Unidad 4: Distribuciones de Probabilidad (Discretas y Continuas) Ejercicio 4 – 1 Una persona vende automóviles nuevos para una empresa. Generalmente negocia el mayor número de autos los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el número de autos que espera vender en un sábado en particular. Nº de automóviles vendidos (X) Probabilidad P(X)

0 0,1

1 0,2

2 0,3

3 0,3

4 0,1

a) ¿Qué tipo de distribución es ésta? b) En un sábado común, ¿cuántos autos espera vender? c) ¿Cuál es la varianza de la distribución? Ejercicio 4 – 2 Como se sabe, la repuesta a una pregunta de verdadero o falso es correcta o incorrecta. Considérese que (i) un examen está formado por cuatro preguntas de verdadero o falso, y (ii) un estudiante no sabe nada sobre el tema. La probabilidad que el estudiante adivine la repuesta correcta a la primera pregunta es ½ o sea 0,5. De manera semejante, la probabilidad de adivinar en forma correcta cada una de las preguntas restantes es 0,5. Cuál es la probabilidad de: a) ¿No obtener exactamente ninguna de las cuatro, en forma correcta? b) ¿Obtener exactamente una correcta de las cuatros? c) ¿Contestar exactamente dos de las cuatros preguntas en forma correcta? (aplicando la fórmula) Ejercicio 4 – 3 En un día veraniego muy caluroso, 10% de los trabajadores de producción de una empresa están ausentes del trabajo. Se han de seleccionar al azar 10 obreros para un estudio especial a profundidad sobre ausentismo. a) ¿Cuál es la variable aleatoria en este problema? b) Tal variable, ¿es discreta o continua? ¿por qué? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar 10 trabajadores de producción en un día caluroso de verano y descubrir que ninguno de ellos está ausente? d) Calcule la media y la desviación estándar de la distribución binomial. Ejercicio 4 – 4 Juzgando a partir de experiencia reciente, 5% (p = 0,05) de los engranajes producidos por una máquina automática de alta velocidad, son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que entre seis (n=6) engranes seleccionados al azar: a) ¿Exactamente cero sean defectuosos? h) Realice la tabla de probabilidad binob) ¿Exactamente uno? mial. c) ¿Y dos? i) Corrobore los resultados anteriores con d) ¿Y tres? las tablas de probabilidad binomial. e) ¿Cuatro? j) Calcule la media y la varianza de la disf) ¿Cinco? tribución binomial. g) ¿Exactamente seis? Ejercicio 4 – 5 Una de cada cinco veces que se llegó al puente levadizo sobre la Gulf Intracoastal Waterway, éste estaba levantado y se tuvo que esperar. Utilizando la tabla probabilística binomial: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en sus b) ¿Cuál es la probabilidad de que esté lesiguientes siete aproximaciones al puenvantado exactamente una de las siete vete, éste no se halle levantado? ces que se acerque? c) ¿Cuál es la probabilidad que esté levantado exactamente dos veces?

d) e) f) g)

¿Tres veces? ¿Cuatro veces? ¿Cinco veces? ¿Exactamente seis veces?

h) ¿Sietes veces? i) ¿Cuánto debe dar la suma total de las probabilidades de a, b, c, d, e, f, g y h?

