Matemáticas
Operaciones algebraicas y factorización
3.
°
SECUNDARIA
ciencia tecnologÍa producción
Organización del libro El módulo de Operaciones algebraicas y factorización del libro Matemática 3 está organizado en tres unidades: Operaciones con polinomios (Unidad 1), Factorización (Unidad 2) y Potencias y radicales (Unidad 3).
3
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Páginas iniciales
Recuerda
OPERACIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACIÓN
Potencias y radicales Potenciación de números reales Radicación de números reales Aplicaciones algebraicas de las propiedades de la radicación Adición y sustracción de radicales Multiplicación de radicales División de radicales Racionalización Racionalización (continuación)
Potencias naturales de números enteros
1. Determina el valor de las siguientes expresiones sin usar calculadora.
Si a es un número entero y n es un número natural, la expresión an denota la potencia n -ésima de a cuyo valor es igual al número que resulta de multiplicar a por sí mismo en una multiplicación de n factores. an = S a$a$f$a
e) _2 2 i
3
c) d
Raíces naturales de números naturales
2 3 n 5
f) fd-
La página de la izquierda contiene el índice de los temas desarrollados y muestra fotografías que ejemplifican las relaciones de esos temas con diversos aspectos de la sociedad, la cultura o la naturaleza.
g) 102 $ 103
3
h) 105 ' 102
1 3 np 2
3
i)
1 3 2 3 d n $d n 2 3
2. Determina el valor de las siguientes expresiones sin usar calculadora.
Si a es un número natural y n es un número natural, la n expresión a denota la raíz n -ésima de a cuyo valor es igual al número que elevado a la potencia n -ésima tiene a como resultado. a = b + bn = a
4
b) _- 4 i
con a ! Z , n ! N
n veces
n
d) _- 3 i
a) 112
169
d)
b)
3
64
e)
c)
5
32
f)
a)
con a ! N , n ! N
Factorización prima de números naturales
3
16 $ 25
g)
125 ' 8
h)
729
i)
3
100 ' 4
_- 2 i
3
3
6
64 $ 16
La página de la derecha contiene la sección Recuerda; esta contiene información y actividades que te ayudarán a recordar conceptos y procedimientos matemáticos que ya has estudiado en años o momentos anteriores y que son un requisito para entender la unidad.
3. Describe algún método para determinar la factorización prima de un número compuesto.
Un número natural es compuesto si es divisible por al menos un número natural distinto de 1 y él mismo. Por ejemplo, el número 14 es compuesto porque es divisible por 2.
4. Escribe la factorización prima de los siguientes números compuestos.
Un número compuesto se puede expresar como un producto de números primos; este producto es la factorización prima del número. Por ejemplo, la factorización prima de 14 es: 2 $ 7 .
a) 24
c) 90
e) 750
g) 441
b) 30
d) 168
f) 315
h) 693
Un número compuesto tiene una sola factorización prima. Lee también Máximo común divisor y mínimo común múltiplo en la sección Recuerda de la anterior unidad.
La propiedad fundamental de las fracciones
5. Encuentra una fracción equivalente que tenga el denominador mayor (incisos a-d) o menor (incisos e-h) a la fracción dada.
Dos fracciones equivalentes representan al mismo número 2 4 racional. Por ejemplo, las fracciones y son equiva3 6 lentes. La propiedad fundamental de las fracciones dice que si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un mismo número natural o se dividen por un divisor común, se obtiene una fracción equivalente.
60
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
2. El triángulo de Pascal
1
3
_A + Bi
_A + Bi
0
_A + Bi
5
_A + Bi
7
_A + Bi
_A + Bi _A + Bi
_A + Bi
1 1
1
4
1 1
9
10 35
9
36
84
126
6 7
56 126
61
n
n
n
http://goo.gl/rdC9n El triángulo de Pascal
8
84
fila 8
1
36
Blaise Pascal (1623-1662) nació en Francia. Fue filósofo y un genio matemático que ya a los 12 años había demostrado las 32 proposiciones de Euclides. Pascal pensaba que la dignidad humana reside en la capacidad de pensar y que pensar bien es el principio de la moralidad. Escribió el Tratado del triángulo aritmético.
fila 7
1
28
Ejemplos
fila 6
1
21
70
24 80
• Los exponentes de Ay B en el término k son An - _k - 1 iB k - 1 .
fila 5
1
15 35
56
15 75
h)
fila 4
1 5
20
21 28
4 10
15
7 8
1
5 6
1 1
6
g)
6 30
• Si el binomio es _ A - B i y k es impar, el signo del término k es positivo; si k es par, el término k es negativo.
fila 3
1
8 14
f)
• Si el binomio es _ A + B i , todos los términos son positivos.
fila 2
3
4
1
6
8
1
3
e)
3 12
n
fila 1
2
1
8 14
d)
Para hallar el término k del desarrollo de _ A + B i se siguen las siguientes pautas. • El coeficiente del término k se obtiene analizando la fila n del triángulo.
