Unidad 3: Probabilidad Ejercicio 3 – 1 En un estudio para examinar la relación entre clase socioeconómica y tipo más frecuente de uso de tarjetas de crédito, se entrevistaron 1500 tarjetas y se obtuvo la información que aparece en la siguiente tabla: Clasificación socioeconómica Alta (C) Media-Alta (D) Media (E) Media-Baja (F) Baja (G)

Número de veces que utilizan la tarjeta para: Entretenimiento (A) Adquisición de Bienes (B) 36 39 114 186 174 426 72 228 41 184

Si A, B, C, D, E, F y G se consideran eventos, calcule: a) P (B) b) P (E)

c) P (A y F) d) P (B o E)

e) P (A | G) f) P (G | A)

Ejercicio 3 – 2 El administrador de un hospital revisa la encuesta realizada a sus miembros en la Sociedad Medicinal Medici, la cual registra sexo y edad. La siguiente tabla resume los resultados: Menor de 35 (A) Entre 35 y 54 (B) Mayor de 54 (C) Total Masculino (M) 27 87 26 140 Femenino (F) 14 25 3 42 Total 41 112 29 182

Si se selecciona al azar a un miembro de la sociedad, cuál es la probabilidad de que: (a) sea varón o esté entre 35 y 54 años; (b) sea varón, dado que son mayores de 35 años; (c) Sea mujer y mayor de 54 años. Ejercicio 3 – 3 En un bolillero hay 200 bolillas blancas y 100 bolillas negras. Si se extraen una tras otra, sin reposición, hallar la probabilidad qué: a) La primera bolilla que se extrae se una bolilla blanca y la segunda bolilla negra. b) La primera bolilla extraída sea blanca, seguida por una negra y posteriormente blanca. Ejercicio 3 – 4 Los compradores de volúmenes grandes de mercancías utilizan con frecuencias esquemas de muestreo de inspección para juzgar la calidad de mercancías que arriban. Los lotes (abastecimientos) de mercancía son rechazados o aceptados sobre la base de los resultados obtenidos al inspeccionar algunos artículos seleccionados del lote según sea su calidad “buena” o “mala”. Suponga que un inspector de una planta procesadora de alimentos ha aceptado el 98% de los lotes que son de calidad “buena”, y ha rechazado incorrectamente 2% de lotes que eran de calidad “buena”. Además se sabe que el inspector acepta el 7% de todos los lotes que son de calidad “mala”. También se sabe que la probabilidad de que un lote sea de mala calidad es del 5%. a) b) c) d)

Realice el diagrama del árbol. Encuentre la probabilidad de que un lote sea de calidad “buena” y sea aceptado. Encuentre la probabilidad de que sea rechazado dado que es de “mala” calidad. Encuentre la probabilidad de que un lote sea de calidad “mala” dado que fue rechazado por el inspector.

Ejercicio 3 – 5 La aseguradora de Autos ABC clasifica a los conductores como “buenos”, “medianos”, o “malos”. Los automovilistas que solicitan un seguro entran en estos tres grupos en las proporciones: 30%. 50% y 20%, respectivamente. La probabilidad de que un conductor “bueno” tenga un accidente es de 0,01. La probabilidad de que el accidente lo tenga un conductor “mediano” es de 0,03. Y la probabilidad de que uno “malo” sufra el accidente es 0,10. La compañía le vende al Sr. Funes una póliza de seguro y éste tuvo un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que el Sr. Funes sea un conductor “mediano”? Ejercicio 3 – 6 Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo (C) y una moneda de diez centavos (D) mientras que la caja B contiene dos monedas de diez centavos (D). Se elige aleatoriamente una de las cajas, de la que después se selecciona aleatoriamente una moneda. a) Elabore un diagrama de árbol para describir esta situación de eventos secuenciales. b) Si en el primer paso se selecciona la caja A, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo se seleccione una moneda de diez centavos (D)? c) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de diez centavos (D), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la caja A? d) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de un centavo (C), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la caja A? Ejercicio 3 – 7 La oficina del Censo proporcionó las edades de hombres y mujeres divorciados (en miles de personas de 18 años de edad o más): Edad Hombres Mujeres 18 – 19 5 9 20 – 24 80 210 25 – 29 174 303 30 – 34 210 315 35 – 44 385 656 45 – 54 450 656 55 – 64 295 409 65 – 74 174 200 75 ó mayores 56 69

a) b) c) d)

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una mujer divorciada dado que es menor de 35 años? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un hombre divorciado? ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 64 o mujer divorciada? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos personas divorciadas y hallar que los dos son hombres? (sin reposición) e) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una mujer divorciada y que tenga entre 25 y 34 años de edad? Ejercicio 3 – 8 De 12 cuentas contenidas en un expediente, cuatro contiene error de procedimiento en su saldo. a) Si un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas cuentas (sin reemplazo), ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas contenga un error de procedimiento? Elabore un diagrama de árbol para representar este proceso de muestreo secuencial. b) Si el auditor muestrea tres cuentas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas incluya un error de procedimiento?

