UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN LECTURA N° 21 IMPORTANCIA DE LOS RADICALES Tomado con fines instruccionales de: Cuadros, B. (2005). “Prevenir y Corregir el Error”. Revista Matemáticas Recreativa, Vol. 2, Nº 3. Bogotá, Colombia: Universidad de los Andes.

Errores como

a 2 + b 2 = a + b , preocupan a los profesores, son cuestiones que interesan a los

investigadores en educación matemática y, lo más grave es que, continúan despistando a los estudiantes. Considero que para enfrentar este problema académico se puede establecer una analogía con respecto al abordaje médico: su tratamiento debe ser atendido desde dos enfoques: el preventivo y el correctivo. Prevenir que se cometa el error, implica preguntarse en qué momento se enfrenta el estudiante por primera vez con expresiones similares. Al revisar los programas tradicionales de matemáticas de la educación secundaria,

encontré

que la secuencia se presenta aproximadamente así: 1. A partir de grado séptimo, con el aprendizaje del teorema de Pitágoras, modelo gráfico (Figura N° 1)

C c2

a2

A

b2

B Figura N° 1

125

Se generan las áreas A, B y C y se establecen relaciones entre ellas y no entre las medidas de las longitudes de los lados del triángulo. Un estudiante identifica relaciones como:

a 2 + b 2 = c 2 y/o

a 2 + b2 = c

2. En grado octavo se le hace ver al estudiante que: a + b ≥ c . Además, dentro del tema "Productos notables", el estudiante empieza a manejar expresiones de la forma:

( a + b) 2 = a 2 + 2a ⋅ b + b 2 3. En grado noveno se trabajan propiedades y ejercicios con exponentes racionales y se le presentan expresiones como: 1

1

( a + b) 2

y /o ( a 2 + b 2 ) 2

4. En grados décimo y undécimo, el estudiante trabaja con diferentes situaciones en las que puede relacionar entre otros los siguientes conceptos: la jerarquía de las operaciones, la propiedad distributiva, el cuadrado de un binomio, el teorema de Pitágoras, la suma de las medidas de los catetos y la medida de la hipotenusa y los exponentes racionales. Para prevenir el error considerado en este artículo, las situaciones de enseñanza que el profesor le proponga al estudiante deben considerar aspectos tales como: •

las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos y los conceptos trabajados previamente,

•

la integración entre la representación geométrica y la algebraica,

•

las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) y la dimensión lineal (longitud).

De esta manera, quizás sea posible que los estudiantes en la universidad no cometan este error. Para corregir, empecé por aceptarlo ante los estudiantes, quienes lo explican así:

a 2 + b2 = a 2 + b2 = a + b Luego les presenté el siguiente ejercicio con el propósito de que justificaran los planteamientos tercero y quinto:

126

Planteamiento 1 4+5=9

Justificación Clausurativa de la suma en R

2

4 2 + 52 = 9 Propiedad de la radicación

3

4 2 + 52 = 9

4

16 + 25 = 9

5

41 = 9

? Definición de Potenciación

?

Después de una reflexión individual los estudiantes manifestaron los siguientes puntos de vista: •

El planteamiento 5, es falso porque se cometió un error en el planteamiento 3.

•

Dado que la raíz no se puede distribuir entonces,

•

Debe resolverse siempre primero lo que hay dentro de la raíz.

a 2 + b2 ≠ a + b .

Conclusión Fue ventajoso enfrentar al estudiante con el análisis de las situaciones presentadas porque se parte de una igualdad que relaciona tres números determinados, y al aceptar en el planteamiento 3 el error y transformar la correspondiente expresión se llega a una expresión evidentemente falsa, lo que permite que el estudiante empiece a desconfiar de que se cumpla la relación:

a 2 + b2 = a + b El trabajo con otros ejemplos en donde no se cumple la relación, permitieron al estudiante asimilar que tal igualdad no se da.

127

LECTURA N° 22 OPERACIONES CON RADICALES Material tomado con fines instruccionales de: Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Si se desea encontrar los valores de equis ( x ) que satisfacen la igualdad x 2 = 4 , estos son los números 2 y -2 , este hecho se puede comprobar elevando al cuadrado los valores dados y da como resultado 4. A los valores de una incógnita, en este caso x , que satisfacen una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis ( x ) es igual a la raíz cuadrada de 4, y se denota así:

x2 = 4 ⇒ x = 4 . para indicar un radical. Generalizando, vemos que la expresión

Se utiliza el símbolo

n

xm

se lee raíz enésima(n) de equis( x ) a la eme( m ) y sus partes son: es el signo radical

x m es la cantidad sub-radical n

es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo mayor que uno.

Las raíces surgen como una forma alterna de expresar y resolver potencias, tal como se mostró en el ejemplo anterior. Ahora piense si se quiere resolver una potencia de exponente 2

fraccionario, como por ejemplo:

4 3 , resultaría un poco difícil multiplicar 4 (la base) por si

misma 2/3 de veces (el exponente), tal como indica la regla para resolver potencias, considerando que 2/3 no llega a ser ni siquiera una vez completa. Las raíces ayudan a resolver este tipo de problema, una potencia de exponente fraccionario se puede escribir como raíz, es m

decir, si tenemos

x n esto es igual a

n

xm .

De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos: •

La base de la potencia es la base de la expresión sub-radical ( x ).

•

El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la base en la cantidad sub-radical ( m ) y su denominador es el índice del radical ( n ).

Las raíces más utilizadas son las que se leen como: 128

•

Raíz cuadrada

(

), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se

sobreentiende que es dos (2)

( )

•

Raíz cúbica

•

Raíz cuarta

( )

•

Raíz quinta

( )

3

4

5

Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice. Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1:

Exprese las siguientes potencias en radicales:

1

(a)

3 4 =43

(b)

(x 3 )15 = x 35 = 5 x 3

(c)

a 5b

2

x 7y

3

5

7

(b)

5

= (ab )

3

5

Antes de convertir en radical se resolvió el producto de potencias de igual base.