Ejercicio 4 – 6 Una muestra aleatoria de 1000 facturas reveló 300 errores. De esta forma, la media aritmética del número de errores por factura es 0,3 que se obtiene de 300/1000. Esta es una muestral que se utiliza para estimar la media poblacional, , para un modelo (de Poisson) del proceso. a) Calcular la probabilidad para una distrib) Cuál es la probabilidad de hallar exactabución de Poisson utilizando la fórmula mente un error. de no encontrar errores en una factura sec) Dos errores. leccionada al azar. d) Tres errores e) Y cuatros éxitos (errores). Ejercicio 4 – 7 Un productor de semillas híbridas tiene problemas con gusanos barrenadores del maíz. Una verificación aleatoria de 5000 mazorcas reveló estos datos: muchas de las mazorcas no contenían gusanos; algunas tenían uno; unas cuantas tenían dos, etc. La distribución del número de barrenadores por mazorca se aproximó a la distribución de Poisson. El productor contó 3500 gusanos en las 5000 mazorcas. a) ¿Cuál es la probabilidad que una mazorca seleccionada al azar no contenga gusanos? b) Idee una distribución probabilística de Poisson para este experimento. Ejercicio 4 – 8 La señora García está encargada de los préstamos en un banco. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente su préstamo es 0,025. El mes pasado realizó 40 préstamos. a) ¿Cuál es la probabilidad que 3 préstamos no se paguen oportunamente? b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo? Ejercicio 4 – 9 Una firma comercial analizó una muestra de 10000 pedidos recibidos de un cierto artículo almacenado y observó que el porcentaje de pedidos incompletos era aproximadamente del 0,028%. Cuál es la probabilidad de que lleguen: a) 4 pedidos incompletos. e) Más de 2 pero menos de 8. b) A lo sumo 3 incompletos. f) Ninguno incompleto. c) Más de 7 incompletos. g) Calcule la media y la varianza. d) 7 o más pero a lo sumo 9. Ejercicio 4 – 10 Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero, es 0,001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos: a) Exactamente 3 individuos tengan reacción alérgica. b) Más de 2 individuos tengan reacción alérgica. c) A lo sumo 3 tengan reacción alérgica. Ejercicio 4 – 11 Una fábrica instala una nueva línea de pintura de última generación capaz de pintar 1000 piezas por semana. El proveedor de esta línea asegura que solo el 30% de las piezas presentaran fallas de pintura. Si tomamos una muestra diaria de 30 unidades: a) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 piezas sean defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer al menos 3 piezas con defectos? 2

c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer no menos de 2 piezas con defectos? d) ¿Cuál es la probabilidad de extraer menos de 4 piezas defectuosas? Ejercicio 4 – 12 El 90% de las casas de una ciudad tienen televisión por cable, si se toma una muestra de 7 casas, Cuál es la probabilidad de que: a) ¿Las 7 tengan TV por cable? c) ¿Más de 5 tengan TV por cable? b) ¿Menos de 5 tengan TV por cable? d) ¿Por lo menos 4 tengan TV por cable? Ejercicio 4 – 13 Una fábrica produce 20 cubiertas para bicicletas por semana, el departamento de calidad realiza una verificación del cien por ciento de las bicicletas observando que ocho cubierta presentan algún inconveniente. Si se toma una muestra diaria de 7 cubiertas: a) Cuál es la probabilidad de que 5 de estas cubiertas presenten algún problema. b) Cuál es la probabilidad de que menos de 2 cubiertas presenten algún problema. c) Cuál es la probabilidad de que como mínimo 4 cubiertas presenten algún problema. d) Calcule media y varianza. Ejercicio 4 – 14 Un fabricante de ladrillos produce 100000 ladrillos por horneada y sabe que el 0,5% de estos ladrillos deben ser desechados por mala cocción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al retirar la primera línea de ladrillos compuesta por mil unidades, se tengan que desechar 7 ladrillos por presentar defectos de cocción? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en esa primera línea de ladrillos encontremos 2 ladrillos con mala cocción? c) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar ladrillos con defectos de cocción? d) Calcule media y varianza. Ejercicio 4 – 15 Una fábrica produce 200 cubiertas para bicicletas por semana, el departamento de calidad realiza una verificación del cien por ciento de las cubiertas observando que cuatro de estas cubiertas presentan algún inconveniente. Si se toma una muestra del 50% de la producción diaria: a) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco cubiertas presenten algún problema? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar cubiertas que presenten algún problema? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no menos de tres cubiertas presenten algún problema? d) Calcule media y varianza. Ejercicio 4 – 16 Si se sabe que el 0,2% de las 500 copas de vidrio que produce una maquina presentan alguna burbuja de aire visible al ojo humano y por lo cual debe considerarse material de segunda: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una muestra del 10% de la producción total 3 copas deban ser consideradas material de segunda? b) ¿Cuál es la probabilidad de que solo 1 copa deba ser consideradas material de segunda? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 copa deba ser consideradas material de segunda? d) Calcule media y varianza. Ejercicio 4 – 17 Usando la tabla de Distribución Normal calcule el área bajo la curva normal entre estos valores: a) z = 0 y z = 1,4 c) z = 0 y z = 0,74 e) z = 0,73 y z = 1,62 b) z = 0 y z = -0,26 d) z = -0,62 y z = 1,25 f) z = -0,33 y z = -1,57 Ejercicio 4 – 18 Usando la tabla de Distribución Normal para calcular las siguientes áreas bajo la curva normal: 3

