Ecuaciones de transporte Ing. Martín Rivera Toledo

1. 2. 3.

Ecuación de Continuidad en coordenadas rectangulares Ecuación de Continuidad en coordenadas cilíndricas Ecuación de Continuidad en coordenadas esféricas

4. 5. 6.

Ecuación de Cauchy en coordenadas rectangulares componente x Ecuación de Cauchy en coordenadas rectangulares componente y Ecuación de Cauchy en coordenadas rectangulares componente z

Tensor de esfuerzos (x,y,z)

7. 8. 9.

Ecuación de Cauchy en coordenadas cilíndricas componente r Ecuación de Cauchy en coordenadas cilíndricas componente θ Ecuación de Cauchy en coordenadas cilíndricas componente z

Tensor de esfuerzos (r,θ,z)

10. Ecuación de Cauchy en coordenadas esféricas componente r 11. Ecuación de Cauchy en coordenadas esféricas componente θ 12. Ecuación de Cauchy en coordenadas esféricas componente φ 13. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares componente x 14. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares componente y 15. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares componente z 16. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas componente r 17. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas componente θ 18. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas componente z 19. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas esféricas componente r 20. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas esféricas componente θ 21. Ecuación de Navier-Stokes en coordenadas esféricas componente φ

22. Ecuación de Conservación de energía en coordenadas rectangulares 23. Ecuación de Conservación de energía en coordenadas cilíndricas 24. Ecuación de Conservación de energía en coordenadas esféricas

25. Ecuación de Conservación de masa en coordenadas rectangulares 26. Ecuación de Conservación de masa en coordenadas cilíndricas 27. Ecuación de Conservación de masa en coordenadas esféricas

Tensor de esfuerzos (r,θ,φ)

Ecuación de continuidad Sistema coordenadas rectangulares (x,y,z) [Regresar]

∂ρ ∂ ( ρ v x ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ v z ) + =0 + + ∂y ∂z ∂x ∂t Sistema coordenadas cilíndricas (r,θ,z) [Regresar]

∂ρ 1 ∂ ( ρrv r ) 1 ∂ ( ρvθ ) ∂ ( ρv z ) + + + =0 r ∂θ ∂z ∂t r ∂r Sistema coordenadas esféricas (r,θ,φ) [Regresar]

∂ρ 1 ∂ ( ρr 2 vr ) 1 ∂ ( ρvθ senθ ) + 2 + ∂t r rsenθ ∂r ∂θ 1 ∂ ( ρvφ ) + =0 rsenθ ∂φ Ecuación de conservación de momentum Ecuaciones de Cauchy

Sistema coordenadas rectangulares (x,y,z): Componente x: [Regresar]

∂σ yx ∂σ zx   ∂σ  ∂v x ∂v ∂v ∂v   + ρg x + v x x + v y x + v z x  = −  xx + + ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂t  ∂x

ρ 

Componente y: [Regresar]

∂σ yy ∂σ zy  ∂v y ∂v y ∂v y   ∂σ  ∂v y  + ρg y  = −  xy + + + vx + vy + vz ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z   ∂x  ∂t

ρ 

Componente z: [Regresar]

 ∂σ xz ∂σ yz ∂σ zz   ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z   + ρg z  = −  ρ  + + + vx + vy + vz ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z   ∂t  ∂x

Sistema coordenadas cilíndricas (r,θ,z): Componente r: [Regresar] 2  ∂v r ∂v r vθ ∂v r vθ ∂v   1 ∂ (rσ rr ) 1 ∂σ rθ σ θθ ∂σ rz  + vr + − + v z r  = − ρ  + − +  + ρg r t r r ∂ ∂ ∂ ∂ θ r z r r r r z ∂ ∂ ∂ θ    

Componente θ: [Regresar]

(

)

 1 ∂ r 2σ rθ ∂vθ vθ ∂vθ vθ v r ∂vθ  1 ∂σ θθ ∂σ θz  ∂vθ ρ + vr + + + vz + +  = − 2 r ∂θ r r r θ ∂r ∂z  ∂ ∂ ∂z r  ∂t 

  + ρgθ 

Componente z: [Regresar]

v ∂v z ∂σ ∂v ∂v  1 ∂  ∂v z (rσ rz ) + 1 θz + ∂σ zz  + ρg z + vr z + θ + v z z  = − r ∂θ r ∂θ ∂z  ∂r ∂z   r ∂r  ∂t