= 5 (ab )

3

Fíjese que en este ejemplo, se representó cada potencia como un radical distinto ya que los exponentes no son iguales.

= 7 x2 . 7 y5

Ejemplo 2: (a)

3

Observe, que antes de convertir en radical se resolvió la potencia de potencia.

4

Ahora expresamos los siguientes radicales como potencias:

37 = 3

7

a 3b 3 =

En este ejercicio se utilizó una de las propiedades de la potencia. También observe que cuando el índice de la raíz es dos (2), éste no se escribe.

4

(ab )3 = (ab ) 2 3

Se considera el caso particular cuando m = 1 , podemos definir la siguiente equivalencia: n

x =r

sí y sólo si x = r n

EQ. 1

129

Ejemplo 3:

Hallar el valor de la variable x , que cumplan la igualdad:

x =2

3

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que: 3

x = 2 ⇔ x = 2 3 , es decir x = 8 .

Respuesta: x = 8 . Ejemplo 4:

Hallar el valor de la variable x , que cumpla la igualdad:

4

x =3

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que: 4

x = 3 ⇔ x = 3 4 , es decir x = 81 .

Respuesta: x = 81 . Ejemplo 5:

Hallar el valor de la variable x, que cumplan la ecuación:

4 x = 12

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que:

4 x = 12 ⇔ 4 x = 12 2 ; 4 x = 144 ⇒ x =

144 ⇒ x = 36 . 4

Respuesta: x = 36 . Criterio de existencia de la raíz n -ésima de un número,

n

x:

4 , se tiene que 2 y − 2 son raíces cuadradas de 4 ; para evitar ambigüedades cuando escribimos 4 nos referimos a la raíz positiva de 4 y para referirse a la raíz negativa, se escribe: − 4 .

La raíz n -ésima de un número no siempre es única: en el caso de

(a) Si el índice n es par y x es positivo, existen dos raíces n -ésimas reales de x , una las dos raíces n -ésimas de x son

n

n

x sólo está referida a la positiva. Es decir, x y − x.

positiva y otra negativa. Pero la expresión

n

Sin embargo, los números reales negativos no tienen una raíz real de índice par.

Por ejemplo, 81 tiene dos raíces cuadradas, 9 y − 9 , pues 9 2 = 81 y (− 9 ) = 81 , y el 2

23 y − 4 23 . Sin embargo, − 36 no tiene raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da − 36 . Por lo mismo, –23 número 23 tiene dos raíces cuartas

4

no tiene raíz cuarta. (b) Si el índice n es impar, cualquiera sea el número real, x , positivo o negativo, tiene una única raíz n -ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de − 27 es

− 3 , y 42 tiene una única raíz cúbica denominada

130

3

42 .

Propiedades de los Radicales: El producto de las raíces con igual índice es la raíz del producto. Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales: n

Ejemplo 6:

a ⋅n b = n a ⋅b

Escriba el siguiente producto de raíces

5

2 x ⋅ 5 3 y como la raíz de un producto.

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo el mismo índice y se expresan las cantidades sub-radicales como un producto 5

Respuesta:

5

2 x ⋅ 5 3 y = 5 2 x.3 y =

5

6 xy

2 x ⋅ 5 3 y = 5 6 xy

El cociente de las raíces con igual índice es la raíz del cociente. Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales con el mismo índice, en términos generales:

n n

Ejemplo 7:

a b

=

n

a b

Escriba el siguiente cociente de raíces

5

6x

5

3y

como una la raíz de un cociente.

Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez manteniendo el mismo índice, y se expresan las cantidades sub-radicales como un cociente. 5 5

Respuesta:

5

6x

5

3y

6x 3y

=5

6x = 3y

5

2x 5 = 2 xy −1 y

= 5 2 xy −1

131

Potencia de una raíz: Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación. Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

( a) n

Ejemplo 8:

(x)= 3

2

3

3

2 3

Respuesta:

=

3

( x )= 2

3

= n am

(x) 3

Resolver

(x )

m

2

3

En este caso, se tiene la potencia de una potencia.

x6

3

3

x6

Vamos a explicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente ejemplo: Ejemplo 9:

⎛ 4 y3 x ⎞ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝

Resolver

5

=

4

(

)

5

4

y3x

4

y 15 x 5

(y 3 x)5

= 4 y15 x 5 5

Respuesta: ⎛⎜ 4 y 3 x ⎞⎟ =

⎝

⎠

Raíz de una raíz: Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede existir otro signo radical, como por ejemplo

7

y o varios como

5

4

2 z . Resolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los

índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se conservan las cantidades sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma: n m

132

a = n⋅m a

Ejemplo 10: Resolver Para la expresión

3

3

a 5b 3

a 5 b 3 , multiplicamos los índices de los radicales dados (3.2=6) y este

será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se conserva. Respuesta:

a 5b 3 = 6 a 5b 3

3

Extracción de Factores de un Radical Extraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible extraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub-radical sea expresada como factores en forma de potencia y que los exponentes de los factores sean iguales o mayores que el índice del radical. El proceso para extraer factores de una raíz es el siguiente: Paso 1: se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical. Paso 2: se toman aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual al índice de la raíz y se divide el exponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raíz. El cociente de la división representa el exponente de la base que se extrae y el residuo es exponente de la base que queda dentro de la raíz. Veamos a continuación un ejemplo: Ejemplo 11: Extraiga del radical

3

47 los factores que sean posibles:

Paso 1: Como existe un solo factor, se divide el exponente de la cantidad sub-radical entre el índice de la raiz:

7 ÷ 3 = 2 y residuo 1 Paso 2: Esto nos indica que el factor 4 se extrae de la raíz con exponente 2 y queda dentro con exponente 1

42 ⋅ 3 4 Respuesta:

3

47 = 4 2 ⋅ 3 4

Ejemplo 12: Extraiga del radical

3

3125x 3 los factores que sean posibles.