a) A la derecha de z =0,49 b) A la izquierda de z = -1,27 Ejercicio 4 – 19

c) Entre z = -0,60 y z = 1,96 d) Entre z = 1,24 y z = 1,70

Encuentre el valor de z0 para las siguientes probabilidades: a) P(z > z0) = 0,05 d) P(z < z0) = 0,1314 b) P(z < z0) = 0,05 e) P(-z0 < z < z0) = 0,733 c) P(z > z0) = 0,8051 f) P(-z0 < z < z0) = 0,90

g) P(-z0 < z < z0) = 0,95

Ejercicio 4 – 20 Suponga que una variable aleatoria normal, y tiene una media de 10 y una desviación estándar de 3. Encuentre las siguientes probabilidades que y: a) Caiga entre 10 y 11,8 c) Exceda 14,2 e) Caiga entre 8 y 10,5 b) Caiga entre 6 y 12 d) Sea menor que 12 f) Exceda 15,4 Ejercicio 4 – 21 Las longitudes de las barras de acero producidas por una cierta compañía están normalmente distribuidas con  = 31 cm y  = 5 cm. Cuál es la probabilidad de que una barra de acero mida: a) Menos de 41 cm b) Más de 26 cm

c) Más de 36 cm d) Menos de 24 cm

e) Entre 26 y 28 cm f) Entre 30 y 34 cm

Ejercicio 4 – 22 En una población de 3428 adultos, la distribución de las estaturas es aproximadamente normal con  = 140 cm y  = 25 cm. Calcule la probabilidad de que una persona tenga una estatura: a) Superior a 170 cm e) Comprendida entre 1 m y 1,30 m b) Inferior a 90 cm f) ¿Entre qué valores queda ubicado el 40% c) Comprendida entre 1 m y 1.50 m central? ¿Y, aproximadamente, el 95% d) Comprendida entre 1,80 m y 1,90 m central? En cada uno de los incisos calcule el número de dichas personas. Ejercicio 4 – 23 La duración de un determinado tipo de lavadora automática tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 3,1 años y una desviación estándar de 1,2 años. Si la lavadora está garantizada por un año, ¿qué proporción del total de unidades vendidas tendrá que ser reemplazada? Ejercicio 4 – 24 Supóngase un fabricante de neumáticos desea fijar una garantía de millas para su nuevo neumático MX100. Las pruebas de duración revelaron que la media de las millas recorridas es 47900, y la desviación estándar de las millas, que se distribuye en forma normal, es 2050 millas. El fabricante desea fijar las millas recorridas de garantía de manera que no sea necesario reemplazar más del 5% de los neumáticos. ¿Cuántas millas de recorrido de garantía debe anunciar el fabricante? Ejercicio 4 – 25 Un análisis de las calificaciones obtenidas en la primera prueba de una asignatura de comercio exterior reveló que seguían, aproximadamente, una curva normal con media de 75 y desviación estándar de 8. El profesor desea otorgar una calificación de A al 10% superior de las calificaciones en la prueba. ¿Cuál es el punto divisorio entre las calificaciones A y B?

