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Guía Matemática PROBABILIDAD EXPERIMENTAL tutora: Jacky Moreno

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1.

Probabilidad experimental

Como ya hemos estudiado, hay eventos en donde su resultado es impredecible y por lo mismo nos es dif´ıcil encontrar una probabilidad matem´ atica exacta que nos determine la ocurrencia de estos sucesos. Si bien con la probabilidad cl´ asica vista anteriormente pudimos obtener la probabilidad de varios sucesos equiprobables sin la necesidad de realizar el experimento, no nos es suficiente para determinar la ocurrencia de un resultado proveniente de un experimento aleatorio en donde los sucesos de una variable aleatoria. Un ejemplo cotidiano es saber “¿cu´anto tardar´a el bus en pasar por mi paradero?” Es as´ı que, para determinados eventos aleatorios acudimos a la experimentaci´on para hallar un n´ umero que nos determine la probabilidad de ocurrencia de ese suceso en particular. La probabilidad experimental o tambi´en conocida como probabilidad a posteriori o frecuencial, se basa en la reiteraci´on de un experimento para determinar la raz´on entre la ocurrencia de un suceso y el n´ umero de veces que realizamos dicho experimento aleatorio. As´ı, para calcular esta probabilidad hay que realizar el experimento y luego analizar los resultado obtenidos. Si un experimento aleatorio tiene un n´ umero finito de resultados conocidos, de los cuales todos tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces la probabilidad de que ocurra un suceso A es la raz´on entre el n´ umero de casos favorables y el n´ umero de todos los casos posibles: P (A) =

N´ umero de veces que ocurre un evento N´ umero de veces que se realiza el experimento

. Ejemplo 1. La siguiente tabla nos entrega informaci´on sobre los accidentes de tr´ansito sucedidos en Chile en el a˜ no 2011 de acuerdo a la hora y d´ıa de la semana:

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Hora 00:00 a 00:59 01:00 a 01:59 02:00 a 02:59 03:00 a 03:59 04:00 a 04:59 05:00 a 05:59 06:00 a 06:59 07:00 a 07:59 08:00 a 08:59 09:00 a 09:59 10:00 a 10:59 11:00 a 11:59 12:00 a 12:59 13:00 a 13:59 14:00 a 14:59 15:00 a 15:59 16:00 a 16:59 17:00 a 17:59 18:00 a 18:59 19:00 a 19:59 20:00 a 20:59 21:00 a 21:59 22:00 a 22:59 23:00 a 23:59 Total

Lunes 143 109 55 50 67 80 86 434 607 451 399 436 469 508 450 451 521 584 667 649 434 329 257 192 8.428

Martes 81 81 52 45 56 50 109 498 748 444 420 430 477 537 482 508 546 564 689 600 443 322 264 167 8.613

Miercoles 137 83 76 57 63 48 102 496 694 433 439 418 452 510 422 484 537 541 686 640 464 350 282 171 8.585

Jueves 132 107 97 73 97 58 85 495 651 405 384 438 463 489 458 458 473 579 690 595 443 356 288 198 8.512

Viernes 155 102 125 103 136 82 136 505 668 492 424 522 524 663 552 523 597 652 793 664 572 438 411 310 10.149

S´abado 254 217 222 250 301 348 278 319 353 350 411 465 592 632 532 535 548 502 603 584 530 525 441 359 10.151

Domingo 290 247 247 245 352 435 272 262 265 226 256 279 319 375 355 402 452 448 501 488 527 451 405 297 8.396

Total 1.192 946 874 823 1.072 1.101 1.068 3.009 3.986 2.801 2.733 2.988 3.296 3.714 63.251 3.361 3.674 3.870 4.629 4.220 3.413 2.771 2.348 1.694 62.834

Fuente: Carabineros de Chile, Accidentes en el tr´ ansito seg´ un hora y d´ıa de la semana. 2011