ρ

Sistema coordenadas esféricas (r,θ,φ): Componente r: [Regresar] 2 2  ∂v vφ ∂v r vθ + vφ  ∂v r vθ ∂v r r  = + vr + + − ρ  ∂t  ∂ ∂ ∂ r rsen r r θ θ φ  

 1 ∂ (r 2σ rr ) 1 1 ∂σ rφ σ θθ + σ φφ ∂ (σ rθ senθ ) + −  2 + − ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ r r

  + ρg r 

Componente θ: [Regresar] 2  ∂vθ vφ ∂vθ v r vθ vφ cot θ ∂vθ vθ ∂vθ  ρ + vr + + + −  ∂t ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ r r 

 =  

 1 ∂ ( r 2 σ rθ ) ∂ 1 1 ∂σ θφ σ rθ cot θ −  2 + + − (σ θθ senθ ) + σ φφ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ r rsen rsen r r r 

Componente φ: [Regresar]

vφ ∂vφ v r vφ vθ vφ cot θ  ∂vφ vθ ∂vφ  ∂vφ  = + − + + + vr ∂ θ θ φ r r rsen r r ∂ t ∂ ∂  

ρ 

 1 ∂ (r 2σ rφ ) 1 ∂σ θφ  1 ∂σ φφ σ rφ 2 cot θ + + + + σ θφ  + ρg φ - 2 r  ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ r r  

  + ρg θ  

Ecuaciones de Navier – Stokes Sistema coordenadas rectangulares (x,y,z): Componente x: [Regresar]

∂v x ∂v x ∂v x  ∂p  ∂v x ρ + vx + vy + vz =− + ∂x ∂x ∂y ∂z   ∂t  ∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x  µ  2 + 2 + 2  + ρg x ∂y ∂z   ∂x Componente y: [Regresar]

∂v y  ∂v y ∂v y  ∂v y ∂p   + vx + vy + vz ρ =− +  ∂x ∂y ∂z  ∂y  ∂t  ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y  µ  2 + 2 + 2  + ρg y  ∂x  y z ∂ ∂   Componente z: [Regresar]

∂v  ∂v ∂v ∂p  ∂v z + v x z + v y z + vz z  = − + ∂z  ∂z ∂y ∂x  ∂t

ρ

 ∂ 2v z ∂ 2v z ∂ 2v z  µ  2 + 2 + 2  + ρg z  ∂x  ∂ ∂ y z  

Sistema coordenadas cilíndricas (r,θ,z): Componente r: [Regresar]

2  ∂v r v v v v ∂ ∂ ∂v r  ∂p θ θ r r  + vr + − + vz =− + ρ  ∂t  r r r z ∂ ∂ ∂ ∂r θ    ∂  1 ∂ (rv r )  1 ∂ 2v r 2 ∂ 2vθ ∂ 2v r   + ρg r − + µ   + 2 2 2 2 2  ∂ ∂ r r r   r r ∂ ∂ θ θ z ∂   Componente θ: [Regresar]

v ∂v v v ∂v ∂vθ ∂v + vr θ + θ θ + θ r + v z θ ∂z r ∂θ r ∂r  ∂t

ρ 

1 ∂p  + = −  r ∂θ 

 ∂  1 ∂ (rvθ )  1 ∂ 2vθ 2 ∂ 2v r ∂ 2vθ + 2 + 2 µ   + 2 2 2 ∂z r ∂θ  ∂r  r ∂r  r ∂ θ Componente z: [Regresar]

∂v z vθ ∂v z ∂v z  ∂p  ∂v z ρ + vr + + vz =− + r ∂θ ∂r ∂z  ∂z  ∂t  1 ∂  ∂v z  1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z µ  + 2 r + 2 2 ∂z  r ∂r  ∂r  r ∂θ

  + ρg z 

  + ρgθ  

Sistema coordenadas esféricas (r,θ,φ): Componente r: [Regresar]

2 2  ∂v vφ ∂v r vθ + vφ  ∂v r vθ ∂v r r   = − ∂p + − + + + vr ρ  ∂t  ∂r ∂r r r ∂θ rsenθ ∂φ  

