en particular, una fracción algebraica es válida solo para aquellos valores de sus variables con los que el denominador es distinto de 0. Se trata, entonces, de indicar los valores que debemos excluir para que el denominador no tome el valor 0.

a) x 3 + 8 ! 0 ( x 3 ! - 8 Debemos excluir los valores que, elevados al cubo, son 3 iguales a - 8. Luego, debemos excluir - 2, porque _ - 2 i =- 8. Restricción: la variable x admite cualquier valor real con excepción del - 2. b) x 2 - y ! 0 ( x 2 ! y Debemos excluir todos los pares de números tales que el cuadrado de x sea igual a y. Estos pares son infinitos; por ejemplo: (x = 0; y = 0), (x = 1; y = 1), (x = 2; y = 4), f Restricción: las variables x y y admiten cualquier par de valores reales en los que el cuadrado de x es distinto de y. x _ x + 1 i ! 0 El producto de x y x + 1 debe ser distinto c) x 2 + x ! 0 de 0. Luego, cualquiera de estos factores debe ser distinto de 0. Por lo tanto, debemos excluir los casos en que: x = 0 y x + 1 = 0 ( x =-1. Restricción: la variable x admite cualquier valor real con excepción de 0 y - 1. factorizando

2 puex+2 de ser igual a 0, pero como es una fracción, x + 2 ! 0; entonces, x !- 2. 3 debe ser distinto de 0. Además, como es una fracción, Su denominador x-y x - y ! 0 ( x ! y. Debemos excluir los pares de números reales iguales. Restricción: las variables x y y admiten cualquier par de valores en los que x ! y y, además, específicamente, x !- 2.

d) Se trata de una fracción algebraica compuesta. Su numerador

18. Simplifica las fracciones aplicando cambios de signo solo en el numerador.

a)

2 x - 2y 5y - 5 x

factorizamos

2_ x - yi 5_y - xi

Como el numerador se compone de 2 factores, si cambiamos el signo en estos dos factores, la fracción no se altera. Entonces: - 2 a - ` x - y jk 5 `y - xj

b)

102

_ 3 + x i_ x - 5 i

5-x

=

=

- 2` y - x j 5` y - x j

=

-2 5

`- _3 + x ij `- _ x - 5 ij 5-x

=

_- 3 - x i _ 5 - x i

5-x

= -3 - x

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

x-5 cuyo denominador sea 2 x 2 + x - 10. x-2

19. Encuentra una fracción equivalente a

Debemos encontrar una expresión algebraica E por la cual multiplicamos el numerador y el denominador de tal manera que: _ x - 2 i $ E = 2 x 2 + x - 10

_ x - 2 i _2 x + 5 i 2 x 2 + x - 10 = = 2x + 5 x-2 x-2

E=

La fracción buscada se consigue multiplicando el numerador y el denominador por _2 x + 5 i. _ x - 5 i _2 x + 5 i 2 x 2 - 5 x - 25 = $ _ x - 2 i _2 x + 5 i 2 x 2 + x - 10

20. Simplifica la fracción

2 m 3 - 3 m 2 - 23 m + 42 32 - 8 m 2

.

A veces no es fácil determinar si el numerador o el denominador son factorizables (o si tienen divisores comunes). En estos casos, es necesario probar con diferentes estrategias de factorización.

3

El numerador de la fracción es factorizable por la regla de Ruffini ( la síntesis del procedimiento se muestra en el margen ). El denominador se puede factorizar fácilmente: primero, por factor común y, después, por diferencia de cuadrados perfectos: 2 m 3 - 3 m 2 - 23 m + 42 32 - 8 m 2

=

_ m - 2 i _ m - 3 i _2 m + 7 i 8 _4 - m 2 i

=

- 3 - 23 4 2 2 1 - 21 6 21 2 7 0 1442443 2

2

42 - 42 0 _ m - 2 es factor _ m - 3 es factor

2 m + 7 es factor

_ m - 2 i _ m - 3 i _2 m + 7 i 8 _2 + m i _2 - m i

Para obtener factores comunes en el numerador y en el denominador, debemos realizar un cambio de signos, pero, para que este cambio no altere la fracción, debemos realizar el cambio de signos en dos factores del denominador. Entonces:

_ m - 2 i _ m - 3 i _2 m + 7 i 8 _2 + m i _2 - m i

21. Simplifica la fracción

=

_ m - 2 i _ m - 3 i _2 m + 7 i - 8 _2 + m i _ m - 2 i

=-

2 _ x 2 - 3 i _ - 6 x i - _- 3 x 2 - 9 i _ 4 x i _ x 2 - 3 i

_ x2 - 3 i

4

_ m - 3 i _2 m + 7 i 8 _2 + m i

.