De acuerdo a la esta informaci´ on: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al escoger una persona al azar, esta haya tenido un accidente antes de las 10:00? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al escoger una persona al azar, esta haya tenido un accidente de tr´ ansito despu´es de las 19:59 si sali´o un d´ıa mi´ercoles? c) Si se selecciona una persona al azar, ¿Qu´e d´ıa es m´as probable que tenga un accidente de tr´ansito? Soluci´ on: Resolvamos cada pregunta por separado. a) Bas´andonos en la informaci´ on que nos entrega la tabla, la cantidad de personas que tuvieron un accidente de tr´ ansito corresponde a 62.834 y la cantidad de personas que tuvieron el accidente antes de las 10:00, es decir entre las 00:00 y las 9:59 corresponde a 1.192 + 946 + 874 + 823 + 1.072+1.101+1.068+3.009+3.986+2.801 = 16.872, por lo tanto la probabilidad experimental de este suceso es:

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16.872 62.834 P (accidente antes de las 10:00) ≈ 0, 269 P (accidente antes de las 10:00) =

P (accidente antes de las 10:00) ≈ 27 % Por lo tanto la probabilidad de tener un accidente antes de las 10:00 es de un 27 % aproximadamente. b) Bas´andonos en la informaci´ on que nos entrega la tabla, la cantidad de personas que tuvieron un accidente de tr´ ansito un d´ıa mi´ercoles fue de 8.585 y la cantidad de personas que tuvieron un accidente despu´es de las 19:59, es decir entre las 20:00 y las 23:59 corresponde a 464 + 350 + 282 + 171 = 1.267, por lo tanto la probabilidad experimental de este suceso es: 1.267 8.585 P (accidente d´ıa mi´ercoles despu´es de las 19:59) ≈ 0, 148 P (accidente d´ıa mi´ercoles despu´es de las 19:59) =

P (accidente d´ıa mi´ercoles despu´es de las 19:59) ≈ 15 % Por lo tanto la probabilidad de tener un accidente un d´ıa mi´ercoles despu´es de las 19:59 es de un 15 % aproximadamente. c) Para calcular el d´ıa m´ as probable de tener un accidente de tr´ansito basta observa la u ´ltima fila de la tabla y ver cu´ al es el d´ıa de la semana con mayor frecuencia absoluta, es decir, observar el n´ umero m´ as grande. En este caso corresponde al d´ıa s´abado con un total de 10.151 accidente de un total de 62.834 accidentes producidos en la semana. 10.151 62.834 P (accidente d´ıa s´abado) ≈ 0, 161 P (accidente d´ıa s´abado) =

P (accidente d´ıa s´abado) ≈ 16 % De acuerdo a lo anterior, el d´ıa m´as probable de que ocurran accidentes de tr´ansito son los d´ıas s´ abado con una probabilidad de un 16 % aproximadamente. A trav´es de estos ejercicios nos podemos dar cuenta que la probabilidad experimental calculada corresponde a la frecuencia relativa de cada suceso. Recordemos que la frecuencia relativa corresponde a la frecuencia absoluta (total de veces que ocurre un suceso) dividido en el total de datos (total de veces que se realiza el experimento).

1.1.

Ley de los grandes n´ umeros

Esta ley sostiene que al repetir un experimento aleatorio un n´ umero determinado de veces, la frecuencia relativa de cada resultado del espacio muestral tiende aproximarse a un n´ umero fijo al cual denominamos la probabilidad del suceso.

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open green road La probabilidad experimental tiende a la probabilidad te´ orica a medida que aumenta el n´ umero de repeticiones del experimento. Para entender c´ omo funciona esta ley analizaremos los siguientes gr´aficos que nos muestran los resultados obtenidos al lanzar un dado 300, 600 y 900 veces seguidas por medio de una simulaci´on digital: Resultados obtenidos al lanzar 300 veces un dado com´ un

Resultados obtenidos al lanzar 600 veces un dado com´ un

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open green road Resultados obtenidos al lanzar 900 veces un dado com´ un

Al observar los gr´ aficos podemos darnos cuenta que a medida que realizamos m´as repeticiones del experimento las probabilidades experimentales de cada resultado se van acercando cada vez m´ as a la
probabilidad te´ orica 16 = 0, 17 = 17 % que est´a representada en cada gr´afico por una l´ınea punteada.