 1 ∂ (r 2 v r ) ∂v r ∂ 2 vr ∂ 1 1 2 2 ∂v 2 2 ∂vφ + + − 2 v r − 2 θ − 2 vθ cot θ − 2 sen θ ( ) 2 2 2 2 2 ∂r ∂θ r senθ ∂θ r sen θ ∂φ r r ∂θ r r senθ ∂φ r

µ 

  + ρg r 

Componente θ: [Regresar] 2  ∂v vφ ∂vθ v r vθ vφ cot θ  ∂vθ vθ ∂vθ θ   = − ∂p + + vr + + + − ρ  ∂t  ∂r ∂r r r r ∂θ rsenθ ∂φ  

 1 ∂ (r 2 vθ ) ∂vθ ∂ 2 vθ vθ ∂ 1 1 2 ∂v r 2 cosθ ∂vφ    + ρgθ + 2 + − − µ 2 ( senθ )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r θ θ θ φ ∂ r r sen r sen r r sen r sen θ θ φ θ θ  

Componente φ: [Regresar] vφ ∂vφ v r vφ vθ vφ cot θ  ∂vφ vθ ∂vφ  ∂vφ 1 ∂p  = − + + vr + + + − r ∂θ rsenθ ∂φ r r rsenθ ∂φ ∂r   ∂t

ρ 

 1 ∂ (r 2 vφ ) vφ ∂vφ ∂ 2 vφ ∂v r 1 1 2 2 cosθ ∂vθ  ∂ sen θ + ρg φ ( ) + + − 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2  r r θ θ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r sen r sen r sen r sen r sen θ θ φ θ θ θ ∂  

µ

Componentes del tensor de esfuerzos Coordenadas rectangulares (x,y,z): [Regresar]

τ xx

 ∂ v x 2  ∂v x ∂v y ∂v z     = − µ  2 −  + + ∂y ∂z    ∂x 3  ∂ x

τ yy

 ∂v y 2  ∂v x ∂v y ∂v z     = − µ  2 −  + + ∂y ∂z    ∂y 3  ∂x

τ zz

 ∂ v z 2  ∂v x ∂v y ∂ v z     = − µ  2 −  + + ∂y ∂z    ∂z 3  ∂x

τ xy = τ xy

 ∂v x ∂v y   = − µ  + ∂x   ∂y

τ yz = τ zy

 ∂v y ∂ v z   = − µ  + ∂y   ∂z

τ zx = τ xz

 ∂ v z ∂v x  = −µ +  ∂ x ∂ z  

Coordenadas cilíndricas (r,θ,z) [Regresar]

τ rr

 ∂v r 2  1 ∂ ( ρrv r ) 1 ∂ ( ρvθ ) ∂ ( ρv z )   = −µ  2 −  + +  r ∂θ ∂z    ∂r 3  r ∂r

  1 ∂vθ v r  2  1 ∂ ( ρrv r ) 1 ∂ ( ρvθ ) ∂ ( ρv z )   τ θθ = − µ  2 + −  + +  r  3  r ∂r r ∂θ ∂z     r ∂θ

τ zz

 ∂v z 2  1 ∂ ( ρrv r ) 1 ∂ ( ρvθ ) ∂ ( ρv z )   −  + + = −µ  2  3 θ ∂ ∂ ∂ z r r r z ∂     ∂  vθ  r ∂  r 

τ rθ = τ θr = − µ  r

 1 ∂v r   + ∂ r θ  

 ∂vθ 1 ∂v z  + τ θz = τ zθ = − µ    ∂z r ∂ θ 

τ zr = τ rz

 ∂ v z ∂v r  + = −µ   ∂z   ∂r

Coordenadas esféricas (r,θ,φ): [Regresar]

τ rr

 ∂v r 2  1 ∂ ( r 2 v r ) 1 ∂ (vθ senθ ) 1 ∂ (vφ )   = − µ 2 −  2 + + ∂r ∂θ rsenθ rsenθ ∂φ   ∂r 3  r

τ θθ

  1 ∂vθ v r  2  1 ∂ (r 2 v r ) 1 ∂ (vθ senθ ) 1 ∂ (vφ )   + + +  −  2 = − µ 2 ∂θ ∂r r  3r rsenθ rsenθ ∂φ    r ∂θ