Paso 1: Se descomponen en factores primos los factores de la cantidad sub-radical 3

3125x 3 = 3 5 5 x 3

133

Paso 2: En este caso se divide 5 (exponente del factor de base 5) entre 3 (índice de la raíz), de donde el cociente es uno, este representa el exponente de la potencia con base 5 que se extrae de la raíz, es decir, la potencia 51=5. El residuo de la división es dos, y representa el exponente de la potencia con base 5 que se queda dentro del radical, lo cual es equivalente a la potencia 52=25. Por otro lado tenemos que el otro factor es x 3 , entonces dividimos el exponente 3 de la potencia x 3 entre el índice 3 de la raíz, el cociente es uno y el residuo cero (0), eso significa que se extrae la potencia de base “ x ” con exponente uno (1), es decir, la potencia x 1 = x , y no queda ninguna potencia con base x dentro del radical. Respuesta:

3125x 3 = 5x

3

3

52

Otra forma de extraer factores de un radical Para resolver este tipo de ejercicios, como el

Ejemplo 11:, de manera alterna,

debemos

conocer las propiedades de los radicales. Ejemplo 13: Extraiga del radical 3

3

3125x 3 los factores que sean posibles. Se descompone 3125 en sus factores primos y se expresa como potencia.

3125x 3

= 3 55 x 3

5

Se expresa 5 como multiplicación de potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los exponentes sea igual al índice de la raíz.

= 3 535 2 x 3

3 3

2 3

= 5 ⋅ 5 ⋅ x = 5 ⋅5 ⋅ x 3

3

3

2

3

3

3 3

Simplificamos los exponentes.

2

= 51 ⋅ 5 3 ⋅ x 1 = 5x 3 5 2 Respuesta:

3

3125x 3 = 5 x ⋅ 3 25

Ejemplo 14: Extraiga del radical

3x 2 y 6 los factores que sean posibles.

En este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de la variable y es 6, ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de la raíz, 2. 134

3 x 2 y 6 = xy 3 3

Ejemplo 15: Extraiga del radical 3 8 x 3 y 4 los factores que sean posibles. 3

Se descompone “8” en sus factores primos: 2 3

8x 3 y 4 = 3 23 x 3 y 4

Extracción de factores del radical

= 2 xy 3 y Respuesta: 3 8 x 3 y 4 = 2 xy

3

y

Observación: Cuando la cantidad sub-radical es una suma algebraica no se puede extraer factores, pues no están expresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible, aplicamos algunas reglas algebraicas para expresarlo como factores o potencias. Hay que recordar que factores son todas aquellas expresiones que se

multiplican. Veamos el

siguiente ejemplo: Ejemplo 16:

Extraiga del radical

a 2 + 4ab + 4b 2 los factores que sean posibles.

En la cantidad sub-radical se tiene una suma algebraica y no un producto.

a + 4ab + 4b 2

=

(a + 2b )2

=

(a + 2b )2 =

Respuesta:

2

Factorizamos la cantidad sub-radical, observe que ahora es un producto notable.

a + 2b

a 2 + 4ab + 4b 2 = a + 2b

Introducción de factores en un radical: Para introducir un factor en un radical, se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice. Ejemplo 17: Dada la expresión 2a ⋅ 5 ab , introduzca el factor en la raíz Se introduce el factor dentro del radical:

2a ⋅ 5 ab = 5 (2a ) ab

Se resuelven las potencias:

= 5 32a 5 ab =

5

5

32a 6 b

Respuesta: 2a ⋅ 5 ab = 5 32a 6 b

135

Ejemplo 18: Resuelva 5 4 x 3 7 2 x 2 y 6

En este caso no se pueden multiplicar directamente los índices, pues entre las dos raíces hay una expresión. El primer paso debe ser introducir la expresión en la raíz más interna, esto se hace elevando la expresión al índice del radical. En este caso debemos introducir 4x 3 en la raíz 7 2 x 2 y 6 , por lo tanto se eleva 4x 3 a la 7, así

( )

7

nos queda: 4x 3 . 5

4x3

7

2x 2 y 6 =

5 7

(4 x ) 2 x 3 7

2 6 3 Introducimos el factor 4 x en el radical 7 2 x y 2

y6 Convertimos 4 = 2 y multiplicamos potencias de igual base. 2

= 5 7 4 7 x 21 2 x 2 y 6 =

5 7

215 x 23 y 6

Multiplicamos los índices de los radicales.

= 35 215 x 23 y 6

Observe que en este caso no se pueden extraer factores del radical, ya que las potencias de los factores son menores que el índice de la raíz. Respuesta: 5 4 x 3 7 2 x 2 y 6 = 35 215 x 23 y 6 Nota: Sólo se puede introducir factores en una raíz, no sumandos, es decir si tenemos

4 x 3 + 2 x 2 y 6 , 4x 3 no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede introducir dentro de 2 x 2 y 6 . 5

Adición y Sustracción de Radicales: Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser semejantes.

Definición: Dos ó más radicales son semejantes cuando poseen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical, por ejemplo:

34 x

136

y

−74 x

Son radicales semejantes: ya que el índice es 4 y la cantidad sub-radical es x .

53 x

27 x

y

No son radicales semejantes: porque los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad sub-radical es la misma.

26 x

y

No son radicales semejantes: porque las cantidades sub-radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales.