Para simplificar esta expresión será necesario factorizarla. Determinamos, entonces, el factor común en el numerador. _ x 2 - 3 i9_ x 2 - 3 i _- 6 x i - _- 3 x 2 - 9 i _4 x iC _ x2 - 3 i

43

Operamos: =

- 6 x3 + 18 x - _- 12 x3 - 36 x i _ x2 - 3 i

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

3

=

6 x 3 + 54 x _ x2 - 3 i

3

=

6 x_ x2 + 9 i _ x2 - 3 i

3

103

TALLER DE MATEMÁTICA

Evaluación de fracciones El propósito de este taller es aprender a evaluar expresiones algebraicas con una calculadora y utilizar este conocimiento para determinar si una simplificación o una operación de fracciones ha sido bien efectuada. 1. Si una igualdad algebraica P = Q es válida, esta se transforma en una igualdad numérica verdadera para todos los valores numéricos de sus variables. Así, por ejemplo, la igualdad x 2 - y 2 = ^ x + yh ^ x - y h es válida porque genera una igualdad numérica verdadera para cualquier asignación de valores que hagamos a sus variables x y y. Probemos con x = 5 y y = 2 . Vemos que resulta en una igualdad numérica verdadera: 5 2 - 2 2 = ^5 + 2 h ^5 - 2 h , 25 - 4 = 7 $ 3 , 21 = 21

Si una determinada evaluación de la igualdad P = Q genera una igualdad numérica falsa, entonces hemos demostrado que esa igualdad no es válida. Si una determinada evaluación genera una igualdad numérica verdadera, entonces podemos suponer, razonablemente, que la igualdad es válida; aunque no nos será posible demostrarlo estrictamente porque no podemos realizar todas las evaluaciones posibles. 2. Analicemos si el miembro derecho de la siguiente igualdad es el resultado correcto de la operación de suma y resta de fracciones planteada en el miembro izquierdo: x 2 - 2xy y x - 2y x + = 4 ^x + yh 12 ^ x + yh 3 ^ x 2 - y 2 h 6x - 6y

Evaluaremos la igualdad para cualquier par de valores que no esté prohibido por las restricciones de las fracciones; por ejemplo, para x = 2 y y = 5.

Es conveniente usar las memorias de la calculadora: asignemos la variable x = 2 a la memoria A y la variable y = 5 a la memoria B (Guardar=STOre; Mostrar=ReCaLl). STO

• Guardamos 2 en la memoria A:

A

RCL

2

.

STO

• Guardamos 5 en la memoria B:

B

RCL

5

• Para ver si el 2 está guardado en la memoria A:

. RCL

A

(se ve en la pantalla: A 2).

3. Evaluamos el miembro izquierdo de la igualdad utilizando las teclas B

escribir la variable x y las teclas escribir la operación, pulsamos A 2 -2AB

3 ^A 2 -B 2h

+

ALPHA

=

A

ALPHA

para

para escribir la variable y. Después de

y en la pantalla vemos:

B A 2 =6A -6B 21 4 ^A +Bh

A -2B 2 . =21 12 ^A +B h Como la evaluación de ambos miembros genera la misma fracción, podemos concluir que las operaciones entre fracciones han sido bien realizadas.

4. De forma similar, evaluamos el miembro derecho de la igualdad:

106

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CONEXIONES

Polinomios en la economía La economía, considerada por muchos como una ciencia social y por otros como una ciencia exacta, nos ofrece múltiples ejemplos de la aplicación de los procesos matemáticos. Todos hacemos uso de la matemática y de los polinomios de forma básica todo el tiempo. Tú calculas el dinero que tienes para ir a un concierto; sabes que tienes un monto limitado y debes gastarlo en la entrada, en el transporte y en la comida. Las familias hacen cálculos con el fin de optimizar su presupuesto para el mercado. La directiva del colegio calcula los costos de mantenimiento, los pagos de los profesores y los ahorros, teniendo en cuenta las pensiones y las becas. Muchas empresas emplean los polinomios para tomar decisiones sobre la distribución del dinero en sus costos: contratación de empleados, equipamiento, intereses, materia prima, etc. En los libros de economía nos encontramos con la teoría de la producción, donde las funciones de producción se presentan como polinomios. El propósito consiste en hacer pronósticos de los ingresos, dependiendo de los gastos. El costo total se divide entre los productos y se les da un precio para obtener ganancias. Dependiendo del margen de las ganancias, se harán más o menos ventas, que lógicamente implican un esfuerzo de distribución. Como ves, no es sencillo, pero es muy útil al momento de instalar un negocio.