Historia de la matemática
fila 0
1
2
c)
2 5
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
Término k del desarrollo de _ A + B in
2
_A + Bi
1 3
b)
Es posible hallar un término cualquiera del desarrollo de _ A + B i sin necesidad de desarrollar la expresión.
Los productos notables que hemos visto nos permiten desarrollar los binomios _ A + B i 3 y _ A + B i ; el llamado “triángulo de Pascal” nos proporciona un procedimiento para n desarrollar un binomio elevado a cualquier potencia, _ A + B i .
_A + Bi
a)
9
fila 9
1
Para desarrollar el binomio _ A + B i se siguen las siguientes pautas: n
1. El número de términos del desarrollo de _ A + B i es n + 1 y los coeficientes del n desarrollo de _ A + B i se obtienen de la fila n. 2. El exponente del primer término y del último son iguales al exponente del binomio. 3. El exponente de A en el primer término es igual al exponente del binomio y, en los siguientes términos, disminuye de 1 en 1. 4. El exponente de B en el segundo término es 1 y, en los siguientes términos, aumenta de 1 en 1. n
5. Si _ A + B i , los signos del desarrollo son positivos. Si _ A - B i , los signos del desarrollo se intercalan: + , - , + , - , + , - , + , f . n
n
5. Determina el quinto término de _ 2x - y i . Identificamos los valores de n y k: n = 7 y k = 5 . El coeficiente del término buscado está en la séptima fila. 1 7 21 35 35 21 7 1
+ 35 $ _2x i
7 - _5 - 1 i
_ yi
= 35 $ _2x i _ y i = 35 $ 8x3 $ y 4 = 280x3 y 4
5- 1
3
4
6. Determina el sexto término de _ 2x 2 - 3y i . Identificamos los valores de n y k: n = 8 y k = 6 . El coeficiente del término buscado está en la octava fila. 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Como k es par, el término es negativo. Los exponentes se construyen con n = 8 y k = 6 . Entonces el término buscado es: 8
- 56 $ _2x2 i
8 - _6 - 1 i
3. Desarrolla _ 2x + 3y i .
4 0 (a+b)4=a b +
Como k es impar, el término es positivo. Los exponentes se construyen con n = 7 y k = 5 . Entonces el término buscado es:
Ejemplos 5
Desarrollo de contenidos
7
_3y i = - 56 $ _2x2 i _3y i = - 56 $ 8x 6 $ 243y5 = - 108 864x 6 y5 6
3
1
5
Más Problemas resueltos: 28
Actividades
En este caso: n = 5 . Los coeficientes se obtienen de la quinta fila.
_2x + 3y i = 1 _2x i + 5 _2x i _3y i + 10 _2x i _3y i + 10 _2x i _3y i + 5 _2x i _3y i + 1 _3y i = 5
5
4
1
3
2
2
3
1
4
8. Desarrolla las siguientes potencias utilizando el triángulo de Pascal.
5
a) _5bx - 6a2 x i
4. Desarrolla _3x2 - xy i .
a) 4.º término ; _3x - y i
6
5
4
1
3
2
2
3
1
4
5
6
= 729x12 - 6 $ 243x10 $ xy + 15 $ 81x8 $ x2 y2 - 20 $ 27x 6 $ x3 y3 + 15 $ 9x 4 $ x 4 y 4 - 6 $ 3x2 $ x5 y5 + x 6 y 6 = 12
11
10 2
9 3
8 4
7 5
6 6
= 729x - 1 458x y + 1 215x y - 540x y + 135x y - 18x y + x y 10
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
3. Aplicaciones algebraicas de las propiedades de la radicación
En los ejemplos 3 y 6 hemos visto la simplificación de un radical cuyo radicando es un número, ahora consideraremos casos en los que la expresión subradical contiene variables. En la simplificación de radicales se utilizan las siguientes dos técnicas. • Se factoriza el radicando y se extraen del radical los factores cuyo exponente es igual al índice del radical. En estos casos, vamos a suponer que las variables que aparecen en el radicando son positivas y aplicaremos las propiedades R5 y R6 de la radicación. n
an = a (n impar, a 2 0 ) R5
m.c.d. (12, 9, 6, 3) = 3
=
a3 ?