27 y

4 ⋅ 12 3 x 2 y 5 ⋅ 12 3 x 2

Son radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub-radical y el índice de cada una de las raíces son iguales.

Una vez que hayas aprendido los conceptos de radicales semejantes, puedes seguir los pasos siguientes para sumar o restar radicales: Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes. Si a simple vista no lo son, trata de extraer factores o realizar algunas operaciones indicadas hasta comprobarlo, si es posible. Paso 2: Conserva igual la parte radical de las expresiones a sumar (o restar). Luego suma (o resta) los coeficientes, al hacer esto sólo estás factorizando la expresión por factor común. Ejemplo 19: Resolver 5 3 x + 7 3 x

53 x + 7 3 x

Son radicales semejantes.

= (5 + 7 ) 3 x

Factor común

= 12 3 x

Sumar los coeficientes.

3

x

Respuesta: 5 3 x + 7 3 x = 12 3 x Nota: En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, y sumar los coeficientes directamente, es decir: 5 3 x + 7 3 x = 12 3 x . Ejemplo 20: Resuelve

6 2 4 y− y+ y 4 3 5

6 2 4 ⎛6 2 4⎞ y− y+ y= ⎜ − + ⎟ y 4 3 5 ⎝4 3 5⎠

Son radicales semejantes y extraemos el factor común.

137

98 49 ⎛ 90 − 40 + 48 ⎞ y = y ⎟ y = 60 30 60 ⎠ ⎝

=⎜

Respuesta:

6 2 4 49 y− y+ y = y 4 3 5 30

Ejemplo 21: Resuelve 10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2

10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2

(

) (

= 10 5 y − 4 5 y + 6 3 2 − 2 3 2

)

= (10 − 4 ) 5 y + (6 − 2 ) 3 2 = 6 5 y + 4 3 2

Agrupamos términos semejantes.

Extraemos factor común de cada agrupación y sumamos los coeficientes.

Respuesta: 10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2 = 6 5 y + 4 3 2 Multiplicación y división de radicales con índices diferentes Cuando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realizar los siguientes pasos: Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz. Paso 2: Se divide el m.c.i. entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de la expresión sub-radical de cada raíz. Paso 3: Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice y terminamos de resolver el ejercicio. Ejemplo 22: Resuelva

3 xy .5 7 x 2 y 3

Para resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones siguientes: Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (2,5)= 10. Este es el nuevo índice de cada raíz, por lo tanto los radicales quedan así 10 .10

.

Paso 2: Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el exponente de cada cantidad sub-radical. 138

10:2 10 = 10 (3 xy ) .

(7 x y )

2 3 10:5

10

=

(3xy )5 .10 (7 x 2 y 3 )2

Paso 3: Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el ejercicio.

(

= 10 (3 xy ) .10 7 x 2 y 3 5

)

2

= 10 35 x 5 y 5 .10 7 2 x 4 y 6

= 10 3 5 7 2 x 9 y 11

= y 10 35 7 2 x 9 y

=y

10

Multiplicación de radicales de igual índice

Extracción de factores de un radical

243 × 49 x 9 y

= y 10 11.907 x 9 y 3

Ejemplo 23: Resuelva

3xy . 5 7 x 2 y 3 = y

Respuesta:

10

11907 x 9 y

9z 6

12

3y

En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación. 3

9z 6

el m.c.i.(3,12) = 12

12 3 y

12

=

(9 z )

6 4

12

Por conversión a radicales de igual índice

3y

12 4 24

=

9 z

12 3 y

38 z 24 = 12 3y

= 12

9 4 z 24 3y

Por división de radicales de igual índice

Se descompone 9 = 32 y se aplica la propiedad de potencia de potencias:

(9

4

( )

= 32

4

= 38

) 139

= 12

3 7 z 24 y

División de potencias de igual base

= z 2 ⋅ 12

37 y

= z 2 ⋅ 12

2.187 y

3

Respuesta:

Extracción de factores de un radical

9z 6

2.187 y

= z 2 ⋅ 12

12 3 y

(

Ejemplo 24: Resolver 2 ⋅ 4 xy .3 z 2 3

⎛ 2 4 xy .3 z 2 ⎞ = 23 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

)

3

( xy ) .( z ) 4

3

3

2

3

= 23 z 2

( xy ) . 3

4

8z 2

=

(xy )3

4

= 8z 2 ⋅ 4 x 3 y 3

3

3 Respuesta: ⎛⎜ 2 4 xy . z 2 ⎞⎟ = 8 z 2 4 x 3 y 3

⎝

⎠

Ejercicios propuestos: 1. Aplica las propiedades de la radicación a los siguientes ejercicios: a)

2 x 3 y ⋅ 4 24 x 2 y 2 ⋅ 4 27 x 7 y

4

6

c)

3x 3 y 2 ⋅ 6 8 x 4 y 2 6

e)

(

4

g) 4 3

140

(

9

) ⋅( 3

6

9

81x y

8x 6 y 3 2

)

2

)

4

3

f)

32a 3t 2

1024a 7 t 12 8a 5b 2 ⋅ 3 3a 4 b 5

81a 5b 3 ⋅ 7 256a 7 b 3

( 6a b ) ⋅ ( 3a b ) ( 36a b ⋅ 25a b ) 5

8

7

4

3 7

3

8

5 7

7

5

2

2

9x3 y4 144 x 2 y

5

7

d)

144 x 5 y 7

3x 3 y 2

3 4

5

b)

h)

⎛ 5 6 121a 2 t 7 ⎞ ⋅ ⎛ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 4

49a 5b 7

5

3

343a 2 b 3 ⎞⎟ ⎠

3

Justifica cada paso, indicando la propiedad que aplicaste. 2. Introduce los factores posibles dentro de los radicales: a) 2 xy 5 ⋅ 4 x 2 y

c) 7ab 5 3 a 2 b ⋅ y 2 x 4 d) 11 y 2 x 4 ⋅ 169 x 5 y 3

y2x4 ⋅9 8x6 y3

b)