. Ejemplo Calculemos la probabilidad de que al lanzar un dado com´ un obtenegamos un 1 basados en los gr´ aficos mostrados anteriormente. Soluci´ on: Calcularemos la probabilidad experimental de acuerdo a los datos entregados por el simulador de los lanzamientos: Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el primer gr´afico: 59 300 P (obtener un uno) ≈ 0, 197

P (obtener un uno) =

P (obtener un uno) ≈ 20 % 1 ≈ 0, 167 = 17 %, por lo tanto 6 difieren con la probabilidad experimental en un 2 % aproximadamente. Probabilidad te´ orica de obtener un 1 al lanzar un dado es de un

Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el segundo gr´afico: 108 600 P (obtener un uno) = 0, 18 P (obtener un uno) =

P (obtener un uno) = 18 %

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open green road Como dijimos anteriormente la probabilidad te´orica de este suceso es de un 17 %, por lo tanto difieren con la probabilidad experimental en un 1 % aproximadamente. Probabilidad de obtener un 1 de acuerdo a los datos entregados por el tercer gr´afico:

158 900 P (obtener un uno) ≈ 0, 175

P (obtener un uno) =

P (obtener un uno) ≈ 18 % Como dijimos anteriormente la probabilidad te´orica de este suceso es de un 17 %, por lo tanto difieren con la probabilidad experimental en un 1 % aproximadamente.

Desaf´ıo I Mediante un simulador se han obtenido los resultados de 4.000 lanzamientos de un dado. La siguiente tabla muestra los resultados agrupados de 400 en 400 lanzamientos: Cara 1 35 48 36 45 45 45 42 54 42 48

Cara 2 94 115 100 102 95 103 95 107 106 103

Cara 3 120 104 111 121 113 117 133 95 119 107

Cara 4 52 43 47 45 52 50 45 51 49 47

Cara 5 47 54 57 43 47 39 40 42 37 40

Cara 6 52 36 49 44 48 46 45 51 47 55

¿Qu´e sucede con las probabilidades de los resultados del experimento a medida que aumenta el n´ umero de lanzamientos? Justifica tu respuesta a trav´es de un gr´afico. (Te puedes ayudar a trav´es de un programa computacional como Excel) Respuesta

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open green road - Ejercicios

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1. La tabla que se muestra a continuaci´on nos entrega informaci´on sobre los resultados de una votaci´ on realizada a ni˜ nos, ni˜ nas y adolescentes sobre los derechos que son menos respetados en la Regi´ on Metropolitana.

1. Derecho a vivir con mi familia 2. Derecho a que me respeten sin importar mi color de piel, condici´on f´ısica, ni el lugar donde vivo. 3. Derecho a estar en la Escuela y recibir buena educaci´on. 4. Derecho a ver a mi mam´ a o pap´ a, si es que no vivo con ellos. 5. Derecho a ser bien tratado/a f´ısica y psicol´ogicamente. 6. Derecho a que sean satisfechas mis necesidades de alimentaci´on, comida, vestuario y casa donde vivir. 7. Derecho a que se escuche mi opini´on en asuntos que me afectan. 8. Derecho a vivir en un medio ambiente limpio y sin contaminaci´on. 9. Derecho a tener una buena atenci´on de salud. 10. Derecho a la recreaci´ on. Derecho 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hombre 384 3.265 850 649 1.394 609 1.285 2.221 593 1.077

Mujer 369 3.877 752 664 1.374 497 1.208 2.435 41 947

Total 753 7.142 1.602 1.313 2.768 1.106 2.493 4.656 1.134 2.024

Fuente: SENAME, Informe 4 consulta nacional “Mi opini´ on cuenta”, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informaci´ on entregada responde las siguientes preguntas: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 5 como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 3 como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, esta vote el derecho 8 como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana? d ) Estima que es m´ as probable al escoger una persona al azar: que vote el derecho 1 como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana o que vote el derecho 6 como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana. e) Al escoger una persona al azar, ¿Qu´e derecho es el m´as probable que vote como el menos respetado en la Regi´ on Metropolitana?

