DISTRIBUCIONES DISCRETAS. PROBABILIDAD BINOMIAL 1. Hallar la media y la varianza de una variable x que tiene la siguiente función de probabilidad: X P

2 0’2

3 0’3

7 0’5

Solución. Media o Esperanza matemática.

µ=

n

∑ x i ·p i = 2 ⋅ 0'2 + 3 ⋅ 0'3 + 7 ⋅ 0'5 = 4'8 i =1

Varianza

σ2 =

n

∑ x i2 ·p i − µ 2 = 2 2 ⋅ 0'2 + 3 2 ⋅ 0'3 + 7 2 ⋅ 0'5 − 4'8 2 = 4'96 i =1

2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad: X 2 3 5 6 P 0’2 0’1 0’4 0’2 a) Hallar la función de distribución de dicha variable. Solución. Función de distribución ó probabilidad acumulada (F(x)).

xi

pi

F(x) = p(x≤ ≤xi)

2 3 5 6 8

0’2 0’1 0’4 0’2 0’1

0’2 0’3 0’7 0’9 1

b) Representar en un diagrama la función de distribución. Solución.

8 0’1

c)

Hallar la media y la desviación típica.

Solución.

xi

pi

xi·pi

xi2·pi

2 3 5 6 8

0’2 0’1 0’4 0’2 0’1

0’4 0’3 2’0 1’2 0’8

0’8 0’9 10 7’2 6’4

∑ p i = 1 ∑ x i ⋅ p i = 4'7 ∑ x i2 ⋅ p i − µ 2 = 3'21 ∑ x i ⋅ p i = 4'7 σ 2 = ∑ x i2 ⋅ p i − µ 2 = 3'21 µ=

3. Considérese el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar el resultado de la suma de las caras superiores. Hallar:

a) La función de probabilidad y su representación. Solución.

xi pi

2

1 36

3

2

36

4

3

36

5

4

36

6

5

36

7

6

36

8

5

36

9

4

36

10

11

12

3

2

1 36

36

36

b) La función de distribución F(x) y su representación. Solución.

xi Fi

2

3

3

1 36

36

4

6

5

10

36

6

36

15

7

21 36

36

8

9

26

30

36

36

10

33

36

c) La media y la desviación típica de la distribución. Solución.

xi

pi

xi·pi

xi2·pi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0’028 0’056 0’083 0’111 0’139 0’167 0’139 0’111 0’083 0’056 0’028

0’056 0’167 0’333 0’555 0’833 1’167 1’111 1 0’833 0’611 0’333

0’111 0’5 1’333 2’778 5 8’167 8’889 9 8’333 6’722 4

∑ pi = 1

∑ x i ⋅ pi = 7

∑ x i2 ⋅ p i =54'83

Media:

µ=

n

∑ x i ·p i = 7 i =1

Desviación típica: n

σ=

∑ x i2 ·p i − µ 2 = i =1

54'83 − 7 2 = 2'42

11

35

36

12 1

d) Sea x la variable aleatoria que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades: p(x≤5); p(x≥10); F(4); F(−2); F(19) Solución. 10 5 • p(x ≤ 5) = F(5) = = 36 18 30 1 • p(x ≥ 10 ) = p(x < 10) = 1 − p(x < 10) = 1 − F(9 ) = 1 − = 36 6 6 1 • F(4 ) = = 36 6 • F(−2 ) = 0 • F(19) = 1 4. Sea x una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es X P

0 0’1

1 0’2

2 0’1

3 0’4

4 0’1

a) Calcular y representar gráficamente la función de distribución. Solución.

xi

pi

Fi (p(x ≤ xi))

0 1 2 3 4 5

0’1 0’2 0’1 0’4 0’1 0’1

0’1 0’3 0’4 0’8 0’9 1’0

b) Calcular las siguientes probabilidades: p(x 2 ) = p(4, 3) + p(4, 4 ) =   ⋅ 0'25 3 ⋅ 0'75 4 −1 +   ⋅ 0'25 4 ⋅ 0'75 4− 4 = 0'0508  3  4 14. Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar: a) 1 sea defectuoso; Solución. x ≡ Número de cerrojos defectuosos. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(4, 0'20)

 N N = 4 P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p r ⋅ q N − r :  x p = 0'20 ⇒ q = 1 − p = 1 − 0'20 = 0'80  4 p(4, 1) =   ⋅ 0'201 ⋅ 0'80 4−1 = 0'4096 1 La probabilidad de que entre cuatro uno sea defectuoso es del 40’96%

b) a lo más, 2 sean defectuosos. Solución.