3. Indica cuáles de los siguientes radicales son semejantes, aplicando la extracción de factores en un radical a) 4 x 3 ⋅ 4 16 x 7 y 15 ;

⎛ 3x ⋅ 4 ⎜⎜ xy ⎝ 2

b)

4

(

d) 9 ⋅ 4 9 x 5 y

)

3

12 5

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(

5

c) 7 ⋅ 12 x 3 y 6

5

;

;

y3

1

f) 54 x 3 ⋅ 4 xy 9

3 3 e) 6 x ⋅ ⎛⎜ 4 (x 5 y 10 ) ⎞⎟ ; ⎝ ⎠

;

)

4. Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando el procedimiento para la multiplicación y división de radicales con diferentes índices: a)

xy ⋅ 3 2 x 4 y ⋅ 3x 3 y 3

4

a 3t 4

5

c)

b) 5 3 x 3 y 2 ⋅ 3 2 x 2 y 5 ⋅ 10 5 x 2 y 3 6

d)

a 3t 5

4

7

e)

2x5 y 2 ⋅ 3 4x2 y 4 9x5 y3

a 5b 2 ⋅ 14 a 3b 5 a 3b 5 ⋅ 3 a 7 b 3

5. Resuelva las siguientes operaciones: a) 2 m 2 n − 9m 2 n + 16mn 2 − 4mn 2

9x − 9 + 4x − 4 − 5 x − 1

c)

(

)(

e) 3 a − 2 a + x 2 a + 3 a + x

b)

4

25 x 2 y 3 .6 125 x 2

d)

6

18 x 3 y 4 z 5 ÷ 4 3x 2 y 2 z 3

) 141

LECTURA N° 23: EXPRESIONES CONJUGADAS Material recopilado con fines instruccionales por: Gómez, T.; González, N.; Vergara A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt.

Expresiones Conjugadas La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un monomio o un binomio, veamos algunos ejemplos: Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una expresión radical monómica es un radical con el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera que los exponentes de estos factores son: i. La diferencia entre el exponente del factor y el índice en caso de ser este último mayor; o ii. La diferencia entre el múltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al exponente del factor y este último, en caso de ser el índice menor. Aclararemos esto con algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Hallar la conjugada de

4

x3 y 2

x 3 y 2 los exponentes de “ x ” y “ y ” son 3 y 2 respectivamente (menores que el índice de la raíz) y en la conjugada se eligen como exponentes de “ x ” y “ y ” a 1 y 2 respectivamente, es decir el exponente de “ x ” es igual a 4 – 3 = 1 y el exponente de “ y ” es igual a 4 – 2 = 2.

Observa que en la expresión

Luego la conjugada de

4

4

x 3 y 2 es 4 xy 2 , ya que al multiplicar las dos expresiones se elimina

la raíz: 4 x 3 y 2 .4

xy 2

Multiplicación de radicales

Expresión conjugada Expresión original = 4 x 4 y 4 = xy Respuesta: La expresión conjugada de Ejemplo 2:

142

Extracción de factores de un radical 4

x 3 y 2 es

Hallar la expresión conjugada de

6

4

x5 y 7

xy 2

El exponente del primer factor, “ x ”, es 5, menor que el índice de la raíz (6), luego aplicamos el caso (i), en la conjugada el factor “ x ” tendrá un exponente igual a la diferencia del índice de la raíz y el exponente de x , es decir, 6 - 5 = 1. El segundo factor, “ y ”, tiene un exponente igual a 7, mayor que el índice de la raíz, por lo tanto el exponente del factor “y” (caso ii) en la expresión conjugada, será la diferencia de un múltiplo de 6 (inmediatamente mayor a 7) y el exponente del factor “ y ”, es decir, 12 - 7 = 5. Respuesta: Luego la expresión conjugada de 6 x 5 y 7 es 6 x y 5 . Una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el exponente de uno de los factores es mayor que el índice de la raíz, será extraer de la raíz los factores posibles y luego aplicar el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante. Veamos un ejemplo: Ejemplo 3:

Hallar la expresión conjugada para 3 x 4 y13

Primero extraemos los factores de la raíz 3 x 4 y13 3

x 4 y13 = 3 x 3 x y12 y = x ⋅ y 4 3 x y ;

ahora hallamos la conjugada de 3 x y que es 3 x 2 y 2 Respuesta: La conjugada del monomio 3 x 4 y13 es 3 x 2 y 2 Ejemplo 4:

2 Hallar la conjugada de la expresión 5 ( x − 5) .

2 La conjugada de la expresión 5 ( x − 5) es

5

( x − 5)3 .

Fíjate que sólo la cantidad sub-radical es un binomio, la expresión como tal

5

( x − 5)2

es un

monomio (Si olvidaste lo que es un monomio y binomio, consulta la Unidad 2). Nota: En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha expresión se trata como un monomio, independiente de la característica de la cantidad sub-radical. Ejemplo 5:

Hallar la conjugada de la expresión

4

t+4

Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es un binomio) para hallar la conjugada tomamos la cantidad sub-radical como un solo elemento, que en este caso es

t + 4 con exponente 1, por lo tanto su conjugada sería:

4

(t + 4) 3 143

Respuesta: La conjugada de Ejemplo 6:

(t + 4) es

4

4

(t + 4) 3 x2 + h

Hallar la conjugada de la expresión

La conjugada de

x 2 + h es ella misma, es decir, cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz

cuadrada de una expresión (monómica, binómica o polinómica), su conjugada es ella misma.