Ejercicio 4 – 26 El sitio de Internet, ACROBAT, ha estudiado que los tiempos medios que una persona se contacta con ellos es de 35 minutos y con una desviación estándar de 5,2 minutos, (la presente es una distribución normal). a) ¿Cuál es la probabilidad que un usuario, esté conectado menos de 25 minutos? b) ¿Durante cuántos minutos se conectan hasta el 72,24% de los usuarios? Ejercicio 4 – 27 Se extrae de una muestra de 25, el ingreso per cápita y por entidad federal en los Estados Unidos, en miles de dólares que se presenta a continuación. 1,4 9,5 10,5 10,7 11,1

11,1 11,3 11,9 12,2 12,7

13,2 13,6 13,6 13,6 13,8

13,8 14,3 14,4 14,7 15,1

16,8 17,1 17,5 17,7 28,4

a) Determine si la presente distribución responde a una de tipo gaussiana. Calcule la media, mediana y moda. b) Determine la desviación estándar. c) ¿Cuál es el porcentaje, cuyo ingreso es inferior a 13 mil dólares? d) ¿Qué porcentaje de entidades tienen un ingreso entre 10 mil y 15 mil dólares? e) ¿El 10% superior de ingresos superior a qué monto corresponde? Ejercicio 4 – 28 La distribución de los ingresos anuales de un grupo de empleados a nivel gerencia media en Complon Plastics, siguió en forma aproximada una distribución normal con una media de 37200 dólares y una desviación estándar de 800 dólares. a) ¿Entre qué par de cantidades está, aproximadamente, el 68% de los ingresos centrales? b) Aproximadamente, ¿entre qué dos valores se encuentra el 95% de los ingresos centrales? c) Prácticamente, entre ¿qué par de valores se hallan aproximadamente todos los ingresos? d) ¿Cuáles son la mediana y la moda de los ingresos? e) ¿Esta es una distribución simétrica? Ejercicio 4 – 29 Una industria lechera produce panes de manteca de 202 gramos de contenido neto declarado. Al final de la línea de elaboración, el sector de Control de Calidad, toma una muestra de los productos terminados, realiza un control de pesos y obtiene los siguientes resultados: 197,0 198,1 198,8

199,2 199,8 200,0

200,1 200,3 200,7

201,0 201,1 201,3

198,0 198,7 199,0

199,5 200,0 200,1

200,2 200,5 200,8

201,1 201,2 202,0

199,1 200,1 201,0

a) La presente es una distribución normal. Calcule la media, mediana y moda. b) Calcule la desviación estándar. c) Si el valor mínimo especificado es de 198,5 gr, ¿qué porcentaje no cumple con las especificación? d) Si la empresa especifica que el valor máximo es de 202 gr, ¿qué porcentaje cumple con las especificaciones (es decir está entre el valor mínimo y máximo). e) Aquellos panes que superen los 202 gr., representan para la empresa una pérdida por sobrepeso. ¿qué cantidad se ve afectada? Ejercicio 4 – 30 Una empresa de transporte aéreo realiza viajes entre Bs. As. y Madrid con aviones de 250 asientos. El número medio de pasajeros que realiza cada viaje es de 200 personas y el desvío estándar de los 5