τ φφ

  1 ∂vφ v r vθ cot θ  2  1 ∂ (r 2 v r ) 1 ∂ (vθ senθ ) 1 ∂ (vφ )   −  2  = − µ 2 + + + + r r  3r ∂θ rsenθ rsenθ ∂φ  ∂r   rsenθ ∂φ

 ∂  vθ  1 ∂vr   +   ∂r  r  r ∂θ 

τ r θ = τ θr = − µ  r

 senθ ∂  r ∂θ

τ θφ = τ φθ = − µ 



 vφ   senθ

 1 ∂vθ   +   rsenθ ∂φ 

∂  vφ 1 ∂vr + r  ∂r  r  rsenθ ∂φ

τ φr = τ rφ = − µ 

  

Ecuación de conservación de energía

Coordenadas rectangulares (x,y,z): [Regresar] En función del esfuerzo

 ∂T  ∂q ∂q ∂q  ∂T ∂T ∂T   ∂p   ∂v x ∂v y ∂v z   = −  + + vx + vy + vz − +  −T + +  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂T  ρ  ∂x  ∂t  ∂x ∂y ∂z 

ρCp

∂v y  ∂v y  ∂v  ∂v x ∂v  ∂v  ∂v    ∂v  ∂v  + τ xz  x + z  + τ yz  y + z  τ xx + τ xx + τ xx z  − τ xy  x + ∂x  ∂y  ∂x  ∂x ∂y ∂z    ∂y  ∂z  ∂z 

para un fluido newtoniano con k, ρ, Cv ≅ Cp  ∂v  2  ∂v y  2  ∂v  2   ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T   ∂T ∂T ∂T ∂T   +  z   +  = k  2 + 2 + 2  + 2µ  x  +  ρCp + vx + vy + vz ∂ ∂ ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z x y ∂ ∂ ∂ x y z          ∂z   2 2  ∂v ∂v y   ∂v x ∂v z  2  ∂v y ∂v z   x  +   + + + µ   + ∂x   ∂z ∂y   ∂x   ∂z  ∂y 

Coordenadas cilíndricas (r,θ,z) [Regresar] En función del esfuerzo

∂T vθ ∂T ∂T   ∂T  1 ∂ (rq r ) 1 ∂qθ ∂q z   ∂p   1 ∂ (rv r ) 1 ∂vθ ∂v z  −T + + − + vr + + vz + +  = −    r ∂θ r ∂θ r ∂θ ∂r ∂z  ∂z  ∂z   ∂T  ρ  r ∂r  ∂t  r ∂r

ρCp

 ∂v r ∂v z    ∂  vθ  1 ∂v r  ∂v  1  ∂vθ   1 ∂v z ∂vθ  ∂v v + + τ rz  z + r  + τ θz   τ τ τ + − τ rθ r   + + +   θθ rr r zz    r  ∂θ ∂r ∂z    ∂r  r  r ∂θ  ∂z  ∂z  ∂r   r ∂θ 

  

para un fluido newtoniano con k, ρ, Cv ≅ Cp  1 ∂  ∂T  1 ∂ 2T ∂ 2T  ∂T vθ ∂T ∂T   ∂T + 2 + + vr + + vz  = k r + 2 2 ∂r ∂z  r ∂θ ∂z   ∂t  r ∂r  ∂r  r ∂θ

ρCp

2 2 2 2  ∂v  2  1  ∂v  ∂v ∂ v 1 ∂v z   ∂v z ∂v r   1 ∂v r   ∂v z    θ θ r + vr  +  + + +r  θ 2µ   +  +     + µ   + ∂z   r ∂θ ∂r  r   ∂z     ∂r   r  ∂θ  ∂z r ∂θ   ∂r

  

2

  

Coordenadas esféricas (r,θ,φ): [Regresar] En función del esfuerzo

vφ ∂T   1 ∂ (r 2 q r )  ∂T 1 1 ∂qφ  ∂ ∂T vθ ∂T  = −  2 (qθ senθ )+ +  + vr + + − θ θ φ θ θ θ φ t r r ∂ ∂ ∂ rsen r rsen rsen ∂ ∂ ∂ ∂ r     2 1 1 ∂vφ  ∂  ∂p   1 ∂ (r v r ) (vθ senθ )+ T  +   2 − rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ  ∂r  ∂T  ρ  r