¿Cómo deberíamos simplificar el radical
an = a = a (n par, a 2 0 ) R6
12 ' 3
n
4
a 9 ' 3 b 6 ' 3 c3 ' 3 =
4a 2 =
40 a4 b5 =
c)
12
81x 4 y8 =
d)
10
3
_ signo radical n
b m _ parte radical a _ coeficiente b m _ radicando n _ índice m _ exponente del radicando
32x y =
12
10
e)
32 a b
5 $a$
m.c.d. (12, 4, 8) = 4
=
4
2xy2 y =
32a b = 24 $ 2 $
= 24 4 $
4
4
4
a8 $
a3 $ 3
5$ 12 ' 4
=
=
3
3
b) 2c2
R5
3
5 =
_ 2c 2 i $ 5 =
R2
3
3
2ab
R2
b20 =
R2
= 4
4
5
2 $
24 $
2 $ a8 4 $ b20 4 = 2a2 b5
4
4
4
R2
3
2$
x
a $ 4
2
_ 2c 2 i $ 5 = 3
3
42 m 6 n2 =
23 $ c 6 $ 5 =
3
16m 6 n2 8 $ c6 $ 5 =
3
40c 6
No olvides
Dos radicales son equivalentes si al expresarlos como potencias de exponente fraccionario, estos exponentes son fracciones equivalentes, es decir: q p n m bm = b p + = n q
6'2 = 3
3x =
3
4x2 y =
6
12my3 =
2$3
=
6'3 = 2
3
=
6
2
6
12my3 .
16x 4 y2
_12my3 i =
6$1
6
27x3
_4x2 y i =
3$2
=
6'6 = 1
_3x i =
1
6
12my3
Más Problemas resueltos: 34, 35, 36, 37
Actividades 14. Simplifica cada radical (asume que todas las variables son positivas).
3
5 ' 5 5 ' 5 15 ' 5
8
3
3
a $ b2 = 2ab $ 5ab2
2
_4m3 i n2 =
R2
2
3
9. Reduce al mínimo común índice 3x , 4x2 y , El m.c.m. de los índices 2, 3 y 6 es 6; entonces:
y
4
a8 $
20
b = 4
3
=
3xy2
Más información
La simplificación de radicales cuyo radicando es una fracción requiere utilizar la técnica de racionalización que vermos más adelante. En el problema resuelto 42 se dan ejemplos.
R1
b20 =
a) b)
2
3
3
54 a3 b2 c
c)
729 x3 y2
d)
- 64 a 4 b10
35
a25 b 45
e)
12
f)
4
125 a 6 b3
g)
729 x2 y 8
h)
2
1
10
32x5 y15
i)
3
49a10 b12
j)
3
3
3
a21 b3 c 9
-8
4
En algunas páginas encontrarás un código QR y un link que conduce a un video o a un simulador con el que deseamos abrirte las puertas a otros aspectos de la matemática o a nuevos recursos para entenderla. Aprécialo o utilízalo según tus intereses, no es un requisito para realizar las actividades.
8 x6
15. Introduce los factores debajo del signo radical. a) 2a
3
8
b) 4x
2
3x
3
c) 2a
4
3a b
d)
x2
2x
5
e)
a 2
5
64b
f)
2x b
4
2b x
16. Reduce al mínimo común índice. a)
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
2
_4m3 i $ n2 =
R6
a) 4 m3 n2 =
a $ b3 $ b2 =
34 ' 4 x4 ' 4 y8 ' 4 =
10 ' 5
an b
Ejemplos
R5
3
n
b =
8. Introduce debajo del signo radical los factores que están fuera de él.
2
y2 $ 2xy = y 2xy
5 8 20
4
3
3
R2
n
an $
Para transformar radicales de distinto índice en radicales equivalentes del mismo índice, se aplica la propiedad R7 de los radicales: se determina el mínimo común múltiplo de los índices y, en cada radical, se multiplica el índice por, y se eleva el radicando a, un número igual al cociente entre el m.c.m. y el índice.
a3 b 2 c
R6
R2
8 20
5$
n
=
Ejemplos
4 $ a2 = 2 a
3
m.c.d. (10, 5, 15) = 5
2xy =
4
23 $
a $ b $ b2 = 2ab $
5 5 15
R4
=
66
3
3
3
34 x4 y8 =
2xy3 =
= 8 20
R2
3
R5 o R6
En los márgenes encontrarás varios tipos de notas que te proporcionarán información adicional o te ayudarán a entender la información clave de estas páginas. El recurso gráfico Más Problemas resueltos te indica en qué ejemplos de la sección Problemas resueltos puedes encontrar nuevos e interesantes aspectos del razonamiento matemático asociado con los contenidos estudiados.
Reducción de radicales al mínimo común índice
22 $ 2 $ m2 $ m2 = 2 $ 2 $ m $ m = 2m2 2
23 $ 5 $ a3 $ a $ b3 $ b 2 =
= 2$
5 15
11
R6
R2
22 $ 2 $ m2 $ m2 =
3
9
Supondremos que las variables representan solo números positivos.
bm
7. Simplifica los siguientes radicales indicando las propiedades que se aplican.
b)
h) 3. er y 6.º término ; _2ab + ax i
5
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Ejemplos
8m4 =
6
d) Términos centrales ; _2ax - 3a3 i
n
a
¿Cómo deberíamos simplificar el radical 4a 2 ? Como no podemos suponer que a es positivo o negativo, debemos aplicar la propiedad R6:
a2 $ a = a a
• Si a 1 0 , a3 g R .
a)
8
g) 2.º y penúltimo término ; _ab3 + 2b2 i
6
Elementos de un radical
El supuesto de que las variables son positivas se justifica porque sin él la simplificación de radicales ofrece dificultades especiales que proceden del hecho de que una variable puede representar por igual un número positivo o uno negativo. Veamos dos ejemplos.