to de producir cada unidad, y como este resulta de la división del CT entre la cantidad, será menor si la cantidad aumenta. No solo los economistas y los matemáticos trabajan con polinomios, sino también los ingenieros, los biólogos, los geólogos e incluso los deportistas. Todos ellos trabajan con programas informáticos para optimizar sus esfuerzos calculando aproximaciones de raíces; los ingenieros los usan para tener construcciones más firmes, los biólogos para conocer el crecimiento de una población de animales, los deportistas para mejorar sus resultados.

Actividades 22. El volumen de ventas (en miles de bolivianos) de una empresa está en función de la cantidad x (expresada también en miles de bolivianos) que la empresa invierte en publicidad. V = 75 $ >1 -

4

_3 + xi2

H

a) Desarrolla la expresión con productos notables. b) Calcula el volumen de ventas cuando el monto de publicidad es x = 1, x = 5 y x = 10. 23. La cantidad demandada de cierto tipo de mochilas, está en función de los ingresos de las personas, los gustos, la moda y, principalmente, el precio. El siguiente polinomio muestra la relación cantidad-precio de este producto. q D =- 50p + 6000 a) Halla la cantidad demandada cuando el precio es de Bs 60 y cuando el precio es de Bs 80.

Pongamos algunos de estos conceptos en fórmulas. Cuando se habla de los costos de producción de una empresa, el costo total CT depende de los costos fijos y los costos variables: CT = Costos fijos + Costos variables

b) ¿Por qué se deben ofrecer las mochilas a Bs 60 y no a Bs 58, 59, 61 o 62? c) Si la empresa produjo solo 1 000 mochilas y quiere tener la máxima ganancia al venderlas todas, ¿a qué precio debe ofertarlas?

Una función de costo total simple se ve así: CT = 20q 2 + 4q + 8 Este es un polinomio que tiene como variable q a la cantidad de producción. CT Cuando se divide , se obtiene el costo medio, que es el cosq

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27

TALLER DE MATEMÁTICA ACTIVIDADES FINALES a a n ' d3 n 3-a 3-a

a a2 - 1 a3 - 1 a $ $ $ 2 2a 2a a-1 a +a+1

e) d 3 + a +

j)

2 _1 - xi - y2

f) f 1 +

b-1 b-1 b+1 pf 1 + pf 1 + p 2 b+1 b-1

3 a _a - 2b i

x4 - a4

k)

g) f

i)

2 _ x - yi - 1

$

2

$

2b3

x2 - _y + 1i 1 - _ x + yi

b _a + 2b i 6 a2

2

2

$

12 ab a2 - 4 b2

22. Realiza las siguientes operaciones:

a) 9 '

12 x

e)

x-2

3 2

x -1

'

x+1 3

b)

a +a ' a2 3

f)

17 34 a - 51 ' 5 a - 10 6 - 3a

c)

8 a - 32 16 ' a+1 3a + 3

g)

m2 - n2 2 m2 - 5 m - 3 $ 2m + 1 m+n

2

2-x ' _ x - 2i d) 4 i)

j)

2

h)

2 y2 - 7 y + 3 2 y2 + 3 y - 2

k)

l)

a - 4a + 3 a -1 ' 8a 16 a 2

3 y2 + 5 y - 2

9 x - 1 12 x + 12 x 6 - 18 x $ $ 2 2 6x 3 x2 + 4 x + 1 _1 - 3 x i b+b

m) f

2

'f

a 2 + 6 a - 55 2

b -1

x 2 + 2 xy + y 2 -16 4

16 x - 16 y

4

'