x 2 + h es

Por lo tanto, la conjugada de

x 2 + h es

Respuesta: La conjugada de Ejemplo 7:

x2 + h . x2 + h

Hallar la conjugada de la expresión

Para hallar la conjugada de

5

5

( x + 1 + h) 2

( x + 1 + h) 2 observamos que tenemos como cantidad sub-radical,

un trinomio con exponente 2, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del trinomio, es decir, la conjugada será: 5

( x + 1 + h) 5 − 2 = 5 ( x + 1 + h) 3

Respuesta: La conjugada de 5

Ejemplo 8:

( x + 1 + h) 2 es

5

( x + 1 + h) 3

Hallar la conjugada de la expresión

6

( x − h) 2 − z

Como sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del Ejemplo 4:. Para hallar la conjugada

( x − h) 2 − z observamos que tenemos como cantidad sub-radical un binomio, dos 1 términos ( x − h) 2 ,y z y el exponente del binomio es 1, es decir, (( x − h) 2 − z ) . Por lo tanto la

de

6

conjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del binomio:

(( x − h) 2 − z ) 6−1 = 6 (( x − h) 2 − z ) 5

6

Respuesta: La conjugada de

6

( x − h) 2 − z es

6

(( x − h) 2 − z ) 5

Caso B. La conjugada de un binomio: en los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la expresión. Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales como

a+ b y

a − b , aplicaremos el producto notable de la suma por la diferencia para obtener la diferencia de los cuadrados de los términos (( x − y ) ⋅ ( x + y ) = x 2 − y 2 ) y así eliminar las raíces: 144

i.

a + b es

La conjugada de

a − b ya que al multiplicar las dos expresiones,

( a + b) ⋅ ( a − b) = ( a )2 − ( b)2 = a − b ii. Así mismo la conjugada de a − b es

a + b , al multiplicarlos:

( a − b) ⋅ ( a + b) = ( a )2 − ( b)2 = a − b Observa que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su conjugada contiene los mismos términos pero, cambiando el signo de la operación entre ellos.

Ejemplo 9:

Hallar la expresión conjugada de

2 x + 3 es

La expresión conjugada de

2 x + 3 y comprobar su respuesta.

2x − 3

Veamos ahora el producto entre ellas: ( 2x + 3 ) ⋅ ( 2 x − 3) =

( 2 x ) ⋅ ( 2 x ) − ( 2 x ) ⋅ ( 3 ) + ( 3 ) ⋅ ( 2 x ) − ( 3 )⋅ ( 3 ) = ( 2 x ) − ( 2 x )⋅ ( 3 ) + ( 3 ) ⋅ ( 2 x ) − ( 3 ) = ( 2x ) − ( 3 ) = 2x − 3

=

2

2

2

2

2 x + 3 es ( 2x + 3 ) ⋅ ( 2 x − 3) = 2 x − 3 Respuesta: La conjugada de

2 x − 3 y el producto

Ejemplo 10: Hallar la expresión conjugada de La expresión conjugada de

7 − 5 es

7 − 5 y comprobar su respuesta.

7+ 5

Veamos ahora el producto entre ellas: ( 7 − 5 ) ⋅ ( 7 + 5) = =

( 7 ) − ( 5) 2

2

= 7−5 = 2

Ejemplo 11: Hallar la expresión conjugada de

xy + 3 z y multiplicarlas entre sí

Observa que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro término no tiene radical, entonces: la conjugada de

xy + 3 z es

xy − 3 z .

Veamos ahora el producto entre ellas: 145

( xy + 3 z ) ⋅ ( xy − 3 z ) =

( xy )

2

− (3 z ) = xy − 9 z 2 2

Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como 3

3

a −3 b y

a + 3 b aplicamos los siguientes productos notables:

( x − y ) ⋅ ( x 2 + xy + y 2 ) = x 3 − y 3 y i. La conjugada de

3

a − 3 b es

( x + y ) ⋅ ( x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + y 3 a2 + 3 a ⋅ b + 3 b2 ,

3

Pues al multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

(3 a − 3 b ) ⋅ (3 a 2 + 3 a ⋅ b + 3 b 2 ) = (3 a ) 3 − (3 b ) 3 = a − b ii. Así mismo la conjugada de

3

a + 3 b es

3

a2 − 3 a ⋅ b + 3 b2

y al multiplicarlos: ( a + b ) ⋅ (3 a 2 − 3 a ⋅ b + 3 b 2 ) = (3 a ) 3 + (3 b ) 3 = a + b 3

3

Ejemplo 12: Hallar la expresión conjugada de La conjugada de

3

5x − 3 2 z

3

es

3

5 x − 3 2 z y multiplicarlas entre sí.

(5 x) 2 + 3 (5 x) ⋅ (2 z ) + 3 (2 z ) 2 .

Veamos ahora el producto entre ellas: ( 3 5 x − 3 2 z ) ⋅ (3 (5 x) 2 +

3

(5 x) ⋅ (2 z ) + 3 (2 z ) 2 )

Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda: = 3 (5 x)3 + 3 (5 x) 2 ⋅ (2 z ) + 3 (5 x) ⋅ (2 z ) 2 − 3 (5 x) 2 ⋅ (2 z ) − 3 (5 x) ⋅ (2 z ) 2 − 3 (2 z )3 Simplificamos los términos semejantes y nos queda: =

3

(5 x)3 − 3 (2 z )3 = 5 x − 2 z

Ejemplo 13:

Hallar la expresión conjugada de

La conjugada de 146

3

x + a − 3 x es

3

3

x+a −3 x .

( x + a ) 2 + 3 ( x + a) ⋅ ( x) + 3 ( x) 2 .

