Estad´ıstica I Tema 4: Probabilidad VISTA PREVIA Mostrando 6 páginas de un total de 27

Tema 4. Probabilidad

Contenidos I Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos.

VISTA PREVIA

I Definici´ on de probabilidad. Propiedades. Mostrando 6 páginas de un total de 27

I Probabilidad condicionada y ley de la multiplicaci´ on. Independencia. I Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Conceptos b´ asicos: ejemplos I Experimento aleatorio: resultado del lanzamiento de un dado I Espacio muestral (posibles resultados) finito: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I Sucesos elementales (puntos muestrales): {1}, {2}, . . . , {6} I Sucesos compuestos: p. ej., A =“obtener un resultado par” = {2, 4, 6}, B =“obtener un resultado mayor que 3”= {4, 5, 6}.

I Experimento aleatorio: n´ umero de accesos a la p´ agina web de la UC3M el pr´ oximo lunes I Espacio muestral infinito numerable: Ω = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0} VISTA PREVIA I Sucesos elementales: {0}, {1}, {2}, . . . I Sucesos compuestos: Mostrandop.6 páginas de un total de 27al menos 100 accesos” ej., A =“se reciben = {100, 101, . . .} y B =“se reciben menos de 500 accesos” = {0, 1, . . . , 499}.

I Experimento aleatorio: precio de una cierta acci´ on al cierre de sesi´ on del pr´ oximo lunes I Espacio muestral infinito no numerable: Ω = (0, +∞) o, siendo realistas, Ω = (0, M) para alg´ un M lo bastante grande I Sucesos elementales: {x}, con x ∈ Ω I Sucesos aleatorios: p. ej., A =“el precio de cierre es superior a 5 euros” = (5, M) y B =“precio de cierre entre 3 y 8 euros” = (3, 8).

Sucesos aleatorios: conceptos b´ asicos Sucesos I Un suceso es un subconjunto “razonable” A del espacio muestral Ω (A ⊆ Ω). Si el resultado ω del experimento aleatorio cumple que ω ∈ A, el suceso ocurre. Si no es as´ı, el suceso A no ocurre. Sucesos triviales I Suceso seguro: El espacio muestral completo Ω. Siempre ocurre. I Suceso imposible: El conjunto vac´ıo ∅. Nunca ocurre. PREVIA Suceso complementario o VISTA contrario a un suceso A: suceso que ocurre cuando no lo hace A. Se compone de todos los sucesos elementales de Ω Mostrando 6 páginas de un total de 27 que no est´ an en A. Se denota por Ac o por A.

Operaciones b´ asicas con sucesos aleatorios Supongamos que A y B son sucesos del espacio muestral Ω. I Intersecci´ on de sucesos: La intersecci´ on A ∩ B se compone de todos los elementos en A y en B a la vez (A ∩ B: “ocurren A y B”). I A y B son sucesos incompatibles si no tienen ning´ un elemento en com´ un, i.e., si su intersecci´ on es el suceso imposible, A ∩ B = ∅

I Uni´ on de sucesos: La uni´ on A ∪ B se compone de todos los elementos que est´ an en VISTA A o en PREVIA B (A ∪ B: “ocurren A o B”). I Diferencia de sucesos: La diferencia A \ B se compone de todos los Mostrando 6 páginas de un total de 27 elementos de A que no est´ an en B (A \ B: “ocurre A pero no B”).

Leyes de Morgan Relaciones entre la uni´ on, intersecci´ on y sucesos complementarios: A∪B =A∩B A∩B =A∪B

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Experimento aleatorio “resultado obtenido al lanzar un dado”:

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I Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} I Sucesos compuestos: p. ej., A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} El suceso A ocurre cuando “sale un n´ umero par”. El suceso B ocurre cuando “sale un n´ umero mayor que tres”.