• Si a 2 0 , a3 =
6
f) 3. er término y su simétrico ; _2xy2 + 2x2 y i
8
c) Término central ; _ x2 - 2y3 i
a b
Más información
• Si todos los factores de la expresión subradical y el índice del radical tienen divisores comunes, se aplica la propiedad R7 y se los divide por el máximo común de esos divisores. Por ejemplo: a 9 b 6 c3 =
e) 2.º término y su simétrico ; _2by - 3a3 y i
b) 6.º término ; _2x + 3y i
La introducción de factores en un radical es el proceso inverso a la extracción de factores de un radical.
Simplificar un radical significa transformarlo en otro cuyo radicando no tenga factores con exponente mayor o igual al índice, cuyo radicando no sea una fracción y en el que no hayan radicales en el denominador.
12
9
Introducción de factores en un radical
Simplificación de radicales
n
f) _ x2 y + x i
7
6
5
5
En este caso: n = 6 . Los coeficientes se obtienen de la sexta fila.
_3x2 - xy i = 1 _3x2 i - 6 _3x2 i _ xy i + 15 _3x2 i _ xy i - 20 _3x2 i _ xy i + 15 _3x2 i _ xy i - 6 _3x2 i _ xy i + 1 _ xy i = 6
e) _ 4 - y 2 i
d) _ x 2 + 3y 3 i
c) _ 3x - y i
4
9. Encuentra el término que se indica sin desarrollar la expresión. Utiliza calculadora si es necesario.
= 32x5 + 240x 4 y + 720x3 y2 + 1 080x2 y3 + 810xy 4 + 243y5
6
b) _4x2 + 2ax i
3
= 32x5 + 5 $ 16x 4 $ 3y + 10 $ 8x3 $ 9y2 + 10 $ 4x2 $ 27y3 + 5 $ 2x $ 81y 4 + 243y5 =
Estas páginas desarrollan los nuevos contenidos y procedimientos matemáticos con explicaciones claras, recuadros que destacan las ideas fundamentales, ejemplos de problemas resueltos de manera razonada y varias actividades que te servirán para poner a prueba tu comprensión y para afianzarla.
5;
3
3;
5
2
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b)
3
2a ;
5
6a2
c)
5x ;
3
6xy ;
6
4x 2 y
d)
3x ;
3
4y2 ;
4
2xy
e)
4
5x ;
5
3y 2 ;
10
9x3
67
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Calculadora
Taller de matemática
Modelos matemáticos
HACER — DECIDIR
Potencias y raíces
Árboles y fractales: el árbol pitagórico
El propósito de este taller es aprender a calcular potencias y raíces utilizando una calculadora científica. Las siguientes instrucciones corresponden al modelo Casio f x - 350ES, pero es muy probable que ellas te den pautas suficientes para trabajar con otras calculadoras.
El concepto matemático de fractal es complejo, pero en una aproximación intuitiva podemos decir que un fractal es un objeto geométrico que resulta de aplicar sucesiva y reiteradamente una misma regla de construcción; de aquí que suele decirse que un fractal es un objeto en el cual las partes tienen la misma estructura que el todo.
1. Busca las teclas que sirven para calcular raíces y potencias. Para calcular cuadrados (potencia 2) y raíces cuadradas se usan las teclas:
SHIFT
Para calcular la potencia n-ésima y la raíz n-ésima, las teclas: m
Debido a la relación x n = x n m , la raíz de una potencia puede obtenerse elevando la base de la potencia a un exponente fraccionario.
62
6
62
6
= 36
2,5
125 8
2, 53
2,5
125 3 = 8
35
Replay
15, 625 15, 625
3 = 4
3
82 = 82
3
82
SHIFT
3
8
3
82
SHIFT
8
2 = 4
2 = 36
2, 53
3
8
2
32 = 4 2
32
SHIFT
32
32 = 5, 656854249
2 Replay
2 = 5, 656854249
1
32
3
88
3
88
Construcción de un arbol pitagórico
2 = 4
5
32
5
32
Replay
88
1 Replay
SHIFT
5 Replay
32
1
3 = 4, 447960181 32 = 2 5 =
• Sobre el lado superior del cuadrado se dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es precisamente el lado del cuadrado (Figura 2). El ángulo a de este triángulo puede tomar cualquier valor entre 0c y 90c, 0c 1 a 1 90c ; la forma del árbol se modifica según el valor de ese ángulo.
Figura 5
• Sobre los catetos del triángulo rectángulo se dibuja un cuadrado (Figura 3) y sobre cada uno de esos cuadrados se reinicia el proceso utilizando la misma regla de construcción (Figura 4). Obtenemos modelos de crecimiento y bellísimos árboles (Figuras 5 y 6).