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a: ( 3 x + a − 3 x ) ⋅ (3 ( x + a ) 2 + 3 ( x + a ) ⋅ ( x ) + 3 ( x ) 2 )

= ( x + a) − x = a Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales como 4

4

a −4 b y

a + 4 b aplicamos los siguiente productos notables:

( x − y ) ⋅ ( x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) = x 4 − y 4

y

( x + y ) ⋅ ( x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 ) = x 4 − y 4 i.

La conjugada de

4

a − 4 b es

4

a 3 + 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 + 4 b 3 , pues al multiplicar las dos

expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

(4 a − 4 b ) ⋅ (4 a 3 + 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 + 4 b 3 ) = (4 a ) 4 − (4 b ) 4 = a − b

ii. Así mismo la conjugada de

4

a + 4 b es

4

a 3 − 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 − 4 b 3 y al multiplicarlos:

( 4 a + 4 b ) ⋅ (4 a 3 − 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 − 4 b 3 ) = (4 a ) 4 − (4 b ) 4 = a − b

Ejemplo 14: Hallar la expresión conjugada de La conjugada de

4

3 x + 1 − 4 3 x es

4

4

3x + 1 − 4 3x .

(3x + 1) 3 + 4 (3x + 1) 2 (3 x) + 4 (3 x + 1)(3x) 2 + 4 (3x) 3

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a: ( 4 3 x + 1 − 4 3 x ) ⋅ ( 4 (3 x + 1) 3 + 4 (3 x + 1) 2 (3 x) + 4 (3 x + 1)(3 x) 2 + 4 (3 x) 3 )

= (3 x + 1) − 3x = 1 Racionalización Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio 147

requiere que la expresión dada sea multiplicada y dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15: Racionaliza el denominador de

1 3

1

=

3

2ab =

= 3

=

.

2ab

3

2 2 a 2b 2

3

2 2 a 2b 2

1 3

y simplifica el resultado de ser posible.

2ab

Se multiplica y divide por la conjugada del denominador.

1.3 22 a 2b 2 3

2ab .3 22 a 2b 2

Multiplicación de fracciones.

3

2 2 a 2b 2

Multiplicación de radicales de igual índice en el denominador.

3

23 a 3b3 Extracción de factores en el denominador.

4 a 2b 2 2ab

Respuesta:

3

3

1 = 2ab

4 a 2b 2 2ab

Ejemplo 16: Racionaliza el denominador de

3x 2

Para racionalizar la expresión

4

3x 2 4

1 − 2x2

tenemos que dividir y multiplicar por la conjugada del

1 − 2x 2

denominador, que es un monomio.

3x 2 4

=

1 − 2x2

4

=

Respuesta: 148

1 − 2x 2

(

(1 − 2x )

3x 2 4

4

3x 2 1 − 2 x 2 4

1 − 2x2

4

3x 2

)3

. 4

(1 − 2 x ) (1 − 2 x )

2 3 2 3

4

=

4

=

(

3x 2 1 − 2 x 2 1 − 2x 2

(

3x 2 1 − 2 x 2 1 − 2x 2

2 4

)3

y simplifica el resultado de ser posible.

)3

Ejemplo 17: Racionaliza el denominador de

Para racionalizar la expresión

=

2 x 2 xy 2

5

4 x y

=

6

5

. 5

2 x 2 xy 45 x 2 y 6

x3 y 4 3

x y

45 x 2 y 6

y simplifica el resultado de ser posible.

, aplicaremos los siguientes pasos:

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

4

2 x 2 ⋅ 10 x 5 y 5 x 6 y 8 4 ⋅ 5 x 5 y 10

2 x 2 xy

2 x 2 ⋅ 10 x11 y13 = 4 xy 2

2 x 2 xy ⋅ 10 xy 3 = 4 xy 2

Extracción de factores

x 2 10 xy 3 2 x 3 y ⋅ 10 xy 3 = = 4 xy 2 2y

2 x 2 xy

Respuesta:

45 x 2 y 6

=

x 2 ⋅ 10 xy 3 2y

Ejemplo 18: Racionaliza el denominador

2 y simplifica si es posible. 3− 2

2 2 3+ 2 = . 3− 2 3− 2 3+ 2

Se multiplica y se divide por la conjugada del denominador.

=

(

2 3+ 2

)

(3 − 2 )(3 + 2 )

Respuesta:

=

2 3− 2

6+2 2 32 − 2

=

2

⇒

6+2 2 6+2 2 = 9−2 7

6+2 2 7

Ejemplo 19: Racionaliza el denominador

3−3 3 2+3 3

, simplifica si es posible.

149

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice:

2 + 3 3 = 3 8 + 3 3 , entonces nos queda: 3− 3 2+3 3

=

=

=

3

=

3−3 3 3

Por ser

3− 3

3

3

3

8=2

8+3 3

.

(3 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 3 2 )

8 + 3 3 (3 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 3 2 ) (3 − 3 3 ) ⋅ (3 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 3 2 )

(3 8 + 3 3 ) ⋅ (3 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 3 2 )

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador.

Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y se resuelve el denominador.

(3 ⋅ 3 64 − 3 ⋅ 3 24 + 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 3 64 + 3 3 ⋅ 3 24 − 3 3 ⋅ 3 9 ) (3 8 ) 3 + ( 3 3 ) 3

Multiplicación de radicales y extracción de factores: 3

64 = 3 4 3 = 4

3

y

24 = 3 8 ⋅ 3 = 3 2 3 ⋅ 3 = 3 2 3 ⋅ 3 3 = 2 ⋅ 3 3

=

(3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 4 + 3 3 ⋅ 24 − 3 3 ⋅ 9 ) 8+3

=

(12 − 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 9 − 4 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 9 − 3) 11

(9 − 10 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 9 ) = 11

Respuesta:

150

3−3 3 2+3 3

=

(9 − 10 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 9 ) 11

Se agrupan los términos semejantes

Ejemplo 20: Racionaliza el numerador de

x+3 −3 x

Este es el signo que cambia, no el signo que está bajo el radical

=

x+3 −3 x

(

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador.