 4  4  4 p(4, x ≤ 2 ) = p(4, 0 ) + p(4, 1) + p(4, 1) =   ⋅ 0'2 0 ⋅ 0'8 4− 0 +   ⋅ 0'21 ⋅ 0'8 4−1 +   ⋅ 0'2 2 ⋅ 0'8 4− 2 = 0'9728 0 1  2 15. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces. Solución. x ≡ Número de caras al lanzar cuatro veces una moneda. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(4, 0'50)

N = 4  N  r N−r  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'5 x  q = 1 − p = 1 − 0'5 = 0'5  Se pide:  4  4 p(x > 2 ) = p(4,3) + p(4,3) =   ⋅ 0'5 3 ⋅ 0'5 4 −3 +   ⋅ 0'5 4 ⋅ 0'5 4 − 4 = 0'25 + 0'0625 = 0'3125  3  4

p(x > 2 ) = 31'25% 16. La probabilidad de que salga cara con una moneda truncada es 0,45. Se lanza la moneda 7 veces. Calcular la probabilidad de que: a) Salgan exactamente tres caras. Solución. x ≡ Número de caras al lanzar una moneda trucada siete veces. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(7, 0'45)

N = 7  N  r N −r  P(obtener x éxitos) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'45 x  q = 1 − p = 1 − 0'45 = 0'55 

7 p(7,3) =   ⋅ 0'45 3 ⋅ 0'55 7−3 = 0'2918  3 b) Al menos tres caras.

Solución.

(

)

p(7, x ≥ 3) = p 7, x < 3 = 1 − p(7, x < 3) = 1 − (p(7, 0) + p(7, 1) + p(7, 2 )) =

7  7 7 = 1 −    ⋅ 0'45 0 ⋅ 0'55 7−0 +   ⋅ 0'451 ⋅ 0'55 7−1 +   ⋅ 0'45 2 ⋅ 0'55 7 −2  = 1 − (0'0152 + 0'0872 + 0'2140) = 0'6836 1  2  0 

c)

A lo sumo tres caras.

Solución.

p(7, x < 3) = p(7, 0 ) + p(7, 1) + p(7, 2 ) =

7 7 7 =   ⋅ 0'45 0 ⋅ 0'55 7−0 +   ⋅ 0'451 ⋅ 0'55 7 −1 +   ⋅ 0'45 2 ⋅ 0'55 7 −2 = 0'0152 + 0'0872 + 0'2140 = 0'3164  0 1  2 17. Un examen de opción múltiple está compuesto por 9 preguntas, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una es correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas? ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una? Solución. x ≡ Número de respuestas correctas. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(9, 0'25)

•

•

N = 9  N  r N−r  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'25 x  q = 1 − p = 1 − 0'25 = 0'75  probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas 9 p(9,6 ) =   ⋅ 0'25 6 ⋅ 0'75 9 − 6 = 0'0087 6 probabilidad de que no acierte ninguna 9 p(9,0 ) =   ⋅ 0'25 0 ⋅ 0'75 9 − 0 = 0'0751 0

•

probabilidad de que acierte al menos una

(

)

9 p(9, x ≥ 1) = p 9, x < 1 = 1 − p(9, x < 1) = 1 − p(9, 0) = 1 −   ⋅ 0'25 0 ⋅ 0'75 9 − 0 = 1 − 0'0751 = 0'9249 0 18. Se lanzan un dado cinco veces y se anotan los números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro números primos? ¿Cuál es la probabilidad de que todos los números sean compuestos? (Nota: el número 1 se considera como primo.) Solución. Los números se pueden clasificar como primos (P) o compuestos (C).