88 = 4, 447960181
SHIFT
5, 656854249
Replay
Figura 4
• Se empieza dibujando un cuadrado (Figura 1).
Replay
5 = 243
3
Figura 3
La semejanza entre el fractal conocido como árbol pitagórico y los árboles reales no es superficial. El biólogo húngaro Aristid Lindenmayer (1925-1989), destacado por crear un lenguaje lógico-matemático que sirve para modelar el crecimiento de distintos sistemas vivos, estableció un modelo de crecimiento de plantas siguiendo la idea de los árboles pitagóricos.
2. Realiza las siguientes operaciones y observa que en muchos casos es posible realizar un cálculo de más de una forma.
Prueba con distintas formas de crecimiento construyendo ramas similares a la de la figura 5, pero con distintos valores para el ángulo a.
2 Figura 6
Replay
6
2
6
25 = 25
SHIFT
5
6
5 = 1, 781797436
2 Replay
6
2
http://goo.gl/t0m2a El árbol pitagórico
6 = 1, 781797436
5
Atze van der Ploeg, Atzecsse
82
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
83
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
24. Desarrolla los siguientes productos notables con fracciones o decimales.
b) _1, 3 m - 0, 5 n i = d 2
c) d
28. Desarrolla d
3 3 2 4 4 2 9 16 4 3 3 4 2 2 y x + y o = d x3 n + 2 $ x3 $ y2 + e y2 o = x 6 + 4x3 y2 + 2 3 4 9 2 3 2 3
5 1 2 m - 2n3 n utilizando el triángulo de Pascal. 2
Los coeficientes se obtienen de la fila correspondiente al exponente 5 (ver el diagrama de la página 10): 1 5 10 10 5 1
2 13 1 2 13 13 1 1 2 169 2 13 1 m - nn = d mn - 2d m ne n o + d n n = m mn + n 2 10 2 10 10 2 100 10 4 2
Desarrollamos la potencia aplicando las pautas del método del triángulo de Pascal:
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 x + 2x2 - x3 n = d x n + _2x2 i + d- x3 n + 2 f x p_2x2 i + 2 f x pd- x3 n + 2 ` 2 x2 jf- x3 p = 2 4 4 2 4 2 2 4 1 1 6 1 1 15 4 1 6 x + 2x3 - x 4 - x5 = x2 + x + x + 2x3 - x5 = x2 + 4x 4 + 4 16 4 4 4 16
d
5 5 4 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 4 5 m - 2n 3 n = d m 2 n - 5 d m 2 n _ 2n 3 i + 10 d m 2 n _ 2n 3 i - 10 d m 2 n _ 2n 3 i + 5 d m 2 n_ 2n 3 i - _ 2n 3 i = 2 2 2 2 2 2
25. Desarrolla los siguientes productos notables con exponentes literales. a) _3x3n + 2x2n i = _3x3n i + 2 $ 3x3n $ 2x2n + _2x2n i = 9x 6n + 12x3n + 2n + 4x 4n = 9x 6n + 12x5n + 4x 4n 2
2
b) d
2
3
Realizamos las sustituciones pertinentes en la fórmula del término general:
4 8 3n 1 1 1 3m 8 3n 1 2n m 1 n 2m 1 3m x + 3 f x2n pf y m p + _2xn id y2m n + y = x + x y + xy + y 27 9 16 64 27 3 8 64 4
26. Desarrolla los siguientes productos de binomios. a) _ x 6 + 3 i_ x 6 - 5 i = _ x 6 i + _3 - 5 i x 6 + `3 $ _- 5 ij = x12 - 2x 6 - 15 2
2 x+ 1 1 2 1 2 1 1 11 x + 1 2 m - 3 n d m x + 1 + 5 n = d $ n_m x + 1 i + < $ 5 + _- 3 i $ F m x + 1 + _- 3 i $ 5 = m2x + 2 + m - 15 3 2 3 2 3 2 3 6
c) d 2x n +
1 m 1 1 1 1 1 2 2 y nd 3x n - ym n = _2 $ 3 i_ x n i + =2 $ d- n + $ 3G x n y m + = $ d- nG_ y m i = 2 2 2 2 2 2 = 6x2n + d- 2 +
_ A + B i _ t k = t _k - 1i + 1 = n
x3 - 2x2 + _2 - m2 - 2m i x + _- 2m - 2 i 1 4444444444 2 4444444444 3 dividendo
m+ 2 1
x
7_ x + 4 i - x _ x + 2 iA + _2x - 1 i =
x+4
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
Actividades de práctica y profundización Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 38. Encuentra el m.c.m. y el m.c.d. de los tres polinomios. a) P _ b i = 3b2 - 24b + 48
R _ b i = b3 - 3b2 - 4b
Q _ b i = 2b2 + 4b + 2
b) P _ x i = 2x3 + 10x2 + 16x + 8
R _ x i = 4x3 + 24x2 + 48x + 32
Q _ x, y i = x 4 + 2x3 y + x2 y2
d) P _ y i = 5y + 15y + 10 2
R _ y i = 8y2 + 24y + 16
Q _ y i = 6y - 6 2
39. Halla el m.c.d. de los tres polinomios por el método de divisiones sucesivas. a) P _ x i = 4x3 - 6x2 - 36x - 16
Q _ x i = 4x 4 - 2x3 - 44x2 - 48x
Q _ x i = x 4 - x3 + x - 1 R _ x i = x 4 - 3x3 + 2x2
Q _ x i = 3x5 - 4x 4 - x3 - 10x2 + 4x + 8