x+3+3

x+3 −3 = ⋅ x

( =

x+3 −3 , simplifica si es posible. x

x+3+3

)(

x+3+3

x+3+3

)

) =(

2 x + 3 )2 − 3

x x + 3 + 3x

x +3−9 x−6 = x x + 3 + 3x x x + 3 + 3x

Respuesta:

x+3 −3 x−6 = x x x + 3 + 3x

(x + h )2 + 1 −

Ejemplo 21: Racionaliza el numerador

(x + h )2 + 1 −

x2 + 1

h

=

( ( x + h) + 1 ) − ( = 2

h⎛⎜ ⎝

2

( x + h )2 + 1 +

h

( x + h )2 + 1 −

Multiplicamos y dividimos la expresión

h

)

2

x 2 + 1 ⎞⎟ ⎠

=

x2 + 1

h

(x + h )2 + 1 −

x2 +1

x2 + 1

x2 + 1

.

, simplifica si es posible.

, por la conjugada del numerador.

(x + h )2 + 1 + (x + h )2 + 1 +

x2 + 1 x2 + 1

( x + h )2 + 1 − ( x 2 + 1) h⎛⎜ ( x + h )2 + 1 + x 2 + 1 ⎞⎟ ⎝

⎠

Desarrollamos el producto notable ( x + h) 2 en el numerador

x 2 + 2 xh + h 2 + 1 − x 2 − 1 = h⎛⎜ ( x + h )2 + 1 + x 2 + 1 ⎞⎟ ⎠ ⎝

151

=

=

2 xh + h 2 h⎛⎜ ⎝

h(2 x + h ) h⎛⎜ ⎝

(x + h )

2

+ 1 + x 2 + 1 ⎞⎟ ⎠

( x + h )2 + 1 −

Respuesta:

h

Factorizamos y simplificamos

x 2 + 1 ⎞⎟ ⎠

( x + h )2 + 1 +

x2 + 1

=

=

2x + h

( x + h )2 + 1 + 2x + h

( x + h )2 + 1 + 4

Ejemplo 22: Racionaliza el numerador de 4

x2 +1

x2 +1

27 , simplifica si es posible. 12

Es conveniente comenzar por descomponer en factores primos, la cantidad sub-radical, 27 = 33.

27 12

Se multiplica y se divide por la conjugada del numerador y se realizan las operaciones sobres los radicales. 4

=

4 4 3 3 1 33 4 3 .4 = = = 12 3 124 3 124 3 44 3

4

Respuesta:

27 1 = 4 12 4 3 4

Ejemplo 23: Racionaliza el numerador de

x+5 −4 3 , simplifica si es posible. x+2

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador de la expresión 3 2 2 4 3 x + 5 − 4 3 4 x + 5 − 4 3 4 ( x + 5) + 4 ( x + 5) ⋅ 3 + 4 ( x + 5) ⋅ 3 + 3 . = . 4 x+2 x+2 ( x + 5) 3 + 4 ( x + 5) 2 ⋅ 3 + 4 ( x + 5) ⋅ 3 2 + 4 33 4

Se resuelve el numerador:

=

= 152

( 4 x + 5 − 4 3 ) ⋅ ( 4 ( x + 5) 3 + 4 ( x + 5) 2 ⋅ 3 + 4 ( x + 5) ⋅ 3 2 + 4 33 ) ( x + 2)(4 ( x + 5) 3 + 4 ( x + 5) 2 ⋅ 3 + 4 ( x + 5) ⋅ 3 2 + 4 33 ) ( 4 ( x + 5) 4 − 4 3 4 ) ( x + 2)(4 ( x + 5) 3 + 4 ( x + 5) 2 ⋅ 3 + 4 ( x + 5) ⋅ 3 2 + 4 33 )

( x + 5) − 3

=

( x + 2)(4 ( x + 5) + 4 3 ⋅ ( x + 5) 2 + 4 9 ⋅ ( x + 5) + 4 27 ) 3

=

( x + 2) ( x + 2)(4 ( x + 5)3 + 4 3( x + 5) 2 + 4 9( x + 5) + 4 27 )

Se agrupan los términos semejantes y simplificamos

=

1 ( 4 ( x + 5) 3 + 4 3( x + 5) 2 + 4 9( x + 5) + 4 27 ) 4

Respuesta:

x+5 −4 3 1 = 3 4 4 x+2 ( ( x + 5) + 3( x + 5) 2 + 4 9( x + 5) + 4 27 )

Ejercicios Propuestos 6. En los siguientes ejercicios racionaliza el denominador de cada expresión.

a+b − a−b

1

a)

4

5a 25 x

b)

3

x+2+ 2

c)

d)

x+2− 2

a+b + a −b 2 a+ x a+ x

7. En los siguientes ejercicios racionaliza cada una de las siguientes expresiones: 3

a)

4

c)

e)

2 + x + 3 1− x x+3

b)

4 x + 4 3x x

d)

x−5 3

5

x 2 + 1 − 3 2 x + 16

x +5 4 x 2 − 16

x 4

3x + 1 − 4 2 x + 1

8. Hallar las conjugadas de las siguientes expresiones radicales: a)

5

a 3b16

b)

d)

8

( a 3 + b) 5

e)

13

x 35 y 8

c)

7

a3 + b

2a + b − 3a − b

f)

3

a − 3 3a + b

153

g)

5x − 5x + 2 y

h)

4

3a − 4 2b

k)

3

(x + h )3 − 3

j)

4

x+h −4 x

m)

4

4 x − 4 ( x + 3) 3

154

x+h

i)

3

3x + 1 − 3 3x − 1

l)

3

x −1 − 4