viajes es de 18. Si los costos operativos se cubren con 180 pasajeros ¿En qué porcentaje de vuelos la empresa obtiene utilidades? ¿Y en cuál trabaja a pérdida? Ejercicio 4 – 31 El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el trimestre que terminó el 31 de marzo de 1995 fue de 8,55, con una desviación estándar de 0,7. Suponiendo que el rendimiento de los bonos tiene una distribución aproximadamente normal y que el rendimiento de los bonos de determinada firma fue de 7,1. Obtenga el percentil correspondiente al rendimiento de 7,1. Ejercicio 4 – 32 Un auditor encontró que los errores en las cuentas de créditos de una empresa que realiza ventas por correo, tienen una distribución normal con media $0 y desviación estándar de $1. Suponga que se elige una cuenta de crédito al azar de los registros de la compañía. a) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $0 y $1,5 b) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $-2 y $0 c) Encuentre la probabilidad de que tenga un error de al menos $1,75 d) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $-1,5 y $1,25 e) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $-2 y $-1 Ejercicio 4 – 33 Suponiendo que el salario de los contadores públicos tiene una distribución normal con media $15089 al año y desviación estándar de $1035. a) ¿Qué proporción de los contadores públicos gana más de $17000? b) ¿Qué proporción de los contadores públicos gana menos de $14000? Ejercicio 4 – 34 El secretario de una Universidad estudió los Promedios de Calificaciones Escolares (PCE) de los estudiantes, correspondientes a varios años. Descubrió que la distribución es aproximadamente normal, con una media de 2,8 y una desviación estándar de 0,4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un PCE desde 2,0 hasta 3,0? b) ¿Qué porcentaje de alumnos está a prueba, es decir, tiene un PCE menor que 2,00? c) La población de escolares en dicha institución es de 10000. ¿cuántos estudiantes están en la lista del decano de la universidad, es decir, tiene un PCE de 3,7 o mayor? d) Para obtener una beca, un alumno debe estar dentro del 10% superior del conjunto de escolares. ¿qué PCE debe tener un estudiante para tal obtención? Ejercicio 4 – 35 El proceso de empaque de una compañía exportadora de cereales para el desayuno ha sido ajustado para que cada paquete contenga un promedio de 13 onzas de cereal. Por supuesto que no todos los paquetes contienen exactamente 13 onzas, a causa de fuentes aleatorias de variabilidad. La desviación estándar del peso neto real es de 0,1 onza y se sabe que la distribución de pesos sigue la distribución normal de probabilidad. Determine la probabilidad de que un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 12,9 y 13,1 onzas de cereal e ilustre la proporción del área bajo la curva asociada con este valor de probabilidad. Ejercicio 4 – 36 Una empresa ofrece a sus empleados un seguro de gastos médicos dentales. En un estudio reciente realizado por el director de personal, se encontró que el costo anual de este seguro (por empleado) sigue una distribución normal con media $1280 y desviación estándar $420. ¿Cuál es el costo anual para 10% de los empleados que tuvieron gastos dentales más elevados?

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Ejercicio 4 – 37 Un análisis de las calificaciones obtenidas en la primera prueba de una asignatura reveló que seguía, aproximadamente, una curva normal con media  = 65 y  = 7,5472. El profesor desaprobará al 70,19 % inferior de las calificaciones. ¿Cuál es el punto divisorio que superior a él se aprobará e inferior se desaprobará? Ejercicio 4 – 38 Las cantidades de dinero en solicitudes de préstamo para ciclomotores que recibe la empresa financiera, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de $1500 y una desviación estándar de $200. Una solicitud de préstamo se recibió esta mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que: 1. ¿La cantidad solicitada sea de mayor de $1800? 2. ¿La cantidad solicitada sea menor de $1550? 3. ¿El préstamo solicitado esté comprendido entre $1000 y $1200? 4. ¿Establezca cuál es el monto de préstamo que solicita el 70% inferior de los clientes de la entidad financiera? 5. ¿Cuál son los importes de préstamos que solicitan el 50% central de los clientes? 6. ¿Qué importe en solicitan el 50% de los clientes? Ejercicio 4 – 39 La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10000 habitantes: Calcular: a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años? Nota: se supone que la presente es una distribución normal. Ejercicio 4 – 40 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que este consumo se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? -----------------------------------------------------------------------------------------------

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