divisor
2
- 2m - 2 2m + 4 2
Q _ x i = 27x y - 9x y
Q _ x i = 4x2 - 17x + 15
43. Investiga. En la teoría de los números, si tenemos dos números naturales P y Q, su máximo común divisor (m.c.d.) y su mínimo común múltiplo (m.c.m.) satisfacen la siguiente igualdad: P $ Q = m.c.d. _ P, Q i $ m.c.m. _ P, Q i
46. En una fábrica de muebles se diseñan estantes de acuerdo con el siguiente modelo: 30
A=
1 b $ h (triángulo) 2
A=
1 _ B + b i h (trapecio) 2
S _ x i = 12x y - 3xy
b
S _ x i = 4x2 - 25x + 25
a) Deduce un polinomio, de variables x e y que corresponda al área de la figura, es decir, a la cantidad de
cartón que se utiliza en construir una caja. Expresa aquel polinomio en forma factorizada.
y
30
x
El número 30 indica una longitud fija (en centímetros) y las letras x e y indican medidas que varían de acuerdo con los distintos modelos. En el diseño de cada estante, el valor de y se expresa en términos del valor de x (por ejemplo, y = 1, 8 x o y = 1, 3 x ). La superficie frontal de estos muebles puede, entonces, expresarse (en centímetros cuadrados) en función de solo x mediante un polinomio. Considera los dos siguientes modelos: P_ x i = x2 + 60x + 900 Q _ x i = 1, 2x2 + 66x + 900
a) ¿Cuál de los polinomios corresponde a estantes de forma cuadrada y cuál a estantes de forma rectangular? ¿Por qué? b) En el modelo de los estantes rectangulares, ¿cuál es la relación entre las medidas de x y de y?
b) Con la factorización del polinomio deducida en el incido anterior, calcula la cantidad de cartón (en centímetros cuadrados) que se utiliza en la pizza Familiar, que tiene la forma de un círculo de 40 cm de diámetro y cuya caja tiene 7 cm de alto. c) Realiza el mismo cálculo que en el inciso anterior para la pizza Jumbo, que tiene 65 cm de diámetro y cuya caja tiene 10 cm de alto.
48. En computación, la velocidad de los procesadores depende de la cantidad de operaciones simples que tienen que realizar para ejecutar una determinada operación compleja. La factorización de polinomios proporciona una valiosa herramienta para simplificar operaciones; para entender cómo, resuelve los siguientes problemas.
c) ¿Qué dimensiones y qué superficie frontal tiene el estante rectangular cuando x = 45 cm ?
47. El siguiente dibujo representa el pedazo de cartón que se utiliza para construir cajas de pizza de distintos tamaños.
h
En la sección de Actividades de práctica y profundización encontrarás ejercicios y problemas que te servirán para consolidar y profundizar tus aprendizajes. Están clasificados de acuerdo con los temas de la unidad. Las actividades de la sección Ciencia, tecnología y culturas exigen aplicar los conceptos matemáticos en situaciones contextualizadas.
x
B
A = h _a + b + c i
x
h
h
y
h
a b
h c
2
R _ x i = 4x2 + 11x - 20
HACER — DECIDIR
demuestren que el área total de la región sombreada en el siguiente dibujo es:
R _ x i = 12x2 - xy - y2 2
23
SER — HACER
Resuelvan los siguientes problemas trabajando en parejas. Intercambien ideas sobre los métodos que podrían utilizar y acuerden un procedimiento.
b
R _ x i = 3x 4 - 2x3 + 3x2 - 8x + 4
b) P _ x i = 4x2 + 3x - 10
Trabajo cooperativo
h
40. Pensamiento crítico. Indica si el máximo común divisor de P ^ x h y Q ^ x h es el mismo que el de P^ x h $ R^ x h y Q ^ x h $ S ^ x h , respectivamente. Razona solo a partir de las factorizaciones completas de los polinomios. 2 3
41. Investiga. Supón que tenemos dos polinomios, P^ x h y Q ^ x h, distintos de 1, y que los multiplicamos por un tercer polinomio, R^ x h, distinto de 1. Indica si es posible que, en algún caso, el m.c.d. de P^ x h $ R^ x h y Q ^ x h $ R^ x h sea igual al m.c.d. de P^ x h y Q ^ x h. Analiza y generaliza el razonamiento desarrollado en el problema resuelto 30.