En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: P = {1, 2, 3, 5}; C = {4, 6} 4 2 2 1 p(P ) = = p(C ) = = 6 3 6 3 x ≡ Número de veces que al lanzar un dado cinco veces sale número primo. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5} que sigue una distribución binomial:  2 B(N, p ) = B 5,   3

 N = 4  N  r N−r  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q : p = 2 3 x  2 1  q = 1− p = 1− = 3 3 

•

probabilidad de obtener cuatro números primos al lanzar cinco veces 4

 5  2   1  p(5, 4) =   ⋅   ⋅    4  3   3  •

5− 4

= 0'3292

probabilidad de que todos los números sean compuestos ≡ ninguno sea primo 0

 5  2   1  p(5, 0) =   ⋅   ⋅    0  3   3 

5−0

= 0'0041

19. Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya: a) Como mucho tres niñas. Solución. x ≡ Número de niñas. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(10, 0'5)

 N P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p r ⋅ q N −r x Se pide:

 N = 10  : p = 0'5  q = 1 − p = 1 − 0'5 = 0'5 

p(10, x ≤ 3) = p(10, 0 ) + p(10, 1) + p(10, 2 ) + p(10, 3) =

10  10  10  10  =   ⋅ 0'5 0 ⋅ 0'510−0 +   ⋅ 0'51 ⋅ 0'510−1 +   ⋅ 0'5 2 ⋅ 0'510− 2 +   ⋅ 0'5 3 ⋅ 0'510−3 = 2 3 0 1 = 0'0010 + 0'0098 + 0'0439 + 0'1172 = 0'1719 b) Al menos una niña . Solución.

10  p(10, x ≥ 1) = p(10, x < 1) = 1 − p(10, x < 1) = 1 − p(10, 0 ) = 1 −   ⋅ 0'5 0 ⋅ 0'510− 0 = 0'9990 0 c) Al menos ocho niños. Solución. Al menos ocho niños equivale a que el número de niñas sea menor o igual que 2

p(10, x ≤ 2) = p(10, 0) + p(10, 1) + p(10, 2) = 0'0010 + 0'0098 + 0'0439 = 0'0547 d) Al menos una niña y un niño. Solución. Para que al menos halla una niña y un niño, el número de niñas tiene que estar comprendido entre 1 y 9 inclusive. p(1 ≤ x ≤ 9 ) = p(10, 1) + p(10, 2 ) + p(10, 3) + p(10, 4 ) + p(10, 5) + p(10, 6 ) + p(10, 7 ) + p(10, 8) + p(10, 9 ) =

10   10  = 1 − [p(10, 0) + p(10, 10)] = 1 −   ⋅ 0'5 0 ⋅ 0'510−0 +   ⋅ 0'510 ⋅ 0'510−10  = 0'9980  0   10 

20. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Ningún paciente tenga efectos secundarios. Solución. x ≡ Número de pacientes que tienen efectos secundarios de un grupo de cinco. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(5, 0'03)

N P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p r ⋅ q N − r x

N = 5  :  p = 0'03 q = 1 − p = 1 − 0'03 = 0'97 

Se pide:

 5 p(5, 0 ) =   ⋅ 0'03 0 ⋅ 0'97 5−0 = 0'8587  0 b) Al menos dos tengan efectos secundarios. Solución.

p(5, x ≥ 2 ) = p(5, x < 2 ) = 1 − p(5, x < 2 ) = 1 − [p(5, 0 ) + p(5, 1)] =

 5   5 = 1 −   ⋅ 0'03 0 ⋅ 0'97 5−0 +   ⋅ 0'031 ⋅ 0'97 5−1  = 0'9915  0   1 c)

¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

Solución. El valor medio, valor esperado o esperanza matemática de una variable binomial viene dado por la expresión: µ = N ⋅ p = 100 ⋅ 0'03 = 3 21. Explicar cuál es la fórmula de la probabilidad de que al lanzar 3 monedas bien construidas se obtengan x caras. Supongamos ahora que se han lanzado tres monedas bien construidas. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara? Solución. x ≡ Número de caras al lanzar tres veces una moneda. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(3, 0'50)

 N P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p x ⋅ q N − x x

N = 3  :  p = 0'5  q = 1 − p = 1 − 0'5 = 0'5 

 3 p(3, 1) =   ⋅ 0'51 ⋅ 0'5 3−1 = 0'375 1 b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

Solución.