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open green road 2. La siguiente tabla nos entrega informaci´on sobre los hombres y mujeres que fueron participes de alguna forma en el proceso de admisi´on 2013, ya sea inscribi´endose para la PSU, rindiendo la prueba y/o postulando para ser seleccionado en alguna de las 33 universidades del Consejo de Rectores y Adscritas.

Proceso de admisi´ on 2013 Inscritos Rindieron Pueden postular Postulan Postulan con ptje. anterior

Hombre 129.574 109.893 77.240 52.421 4.028

Mujer 143.092 123.409 80.508 58.000 3.759

Fuente: DEMRE, 2013.

De acuerdo a la informaci´ on entregada responde las siguientes preguntas: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al elegir una persona de la muestra, este sea un hombre que haya rendido la prueba de admisi´on para el a˜ no 2013? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que, al elegir una persona de la muestra, este sea una mujer que postula con el puntaje del a˜ no anterior al proceso de admisi´on 2013? c) ¿Qu´e es m´ as probable al elegir una persona de la muestra, que sea una mujer que postula a las universidades o que sea un hombre que puede postular a las universidades? 3. La siguiente tabla nos entrega informaci´on sobre el nivel de aprobaci´on y rechazo del aborto terap´eutico seg´ un situaci´ on socio-econ´omica. Estos datos fueron recogidos a partir de la pregunta “¿Usted est´ a a favor de la despenalizaci´on del aborto terap´eutico?” realizada a un grupo de chilenos.

Situaci´ on socio-economica Alta Media Alta Media Media Baja Baja NS-NR

Acuerdo 19 91 162 119 31 1

Desacuerdo 12 39 63 39 15 2

NS-NR 7 5 11 6 5 3

Fuente: Instituto de Pol´ıtica Liberal. Encuesta sobre percepci´ on de temas val´ oricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informaci´ on entregada responde las siguientes preguntas: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea de la clase media baja y este a favor del aborto terap´eutico? b) ¿En cu´ al de los niveles socio-econ´omicos es mayor la probabilidad de que se est´e en contra del aborto terap´eutico? ¿Y que se est´e a favor?

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open green road c) Estima cuanto m´ as o menos probable es que la persona elegida al azar sea de clase alta en contra del aborto terap´eutico con respecto a que sea una persona de clase baja que est´e en contra del aborto terap´eutico. 4. El siguiente gr´ afico nos entrega informaci´on sobre el nivel de aprobaci´on y rechazo de la adopci´ on de ni˜ nos por parejas del mismo sexo. Estos datos fueron recogidos a partir de la pregunta “¿Usted est´a de acuerdo que parejas del mismo sexo adopten ni˜ nos?” realizada a un grupo de chilenos. Nivel de aprobaci´ on y rechazo adopci´ on de ni˜ nos por parejas del mismo sexo

Fuente: Instituto de Pol´ıtica Liberal. Encuesta sobre percepci´ on de temas val´ oricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informaci´ on entregada responde las siguientes preguntas: a) ¿En qu´e rango de edad es mayor la probabilidad de que se est´e a favor de la adopci´on de ni˜ nos por parejas del mismo sexo? ¿En qu´e rango de edad es menor la probabilidad? b) ¿Cu´anto m´ as o menos probable es que una persona entre 46-60 a˜ nos este en contra de la adopci´ on de ni˜ nos por parte de parejas del mismo sexo en comparaci´on con una persona entre los 18 a˜ nos y 30 a˜ nos? c) ¿Que deber´ıa ocurrir si el n´ umero de encuestados se duplica, manteniendo las mimas caracter´ısticas del grupo inicialmente encuestado?

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open green road 5. El siguiente gr´ afico nos entrega informaci´on sobre el nivel de aprobaci´on y rechazo a la despenalizaci´on del auto-cultivo de marihuana seg´ un ideolog´ıa pol´ıtica. Estos datos fueron recogidos a partir de la pregunta “¿Usted est´ a de acuerdo con la despenalizaci´on del auto-cultivo de Marihuana?” realizada a un grupo de chilenos. Nivel de aprobaci´ on y rechazo despenalizaci´ on del auto-cultivo de marihuana

Fuente: Instituto de Pol´ıtica Liberal. Encuesta sobre percepci´ on de temas val´ oricos, Diciembre 2012.