2

Ejercicio 3 – 9 Los mensajes comerciales de televisión se diseñan para interesar al auditorio que se espera de cada programa patrocinado. Ruiz, investigador publicitario, ha observado que los niños con frecuencia entienden poco de los mensajes comerciales, aún de aquellos específicamente diseñados para ellos. Los estudios de Ruiz arrojan la siguiente tabla de porcentajes de niños agrupados por edades, que no entienden los mensajes comerciales: 5–7 55 45

Edad No entienden (%) Entienden (%)

8 – 10 40 60

11 – 12 15 85

Suponga que una compañía publicitaria muestra un comercial a un niño de 6 y a otro de 9 años en un experimento para medir su entendimiento del mensaje. Cuál es la probabilidad de que: (a) el niño de 6 años entienda el mensaje; (b) ambos niños entiendan el mensaje. Ejercicio 3 – 10 Una carta se extrae al azar de una baraja de 52 cartas. Encontrar la probabilidad de que sea: a) b) c) d)

Un as. Una jota de corazones. Un tres de tréboles o un seis de diamante. Un corazón.

e) Cualquier palo excepto corazones. f) Un diez o una pica. g) Ni un cuatro ni un trébol.

Por simplicidad utilice C, P, D, T para indicar corazón, pica, diamante, trébol, respectivamente. Ejercicio 3 – 11 Un estudio realizado por un estudiante de estadística muestra que 2014 de 5300 automovilistas que se acercan a cierto cruce de carreteras, viniendo del norte, giran a la izquierda y 53 giran a la derecha. a) Estimar la probabilidad de que un automóvil que se acerca a ese cruce viniendo del norte, haga un giro a la izquierda. b) Estimar la probabilidad que gire a la derecha. c) Estimar la probabilidad de que no gire ni a la derecha ni a la izquierda. Ejercicio 3 – 12 Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de arvejas, lentejas y otras legumbres. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de las arvejas y de las otras legumbres, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificación anterior de muchos paquetes indicó: Peso Con peso menor (A) Satisfactorio (B) Con peso mayor (C) Total

Nº de paquetes 100 3600 300 4000

Probabilidad de ocurrencia 0,025 0,900 0,075 1,000

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en especial tenga un peso menor o mayor? Ejercicio 3 – 13 Se clasificaron las cuentas corrientes de una empresa en cuentas al día (D) y cuentas atrasadas en un mes (A1), dos meses (A2), etc. y se obtuvo el siguiente cuadro: Cuentas

Estado Cantidad

D 60

A1 14

A2 8

A3 8

A4 6

A5 3

A6 1

Total 100

Cuál es la probabilidad de qué: (a) una cuenta esté atrasada; (b) una cuenta esté atrasada 1 ó 2 meses; (c) una cuenta esté atrasada 5 ó 6 meses; (d) una cuenta esté atrasada más de 3 meses. 3

Ejercicio 3 – 14 De 300 estudiantes de Economía, 100 están actualmente inscriptos en Macroeconomía y 80 están actualmente inscriptos en Estadística. Estas cifras de inscripción incluyen a 30 estudiantes inscriptos en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante aleatoriamente elegido esté inscripto ya sea en Macroeconomía (M) o en Estadística (E)? Ejercicio 3 – 15 Hay 200 aspirantes a un cargo administrativo en el departamento de personal de la compañía Exportex, la cual es despachante de aduana, que se clasifican según sexo y experiencia laboral previa de la siguiente manera: Experiencia / Sexo CON Experiencia SIN Experiencia Total

Femenino 16 24 40

Masculino 32 128 160

Total 48 152 200

Si denotamos con “E” la elección al azar de un aspirante con experiencia. ¿Cuál es la P(E)? Si denotamos con “M” la elección al azar de una aspirante mujer. ¿Cuál es la P(M)? ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un aspirante que tenga experiencia y que sea mujer? ¿Si la empresa decide limitar la selección de aspirantes a aquellos que sean mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar a alguien con experiencia previa? e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una mujer si es indispensable que tenga experiencia previa? a) b) c) d)

Ejercicio 3 – 16 Suponga que hay 10 rollos de película en una caja y se sabe que tres de ellos están defectuosos. Si se seleccionan dos rollos de dicha caja, (uno después del otro), ¿cuál es la probabilidad de seleccionar un rollo defectuoso seguido por otro rollo también defectuoso? Ejercicio 3 – 17 Si se lanzan al aire dos monedas en forma simultánea, ¿cuál es la probabilidad de que ambas caigan cara? Ejercicio 3 – 18 Un equipo de béisbol juega 70% de sus partidos por la noche (N) y 30% durante el día (D). El equipo gana (G) 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con el periódico del día de hoy, ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche? PN/G  