 3 p(3, 3) =   ⋅ 0'5 3 ⋅ 0'5 3−3 = 0'125  3

   3 x 3− x  =   ⋅ 0'5 ⋅ 0'5 x    

c)

Si sabemos que se ha obtenido un número impar de caras, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras obtenido sea 1?

Solución.

 3   ⋅ 0'51 ⋅ 0'5 2 p(3, 1) 3 1 3, 1 ( )   p = =  (3, 1) ∪ (3, 3) p(3, 1) + p(3, 3)  3  1 2  3  3 0 = 4 = 0'75    ⋅ 0'5 ⋅ 0'5 +   ⋅ 0'5 ⋅ 0'5  1  3 22. En un determinado juego se gana cuando al lanzar dos dados se obtiene suma de puntos 10, o más. Un jugador tira en 12 ocasiones los dos dados. Se pide: a) Probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones. Solución. x ≡ Número de veces que al lanzar dos dados doce veces, la suma de las caras superiores es mayor o igual a 10. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(12, p ) La probabilidad de éxito (p) se calcula por la definición axiomática de probabilidad. Casos favorables C.F. ≡ {4 + 6, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6} 6 1 p( A ) = = = = C.P. = VR 62 = 6 2 = 36 Casos posibles   36 6

1  B(N, p ) = B12,  6  En estas distribuciones, la probabilidad de un suceso viene expresada por:    N = 12   12   1  x  N  x N − x  1 P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q : p =  =   ⋅   6 x    x  6 1 5  q = 1− p = 1− =  6 6  

5 ⋅  6

12− x

Se pide: 3

12   1   5  p(12, 3) =   ⋅   ⋅    3  6 6

12 −3

= 0'1974

b) Probabilidad de que pierda las 12 veces que juega Solución. Que pierda todas las veces equivale a no ganar ninguna (x = 0) 0

12   1   5  p(12, 0) =   ⋅   ⋅    0  6 6

12− 0

= 0'1122

23. Un sistema de protección contra cohetes está constituido por n unidades de radar que funcionan independientemente, cada una con una probabilidad de 0’9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. Se pide: a) Si n =5 y un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades de radar detecten el cohete?. Solución. x ≡ Número de unidades de radar que detectan al cohete que entra en la zona. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(5, 0'9) En estas distribuciones, la probabilidad de un suceso viene expresada por:

 N P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p x ⋅ q N − x x

N = 5  :  p = 0'9  q = 1 − p = 1 − 0'9 = 0'1 

 5  x 5− x  :p(5, x ) =   ⋅ 0'9 ⋅ 0'1 x    

Se pide:

 5 p(5, 4 ) =   ⋅ 0'9 4 ⋅ 0'15−1 = 0'3280  4 b) ¿Cuál debe ser n para que la probabilidad de detectar el cohete que entra en la zona sea de 0’999? Solución. Para que un cohete que entre el la zona sea detectado, al menos una de la unidades de radar lo tiene que detectar, luego se pide calcular N para que: p(N, x ≥ 1) = 0'999 que es lo mismo que el caso contrario de no ser detectado p(N, x ≥ 1) = p N, x < 1 = 0'999  N p N, x < 1 = 1 − p(N, 0 ) =   ⋅ 0'9 0 ⋅ 0'1 N −0 = 1 − 0'1 N = 0'999 0 0'1 N = 0'001 tomando logaritmos en ambos miembros, se despeja N Ln 0'001 Ln 0'1 N = Ln 0'001 : N ⋅ Ln 0'1 = Ln 0'001 : N= =3 Ln 0'1

(

(

)

)

Se deberán instalar al menos tres unidades de radar

24. La probabilidad de que un proyectil de en el blanco es 0’80 si se lanzan cinco proyectiles se pide: a) Probabilidad de que los cinco den en el blanco. Solución. x ≡ Número de veces que el proyectil da en el blanco en cinco lanzamientos. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(5, 0'8) En estas distribuciones, la probabilidad de un suceso viene expresada por:

N = 5  N  x N−x  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'8 x  q = 1 − p = 1 − 0'8 = 0'2  Se pide:  5 p(5, 5) =   ⋅ 0'8 5 ⋅ 0'2 5−5 = 0'3277  4

  5  x 5− x  :p(5, x ) =   ⋅ 0'8 ⋅ 0'8 x  

b) Probabilidad de que alguno de en el blanco. Solución. Que alguno de en el blanco es el caso contrario de que ninguno de en el blanco

( )

 5 p(5, x ≥ 1) = p 5, 0 = 1 − p(5, 0 ) = 1 −   ⋅ 0'8 0 ⋅ 0'2 5− 0 = 0'9999  0 25. Una fábrica de relojes fabrica un modelo determinado. Los controles de calidad detectan un la aparición de un defecto con una probabilidad de 0.1, pero que un reloj sea defectuoso es independiente del hecho de que los otros lo sean o no. En el curso de la fabricación retiramos cinco relojes al azar.

a) Determinar la probabilidad de que al menos uno los relojes extraídos sea defectuoso. Solución. x ≡ Número de relojes defectuosos. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(5, 0'1) En estas distribuciones, la probabilidad de un suceso viene expresada por:

N = 5   N  x N−x  5  x 5− x P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'1  :p(5, x ) =   ⋅ 0'1 ⋅ 0'9 x x      q = 1 − p = 1 − 0'1 = 0'9    Que alguno sea defectuoso es el caso contrario de que ninguno lo sea.  5 p(5, x ≥ 1) = p 5, 0 = 1 − p(5, 0 ) = 1 −   ⋅ 0'10 ⋅ 0'9 5 −0 = 0'4095  0

( )

b)

Determinar la probabilidad de que exactamente dos de los relojes sean defectuosos.

Solución.

5 p(5, 2 ) =   ⋅ 0'12 ⋅ 0'9 5− 2 = 0'0729  2 26. Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces. Se pide: a) Espacio muestral Solución. E = {CCC; CCX; CXC; XCC; CXX; XCX; XXC; XXX }

b) Suponiendo que la moneda está cargada y que la probabilidad de cara sea de 0.6 ¿Cual es la probabilidad de los sucesos elementales? Solución. x ≡ Número de caras al lanzar tres veces una moneda. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(3, 0'6)

N = 3  N  x N−x  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'6 x  q = 1 − p = 1 − 0'6 = 0'4  Sucesos elementales:  3 • Tres caras: p(3, 3) =   ⋅ 0'6 3 ⋅ 0'4 3−3 = 0'216  3  3 • Dos caras: p(3, 2 ) =   ⋅ 0'6 2 ⋅ 0'4 3− 2 = 0'432  2 • •

   3 x 3− x  =   ⋅ 0'6 ⋅ 0'4 x    

 3 Una cara: p(3, 1) =   ⋅ 0'61 ⋅ 0'4 3−1 = 0'288 1  3 Ninguna cara: p(3, 0 ) =   ⋅ 0'6 0 ⋅ 0'4 3−0 = 0'064  0

27. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: K 1 2 3 4 5 6 P(X=K) 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 -

Se pide: a) Completar la distribución de probabilidad Solución. La condición necesaria y suficiente para que una distribución pueda ser considerada de probabilidad es que la suma de todos los valores sea uno. 1 1 1 5 1 5 + + + + + p(6 ) = 1 p(6 ) = 9 18 9 18 6 18 b) Calcular la media y la desviación típica Solución. Media: n

µ=

∑ x ·p i

i =1

i

) 1 1 1 5 1 5 25 = 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ = = 4'16 9 18 9 18 6 18 6

Desviación típica: n

σ=

∑ i =1

2

1 1 1 5 1 5  25  x i2 ·p i − µ 2 = 12 ⋅ + 2 2 ⋅ + 3 2 ⋅ + 4 2 ⋅ + 5 2 ⋅ + 6 2 ⋅ −   = 1'60 9 18 9 18 6 18  6 