i) f

x4 - 1

x

j) e

3 x2 + 3 x 3x 2x o'f p x-1 x+1 _ x + 1 i_ x - 1 i2

k) f

3

x -1

pf 1 -

_ x + 1i

x3 + y3 x 2 + 3 xy + 2 y 2

$

-

2

1 o 17

p'e

1 + xo x

p' 2

x 2 - xy - 6 y 2

x 2 - xy + y 2

x 2 - 2 xy - 3 y

2 x 2 + 2 xy

$

24. Simplifica las siguientes fracciones compuestas:

a+1 a-1 a) 1 1 a-1 a+1

2

a2 - 5 a

3x + 5

1 2

2-

1+

2 x2 y 5 z2 x 21 x 2 y3 z 2 ' $ 3 yz 7 xy 2 40 xy 2 z 2

h) _ 12 - 3 x 2 i ' e

2

6 y2 - 5 y + 1

'

x 2 - 2 ax + a 2

x 2 + ax x5 - a2 x3 x a p$f 2 p'd - n 2 x-a a x x +a

'

ax + 3 a ab 2

x+y-4 4 x2 + 4 y2

p$

p x+y x+ y +4

1

b) x+

1 1+x 1+ 1-x



a -1 a+2 c) 2a + 3 2a a+2 a+1

e)

x y + 2x

5x +2 y-x a-1

f)

a+2-

g)

b a 1-

a2 + 2 a-2 aa+1

b a-b + a - 3b 2a-b 1+

b2 a2

23. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) f

a4 1-a

2

-

a4 1-a

pf 1 + a + 4

1 + a3 a

2

a a+1 pf 2 p b) f 2 + a+1 a c)

u 2 + 2 uv + v 2 u2 v ' _u + vi $ u+v uv 2 - u 2 v

d) f x - 2 110

p

a-

a 1+

d) c-

c

1

2+ b a

a +1 b

1

2+

2+

h) 2-

1 x

1 2-

1 x

x x pf 1 + p 3+x 3 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Modelos matemáticos 25. En una especie de iguana, la longitud de su cabeza es un

tercio de la longitud de su tronco; asimismo, su cola es tan larga como su cabeza y su tronco juntos. Si designamos con T la longitud de su tronco, se puede expresar en términos de T la longitud total de la iguana. ¿Qué longitud tendrá una iguana cuyo tronco mide 25 cm? ¿Cuánto medirá la cola de otra que tiene un tronco de 62 cm?

b) Utiliza la fracción deducida en el inciso anterior para calcular a qué porcentaje del área de la hoja tamaño carta equivale el área de la hoja tamaño A4 y a qué porcentaje del área de la hoja tamaño oficio equivale el área de la hoja tamaño carta. Pista: Observa que los valores de a y b pueden ser negativos o nulos.

Denominación

Dimensiones

A4

210 # 297 mm

Carta

216 # 279 mm

Oficio

216 # 330 mm

28. Determina la fracción algebraica, de variable x, que

expresa el tiempo en que Rodrigo y Eduardo realizan una tarea trabajando juntos. Después, utiliza esa fracción para realizar los siguientes cálculos: 26. El director de un colegio en cuya cancha se quiere colo-

car césped sintético indicó las medidas de esta en forma de adivinanza: “La relación del ancho y el largo aumentado en 33 metros es igual a un tercio. La suma del ancho y del largo es de 67 metros”. Debemos determinar las medidas del campo, siendo x el ancho y y el largo del mismo.

a) Rodrigo, trabajando solo, invierte x meses; Eduardo, trabajando solo, invierte 2 meses más que Rodrigo. Si Rodrigo, trabajando solo, realiza la tarea en 8 meses, ¿en qué tiempo la podrían hacer juntos? b) Eduardo, trabajando solo, invierte x horas; Rodrigo, trabajando solo, el doble de horas que Eduardo más 1 hora. Si Eduardo, trabajando solo, realiza la tarea en 3 horas, ¿en qué tiempo la podrían hacer juntos? 29. En un circuito eléctrico, la corriente está dada por

una expresión con la forma de una fracción compuesta. Simplifica las fracciones de los siguientes circuitos:

a) I =

p 1 e1 + o p q 1 + _1 + pi

q p

b) I =

uv u+v-

u uv

27. Observa los dos rectángulos y realiza las actividades. b

y

x

a

a) Escribe la fracción algebraica que indica a qué porcentaje del área de la hoja de dimensiones x + a y y + b equivale el área de la hoja de dimensiones x y y.

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