PN .PG/N  PN  .PG/N   PD .PG/D

Ejercicio 3 – 19 El departamento de crédito de una negociación comercial, informó que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheques en el momento de la adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que 20% de las compras son en efectivo, 90% en cheques y 60% de las compras a créditos a créditos son por más de $50. Tina Smith acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $120. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? Ejercicio 3– 20 Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un cierto chip, llamado LS-24, de tres abastecedoras. Un 30% de los microcircuitos LS-24 se compran a Hall Electronics (H), 20% a Schuller Sales (S), y el restante 50% a Crawford Components (C). El fabricante tiene historiales extensos acerca de los tres proveedores y sabe que 3 % de los chips de H son defectuosos, 5% de los de S también son defectuosos, y 4% de los de C son defectuosos. 4

Cuando los chips LS-24 llegan al fabricante, se colocan directamente en un depósito y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Un obrero selecciona un chip para su instalación en una VCR y halla que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido manufacturado por Schuller Sales? Ejercicio 3 – 21 Mensualmente, una oficina de bolsa estudia dos grupos de industrias y clasifica las compañías como de poco riesgo o de riesgo elevado. En un informe reciente publicó sus investigaciones sobre 13 compañías de la industria metalúrgica y 27 fabricantes de alimentos con los resultados globales resumidos en el cuadro que sigue: Industria / Riesgo Metalúrgica (M) Alimentos (A) Total

Poco riesgo (P) 4 16 20

Riego elevado (E) 9 11 20

Total 13 27 40

Si una persona elige al azar una de esas compañías para invertir en sus acciones y sí P y E, denotan respectivamente, el evento de que la compañía que elija sea de poco riesgo y el evento que sea de riesgo elevado, en tanto que (M) y (A) denotan, respectivamente, el evento de que elija una compañía metalúrgica y el evento de que elija una compañía de alimentos. Calcular cada una de las siguientes probabilidades: a) b)

P(P/M) P(E/A)

c) d)

P(M y E) P(M o A)

e)

P(A/P)

Ejercicio 3 – 22 De 375 viajes que un señor realizó en tren, 125 veces llegaron demorados a destino. a) ¿Cuál es la probabilidad, de que en su próximo viaje en tren llegue demorado? b) ¿Qué probabilidad tiene en su próximo viaje de no llegar demorado? Ejercicio 3 – 23 Una muestra aleatoria de 100 empleados de la compañía de Hardware se seleccionó para determinar sus planes de retiro después de cumplir 65 años. Los seleccionados en la muestra se dividieron en gerencia y producción. Los resultados fueron: Empleados Gerencia Producción

Planes después de los 65 años Se retira No se retira Total 5 15 20 30 50 80

Trace un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas. Ejercicio 3 – 24 Se pregunta a un consultor de administración su opinión sobre la razón por la cual la secretaria de un director ha dejado su trabajo. Sin poder obtener ninguna información directa sobre la secretaria, el consultor toma los siguientes datos de un estudio realizado obteniendo que entre todas las secretarias insatisfechas, el 20% lo están principalmente porque les disgusta su trabajo, el 50% porque se sienten mal pagados y el 30% porque tienen problemas de horario. Además las correspondientes probabilidades de que se retiren son: 0,60; 0,40 y 0,90, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria haya renunciado porque no le gustaba su tarea?

5

Ejercicio 3 – 25 La siguiente tabla muestra los ingresos diarios de 500 familias divididos en 5 categorías: Categorías 1 2 3 4 5

Rango de ingresos ($) menos de 18000 18000 – 22999 23000 – 29999 30000 – 39999 40000 y más

Número de familias 60 100 160 140 40

Cuál es la probabilidad de que una familia elegida al azar tenga ingresos: (a) entre 18000 y 22999; (b) menores de 23000; (c) ser menores de 18000 o cuando menos 40000. Ejercicio 3 – 26 De 100 personas que presentaron solicitud para un puesto de analista de sistemas en una empresa el año pasado, 40 tenían alguna experiencia de trabajo (T), y 30 tenían un certificado profesional (C). Sin embargo, 20 de los solicitantes tenían tanto experiencia de trabajo como certificado y por ello están incluidos en ambos conteos, como muestra el siguiente diagrama:

T 20

TyC 20

C 10

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar tenga experiencia de trabajo o certificado (o ambos)? b) Determine la probabilidad condicional de que un solicitante elegido al azar tenga un certificado, dado que tiene alguna experiencia de trabajo. -----------------------------------------------------------------------------------------------

6