28. Una cadena metálica está compuesta por 4 eslabones. La probabilidad de ruptura de cada eslabón a un peso de 100kg es de 0’6. Se somete la cadena a un peso de 100kg y se pide: a) Probabilidad de que no se rompa la cadena. Solución. x ≡ Número de eslabones que se rompen en una cadena de cuatro al someterla a un peso de 100 kg. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(4, 0'6)

N = 4  N  x N−x  P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'6 x  q = 1 − p = 1 − 0'6 = 0'4 

   4 x 4− x  =   ⋅ 0'6 ⋅ 0'4 x    

Se pide:

 4 p(4, 0 ) =   ⋅ 0'6 0 ⋅ 0'4 4 −0 = 0'0256  0 b) Si se quiere que la probabilidad de que no se rompa la cadena sea de 0’81, ¿cuál debe ser la probabilidad de ruptura de cada eslabón? Solución.  4 p(4, 0 ) =   ⋅ p 0 ⋅ (1 − p )4 −0 = 0'81 0

1 − p = 4 0'81 = 0'95 ⇒ p = 0'05

29. En una celebración familiar, 15 personas (9 adultos y 6 niños) comieron alimentos contaminados con una bacteria. Es conocido que una vez se entra en contacto con esa bacteria, hay un 25% de posibilidades de que un adulto manifieste cierta enfermedad intestinal y un 40% de que la manifieste un niño. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de tres adultos manifiesten la enfermedad? Solución. x ≡ Número de adultos que manifiestan la enfermedad de un grupo de 9. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(9, 0'25)

N =9   N  x N−x   9 x 9− x P(obtener x éxitos ) = p(N, x ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'25  =   ⋅ 0'25 ⋅ 0'75 x x   q = 1 − p = 1 − 0'25 = 0'75   Se pide:

9 p(9, 3) =   ⋅ 0'25 3 ⋅ 0'75 9−3 = 0'2336  3 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 niños manifiesten la enfermedad? Solución. y ≡ Número de niños que manifiestan la enfermedad de un grupo de 6. Variable discreta de Dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} que sigue una distribución binomial: B(N, p ) = B(6, 0'4)

N =6   N  y N−y   6 x 9− x P(obtener x éxitos ) = p(N, y ) =   ⋅ p ⋅ q :  p = 0'40  =   ⋅ 0'40 ⋅ 0'60 y x   q = 1 − p = 1 − 0'60 = 0'40   Se pide: 6 p(6, 2 ) =   ⋅ 0'4 2 ⋅ 0'6 6 − 2 = 0'3110  2 c) ¿Qué número de personas (entre las 15) cabe esperar manifiesten esa enfermedad?. Solución. El numero medio de personas que cabe esperar manifiesten la enfermedad, es la suma de las medias de las dos variable N = µx + µy Aplicando la expresión de la media µ = N ⋅ p N = µ x + µ y = N x ⋅ p x + N y ⋅ p y = 9 ⋅ 0'25 + 6 ⋅ 0'4 = 4'65 30. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente ley de probabilidad: X 2 3 5 6 8 pi=p(X=xi) 0’2 0’4 0’1 Teniendo en cuenta que la media de la distribución es 4’7 calcular los valores de p(3) y p(6) Solución. Aplicando la condición necesaria de las distribuciones de probabilidad se obtiene una ecuación con dos incógnitas. pi = 1

∑

0'2 + p(3) + 0'4 + p(6 ) + 0'1 = 1

p(3) + p(6 ) = 0'3

Con la definición de media se obtiene la segunda ecuación con la que plantear un sistema que permite calcula los valores pedidos. n

µ=

∑ x i ·pi i =1

4'7 = 2 ⋅ 0'2 + 3 ⋅ p(3) + 5 ⋅ 0'4 + 6 ⋅ p(6) + 8 ⋅ 0'1

3 ⋅ p(3) + 6 ⋅ p(6) = 1'5

 p(3) + p(6 ) = 0'3  p(3) = 0'1 ⇒   3 ⋅ p(3) + 6 ⋅ p(6 ) = 1'5 p(6 ) = 0'2