44. Utilizando las fórmulas de las áreas del triángulo y del trapecio:
c) P _ x i = 3x 4 + 4x3 + 5x2 - 4
3 2
2 - m2 - 2m m2 + 2m
Ciencia, tecnología y culturas
Con ejemplos, o razonando de manera general, examinen si esta igualdad es válida también para dos polinomios.
R _ x i = x3 - 6x2 + 32
b) P _ x i = 2x5 - 2x 4 + 2x3 - 2x2
a) P _ x i = 9x2 y - 3xy2
-2 m+ 2 m
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42. Investiga. Analiza un problema similar al de la actividad anterior, pero para el m.c.m.
Q _ x i = 3x3 + 9x2 - 12
R _ x, y i = 4x2 - 4xy
7x - _m + 2 iA S
= 4x2 + 2x + 17
22
c) P _ x, y i = 2x2 - 2y2
En la sección Problemas resueltos se exponen ejemplos adicionales con los que desarrollarás y profundizarás tu comprensión de las formas de razonamiento asociadas con los contenidos de la unidad. El estudio de esta sección te ayudará a abordar con éxito las actividades finales.
Por consiguiente, el cociente y el resto son: cociente = x 2 + mx + 2 ; resto = 2
2
= x2 + 8x + 16 - x2 - 2x + 4x2 - 4x + 1 =
x+2
$ A n - _k - 1i $ B k - 1
Expresamos el dividendo como un polinomio de variable x y el divisor como un binomio de la forma x - a :
1
2
1 $ 2 $ 3 $ f $ _k - 1i
30. Utilizando el método de división sintética, encuentra el cociente y el resto de la división 7x3 - 2x2 + _2 - m2 - 2m i x - 2m - 2A ' _ x - m - 2 i.
x+4
2x - 1
k - 1 factores 6 444444 7 444444 8 n $ _n - 1i $ _n - 2i $ f
12 $ 11 $ 10 $ 9 $ 8 $ 7 $ 6 $ 5 12 - 8 _ x2a - ai _ t 9 = t 8 + 1 = $ _ x2ai $ a 8 & t 9 = 495 x 8 a 4 $ a 8 = 495 x 8 a 12 1$2$3$4$5$6$7$8 12
Realizamos el procedimiento de división sintética con los coeficientes del dividendo y el término independiente del divisor:
3 n m 1 2m 1 n m 1 2m 2n n x y - y = 6x - x y - y 2 4 2 4
27. Expresa el área de la siguiente figura plana mediante un polinomio.
2x - 1
1 10 5 8 3 m - m n + 5m 6 n 6 - 20m 4 n 9 + 40m 2 n 12 - 32n 15 32 8
29. Utiliza la fórmula del término general del binomio de Newton para encontrar el 12 noveno término del desarrollo de _ x2 a - a i .
2 2 1 2 1 1 2 n 1 m x + y n = d x n n + 3 d x n n d y m n + 3 f xn pd y m n + d y m n = 3 3 4 4 4 3 4 3 2
2 2 1 3 1 3 1 3 1 9 4a 1 1 c) d p2a + 0, 6q2a n d p2a - 0, 6q2a n = d p 2a + q 2a n d p 2a - q 2a n = d p 2a n - d q 2a n = p 4a q 2 5 2 5 2 5 4 25 2 2
b) d
1 10 1 8 1 1 1 m -5$ m $ 2n 3 + 10 $ m 6 $ 4n 6 - 10 $ m 4 $ 8n 9 + 5 $ m 2 $ 16n 12 - 32n 15 = 32 16 8 4 2
=
2
3
3
=
=
El Taller de matemática te ofrece la oportunidad de explorar los conceptos matemáticos desde una perspectiva novedosa e interesante que proporciona pautas de trabajo con material concreto, instrumentos geométricos, dispositivos de cálculo, programas de computadora de uso corriente o software matemático destinado a la educación. La sección Modelos matemáticos desarrolla los fundamentos que permiten entender por qué determinados aspectos del mundo natural o cultural pueden entenderse mediante conceptos matemáticos y plantea actividades para utilizar o aplicar el modelo.
Problemas resueltos
a) e
Secciones especiales y actividades finales En estas secciones el estudio de los temas de la unidad se sintetiza en las cuatro dimensiones del aprendizaje: Saber, Hacer, Ser y Decidir.
Figura 2 a
Analizaremos un fractal que proporciona un modelo matemático del crecimiento, la forma y ciertas características de los árboles. Este fractal se conoce como árbol pitagórico y su invención se atribuye al profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman (1891-1961), en 1942.
SHIFT
Para calcular cubos (potencia 3) y raíces cúbicas se usan las teclas:
Figura 1
45. Si x es un número natural, la expresión x3 - x es siempre divisible por 6. Demuestren este teorema utilizando las herramientas de la factorización.