De acuerdo a la informaci´ on entregada responde las siguientes preguntas: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea una persona declarado izquierdista y que este en contra de la despenalizaci´on del auto-cultivo de marihuana? ¿Y qu´e est´e a favor? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que, escogiendo una persona al azar, este sea una persona con ideolog´ıa pol´ıtica centralista y que est´e a favor de la despenalizaci´on del auto-cultivo de marihuana? ¿Y qu´e no responda? c) ¿En qu´e ideolog´ıa pol´ıtica es menos probable que se est´e en contra de la despenalizaci´ on al auto-cultivo de marihuana? d ) ¿Cu´al es la diferencia porcentual entre la probabilidad de que una persona de izquierda apruebe la despenalizaci´ on del auto-cultivo de marihuana y una persona de derecha lo apruebe tambi´en? e) ¿Que deber´ıa ocurrir si el n´ umero de encuestados se duplica, manteniendo las mismas caracter´ısticas del grupo inicialmente encuestado?

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Desaf´ıos resueltos 3 Desaf´ıo I: La tabla nos muestra los resultados obtenidos con el simulador al lanzar un dado 4.000 veces seguidas. Para poder saber qu´e pasa con las probabilidades de dichos resultados al ir aumentando los lanzamientos debemos determinar la frecuencia relativa acumulada. La siguiente tabla muestra la frecuencia relativa acumulada de los datos entregados por la tabla del desaf´ıo:

Cara 1 0,088 0,104 0,099 0,103 0,105 0,106 0,106 0,109 0,109 0,110

Cara 2 0,235 0,261 0,258 0,257 0,253 0,254 0,251 0,253 0,255 0,255

Cara 3 0,300 0,280 0,279 0,285 0,285 0,286 0,293 0,286 0,287 0,285

Cara 4 0,130 0,119 0,118 0,117 0,120 0,120 0,119 0,120 0,121 0,120

Cara 5 0,118 0,126 0,132 0,126 0,124 0,120 0,117 0,115 0,113 0,112

Cara 6 0,130 0,110 0,114 0,113 0,115 0,115 0,114 0,116 0,116 0,118

¿Qu´e significan los n´ umeros de la tabla? Al observa la primera fila y la primera columna, el n´ umero 0, 088 corresponde a la probabilidad de obtener un 1 al lanzar un dado 400 veces, si seguimos bajando el n´ umero 0, 104 corresponde a la probabilidad de obtener un 1 al lanzar el dado 800 veces, el n´ umero 0, 099 corresponde a la probabilidad de obtener un 1 al lanzar el dado 1.200 veces y as´ı sucesivamente. Por lo tanto calcular la frecuencia relativa acumulada es de gran utilidad para ver como al aumentar los lanzamientos del dado la probabilidad de cada resultado se van estabilizando alrededor de un valor. Al representar de manera gr´ afica los valores de la tabla mostrada anteriormente tenemos lo siguiente:

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open green road Ac´a podemos notar que todas las l´ıneas de colores, que corresponden a los 6 resultados distintos del experimento, al avanzar en los lanzamientos se van haciendo cada vez m´as rectas, es decir, se van aproximando a un valor en espec´ıfico. Cabe acotar al observar el gr´ afico que el dado lanzado no corresponde a un dado com´ un sino m´ as bien un dado cargado al n´ umero 2 y 3 ya que estos n´ umeros tienen una probabilidad mucho mayor de suceder que los otros 4 resultados restantes.Volver

Bibliograf´ıa ´ n PSU Matema ´ tica, Quinta Edici´ [1 ] Manual de preparacio on, Oscar Tap´ıa Rojas, Miguel Ormaz´ abal D´ıaz-Mu˜ noz, David L´ opez, Jorge Olivares Sep´ ulveda. ´ tico, Introduccio ´ n a la Porbabilidad, No 18, [2 ] Desarrollo del pensamiento matema Julio 2007, Mart´ın Andonegui Zabala. ´ n a la Estad´ıstica, Segunda Edici´ [3 ] Introduccio on, 2007, Sheldom M.Ross.

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