ρC p 

 ∂v  1 ∂vφ v r vθ cot θ   1 ∂vθ v r  − τ  r + τ θθ  +  + τ φφ  + + r  r r  ∂r   r ∂θ  rsenθ ∂φ   ∂v  1 ∂vφ  ∂vφ 1 ∂v r vθ  1 ∂v r vφ  1 ∂vθ cot θ  τ rθ  θ + vφ  − + −  + τ θφ  + −  + τ rφ  θ φ θ θ φ r  r rsen r r rsen r ∂ ∂ ∂ ∂   ∂r r ∂θ    

para un fluido newtoniano con k, ρ, Cv ≅ Cp vφ ∂T   ∂T  1 ∂  2 ∂T  1 1 ∂ 2T  ∂  ∂T  ∂T vθ ∂T  = k  2  2 + vr + +  senθ + r + 2 + r ∂θ rsenθ ∂φ  ∂θ  r sen 2θ ∂φ 2  ∂r  r ∂r  ∂r  r senθ ∂θ   ∂t 2 2  ∂v  2  1 ∂v v r   1 ∂vφ v r vθ cot θ   θ r   + 2 µ  +  +  + +  + θ θ φ r r ∂ ∂ r rsen r r ∂         2 2  ∂  v  1 ∂v  2  1 ∂v  senθ ∂  vφ  1 ∂vθ   ∂  vφ  θ r r µ r   +  +  rsenθ ∂φ + r ∂r  r  +  r ∂θ  senθ  + rsenθ ∂φ   r r r θ ∂ ∂             

ρC p 

Ecuación de conservación de masa para la especie A

Coordenadas rectangulares (x,y,z): [Regresar]

∂C A ∂N Ax ∂N Ay ∂N Az + + + = rA ∂t ∂x ∂y ∂z para ρ y AB constantes

 ∂ 2C A ∂ 2C A ∂ 2C A  ∂C A ∂C A ∂C A ∂C A  + rA + vx + vy + vz = AB  + + 2 2 2  ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ x y z  

Coordenadas cilíndricas (r,θ,z) [Regresar]

∂C A 1 ∂ (rN A r ) 1 ∂ ( N Aθ ) ∂ ( N A ) + + + = rA ∂t r ∂r r ∂θ ∂z para ρ y AB constantes

 1 ∂  ∂C A  1 ∂ 2 C A ∂ 2 C A  ∂C A ∂C A vθ ∂C A ∂C A + = AB  + vz + + vr r + 2  + rA 2 r ∂θ ∂z ∂r ∂t ∂z 2   r ∂r  ∂r  r ∂θ

Coordenadas esféricas (r,θ,φ): [Regresar]

∂C A 1 ∂ (r 2 N A r ) 1 ∂ ( N Aθ senθ ) 1 ∂ ( N Aφ ) = rA + 2 +  + ∂t r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ para ρ y AB constantes vφ ∂C A ∂C A ∂C A vθ ∂C A + vr + + = ∂t ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ  1 ∂  2 ∂C A  ∂C A  ∂ 2C A  ∂  1 1  AB  2 r + 2  senθ + 2  + rA ∂r  r senθ ∂θ  ∂θ  r sen 2θ ∂φ 2   r ∂r 

Operaciones entre vectores y tensores Sea V la velocidad vectorial con las componentes vx, vy & vz como sigue V = (v x , v y , v z )

T

T

∂ ∂ ∂ y el operador nabla dado por ∇ =  , ,  entonces se pueden realizar las operaciones  ∂x ∂y ∂z 

siguientes

 ∂v x   ∂x  ∂v y ∇V =   ∂x  ∂v z  ∂x 

∂v x ∂y ∂v y ∂y ∂v z ∂y

∂v x ∂z ∂v y

     ∂z  ∂v z  ∂z 

τ xx τ xy τ xz    si τ = τ yx τ yy τ yz  τ   zx τ zy τ zz 

&

∇ •V =

 ∂τ xx   ∂x  ∂τ xy entonces se tendrá que ∇ • τ =   ∂x  ∂τ xz  ∂x 

¿Cuál será la expresión resultante de τ : ∇V ?

∂v x ∂v y ∂v z + + ∂z ∂x ∂y

∂τy x ∂y ∂τ yy ∂y ∂τ yz ∂y

∂τ zx   ∂z  ∂τ zy   ∂z  ∂τ zz  ∂z 