58
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
En las esquinas del cuadrado de lado y, se realizan cuatro cortes que tienen la forma de un cuadrado de lado x . A la sección descrita está adosada una sección que corresponde a la tapa de la caja y a su pestaña, de altura x , que sirve para asegurar la caja. No tomaremos en cuenta las pestañas laterales de la tapa.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
a) ¿Cuántas operaciones aritméticas simples (sumas, restas y multiplicaciones) tienes que realizar para encontrar el valor que toma el polinomio 6x2 + 7xy - 20y2 para x = 2 y y = 3 ? ¿Y cuántas operaciones si trabajas con la expresión factorizada del mismo polinomio? Pista: Por ejemplo, para encontrar el valor de 7xy hay que realizar dos operaciones simples: 2 $ 3 y 7 $ 6. b) Resuelve el mismo problema del inciso anterior para el polinomio x 4 + 3x3 - 7x2 - 15x + 18 y para x = 2.
59
3
Índice general Operaciones algebraicas y factorización Operaciones con polinomios Productos notables El triángulo de Pascal El binomio de Newton División sintética o regla de Ruffini
Fracciones, la función lineal y ecuaciones
Complementos de álgebra y geometría
Fracciones algebraicas
Números complejos
Definición de fracción algebraica
Números imaginarios puros y potencias de i
Equivalencia y simplificación de fracciones
Operaciones con números imaginarios puros
Reducción de fracciones al mínimo común denominador
Los números complejos
Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Representación gráfica de los números complejos
División sintética generalizada
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Adición y sustracción de números complejos
El teorema del resto y el teorema del factor
Operaciones combinadas
Raíces de un polinomio
Fracciones algebraicas compuestas
División de números complejos
Factorización Factorización y factor común
Funciones, ecuaciones e inecuaciones lineales
Suma y diferencia de n-ésimas potencias
Función y la función lineal
Trinomios y el método de aspa
Características de la función lineal
Factorización por la regla de Ruffini
La función lineal y las ecuaciones e inecuaciones de primer grado en 1 variable
Factorización completa Mínimo común múltiplo de monomios y polinomios Máximo común divisor de monomios y polinomios
Potencias y radicales Potenciación de números reales Radicación de números reales Aplicaciones algebraicas de las propiedades de la radicación Adición y sustracción de radicales Multiplicación de radicales División de radicales Racionalización Racionalización (continuación)
Ecuaciones lineales de primer grado en 2 variables Inecuaciones lineales de primer grado en 2 variables Ecuaciones fraccionarias de primer grado en 1 variable
Multiplicación de números complejos
Congruencia y semejanza de figuras planas Congruencia de segmentos y de ángulos Congruencia de figuras planas Criterios de congruencia para triángulos Algunas aplicaciones de la congruencia Razón y proporción de segmentos Concepto de semejanza de figuras planas Homotecia: construcción de figuras semejantes
El teorema de Tales Teorema general de Tales
Valor absoluto
Teoremas sobre triángulos
Funciones y ecuaciones con valor absoluto
Teorema fundamental de semejanza de triángulos
Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales
Casos de semejanza de triángulos
Sistemas de 2 ecuaciones lineales en 2 variables
Teoremas de Euclides
Aplicaciones de la semejanza de triángulos
Métodos algebraicos: sustitución, igualación y reducción Método de determinantes Sistemas de 3 ecuaciones en 3 variables Sistemas de inecuaciones lineales en 1 variable Sistemas de inecuaciones lineales en 2 variables Problemas que se resuelven mediante sistemas
4
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Índice
Operaciones algebraicas y factorización
Unidad
1
Páginas de desarrollo Operaciones con polinomios Productos notables
2
3
8
Problemas resueltos 22
El triángulo de Pascal
10
Taller de matemática 26
El binomio de Newton
12
Modelos matemáticos 27
División sintética o regla de Ruffini
14
Actividades de práctica y profundización 28
División sintética generalizada
16
Ciencia, tecnología y culturas 31
El teorema del resto y el teorema del factor
18
Raíces de un polinomio
20
Factorización y factor común
34
Suma y diferencia de n-ésimas potencias
36
Trinomios y el método de aspa
38
Factorización por la regla de Ruffini
40
Factorización completa
42
Modelos matemáticos 55
Mínimo común múltiplo de monomios y polinomios
44
Ciencia, tecnología y culturas 59
Potenciación de números reales
62
Racionalización (continuación)
Radicación de números reales
64
Factorización Máximo común divisor de monomios y polinomios
46
Problemas resueltos 50 Taller de matemática 54 Actividades de práctica y profundización 56
Potencias y radicales
Aplicaciones algebraicas de las propiedades de la radicación
66
Adición y sustracción de radicales
68
Multiplicación de radicales
70
División de radicales
72
76
Problemas resueltos 78 Taller de matemática 82 Modelos matemáticos 83 Actividades de práctica y profundización 84 Ciencia, tecnología y culturas 87
Racionalización 74
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.
5
