Matemáticas | Unidad 16

Ecuaciones de primer grado Objetivos •  Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. •  Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

Introducción Una ecuación es una igualdad de diferentes expresiones algebraicas. Dado que es una igualdad, lo que está de un lado del signo de igualdad debe tener el mismo valor que lo que está del otro lado. El objetivo es encontrar los valores que, al sustituirlos en las literales, cumplen dicha igualdad. Esta unidad trata de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, que son las ecuaciones más básicas en las matemáticas, pues sólo obtendremos una solución. Primero, veremos ecuaciones sencillas de forma x + a = b o ax = b; luego, las de forma ax + b = cx + d y con más términos algebraicos, para aumentar la complicación con el uso de signos de agrupación y fracciones. Finalmente, encontraremos diversas situaciones en las que requerimos encontrar una cantidad desconocida a través de una ecuación.

Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

1

Desarrollo Solución gráfica de ecuaciones de primer grado La solución de una ecuación de primer grado puede ser hallada de varias maneras, en algunos casos depende de la forma de la ecuación. Empezaremos tratando el método gráfico, que se apoya en el plano cartesiano. Este método puede ser inexacto, pues depende de la precisión con la que se hagan los trazos en la gráfica.

Palabras clave • tabla • intersecciones

El primer paso de este método es construir una tabla en la que asignamos diferentes valores la incógnita y escribimos los resultados que esa asignación arroja para la expresión de la ecuación que contiene a la incógnita. Podemos escoger cualquier número de valores para x, pero es recomendable elegir al menos tres valores e incluir entre ellos un número positivo, un número negativo y el cero. Para la ecuación 2x + 1 = 3 x

2x + 1

2 0 {2

5 1 -3

cuando x vale 2, la expresión que contiene a la incógnita vale 5, pues 2(2)+1 =  5 cuando x vale 0, la expresión que contiene a la incógnita vale 1, pues 2(0)+1 =   1 cuando x vale {2, la expresión que contiene a la incógnita vale {3, pues 2({2)+1 = {3

Enseguida, hay que tomar los valores asignados como abscisas (eje X) y los resultados como ordenadas (eje Y) para indicar puntos en un plano cartesiano. Después, con precisión, se debe trazar la recta que une los puntos. (2, 5)

(0, 1)

({2, {3) Finalmente, se tiene que buscar el punto en que la recta cruza con el valor de las ordenadas que la ecuación original iguala a la expresión que contiene la incógnita. La abscisa correspondiente a ese punto es la solución de la ecuación. Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

2

(1, 3)

El cruce de la recta con la ordenada 3, se da en la abscisa 1, por lo tanto, la incógnita tiene ese valor, x = 1.

Soluciones algebraicas de ecuaciones lineales El método algebraico implica el despeje de la literal, es decir, dejarla sola de un lado de la igualdad. La forma de hacerlo es modificar y reducir las expresiones que la acompañen, pero manteniendo la igualdad que hace verdadera la ecuación.

Palabras clave • igualdad • despeje • operaciones contrarias • comprobación

Despejar con sumas y restas (x + a = b) Si buscamos despejar la literal de la ecuación, la idea es eliminar de su lado los números que no permiten que aquella se quede sola. Por ello, nos apoyamos en su operación contraria, aplicada a ambos lados de la igualdad. Por ejemplo: La literal está acompañada de su lado de la igualdad por el número 15, que se está sumando. Para eliminar al 15 del lado izquierdo, restamos la misma x + 15 { 15 = 20 { 15 cantidad. Pero lo hacemos de los dos lados para mantener la igualdad. x + 15 = 20

x + 15 { 15 = 20 { 15 15 menos 15 da cero, se eliminan. x = 20 { 15

Tenemos la incógnita de un lado y los números del otro, hemos despejado la incógnita.

x=5

Sólo queda resolver la operación.

Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

3

Despejar con coeficiente (ax = b) Ahora está el caso de que la incógnita se multiplica por un coeficiente. Lo que se hace es multiplicar la ecuación completa por el inverso multiplicativo, o dividir por dicho coeficiente. Por ejemplo: 2x = 15 2x = 15 2 2

La literal está acompañada de su lado de la igualdad por el número 2, que está multiplicando. Para eliminar al 2 del lado izquierdo, dividimos la expresión entre la misma cantidad. Pero lo hacemos de los dos lados para mantener la igualdad.

2x = 15 2 2

2 entre 2 da 1, el coeficiente 1 no se escribe.

x = 15 2

Tenemos la incógnita de un lado y los números del otro, hemos despejado la incógnita.

x = 7.5

Sólo queda resolver la operación.

Y si el coeficiente representa una división, el proceso es similar, multiplicando por el recíproco. Despeje de una ecuación lineal completa Cuando tenemos una ecuación en la que la literal aparece de ambos lados de la igualdad, tenemos que manipular las expresiones hasta solamente tener literales de un lado y números del otro. Como con los números, si tenemos una literal de un lado de la igualdad tendremos que eliminarla realizando la operación opuesta: suma-resta, multiplicación-división. Sin embargo, debemos incluir la misma operación del otro lado de la igualdad para mantener ésta. Por ejemplo: 2x = 12 { x 2x + x = 12 { x + x

La literal x aparece de ambos lados de la igualdad, hay que dejarla sólo de un lado. Para eliminar la x del lado derecho, que está restando, hay que sumarla. Pero lo hacemos de los dos lados para mantener la igualdad.

2x + x = 12 { x + x

Del lado derecho, -x más x da 0, se eliminan.

3x = 12

Realizamos la suma de monomios.

3x = 12 3 3

No hemos terminado de despejar. A la literal la acompaña el 3 que está multiplicando, se elimina dividiendo entre 3 de ambos lados.

Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

4

3x = 12 3 3

3 entre 3 se eliminan, pues el resultado es el coeficiente 1, que no se escribe.

x = 12 = 4 3

Sólo queda resolver la operación.

El proceso se reduce con la siguiente regla: una operación que se aplica de un lado de la igualdad, al cambiarla al otro lado, pasa con la operación contraria (si está sumando, pasa restando y así con las demás operaciones). Usando la misma ecuación, 2x = 12 { x 2x + x = 12

(el −x pasa sumando al otro lado)

3 x = 12

(se reducen términos semejantes)

x = 12 3

(el 3 que multiplica pasa dividiendo) x=4

Ecuaciones lineales con paréntesis Un grado de mayor complejidad en las ecuaciones lineales son las que incluyen paréntesis. Para resolverlas, tenemos que simplificar las expresiones de modo que se conviertan en ecuaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones como las que ya hemos realizado. La simplificación la llevaremos a cabo haciendo las multiplicaciones y divisiones de polinomios que vimos en unidades anteriores. Por ejemplo:

3x + 16 + x { 16 = 25 { 16

La literal x aparece dentro de un paréntesis del lado izquierdo. Antes de despejar debemos simplificar la expresión. Simplificamos realizando la multiplicación de un monomio por un binomio. Se elimina la incógnita del lado derecho sumándola, pues está restando. Se suma de ambos lados para mantener la igualdad. Se elimina el 16 de la izquierda restándolo de ambos lados, pues estaba sumando.

3x = 25 { 16

Se simplifica 2x + x = 3x y 25 { 16 = 9.

3x = 9 3 3

Se elimina el coeficiente 3 dividiendo de ambos lados de la igualdad.

2 (x + 8) = 25 { x 2 x + 16 = 25 { x 2x + 16 + x = 25 { x + x

Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

5

x= 9 =3 3

Sólo queda resolver la operación.

Ecuaciones lineales fraccionarias Ahora, una complejidad aún mayor son las ecuaciones fraccionarias, es decir, con coeficientes fraccionarios. Para resolverlas, podemos hacer dos cosas: efectuar las operaciones con fracciones o multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Por ejemplo: 3x 5

3

x

1

 4  10  2 se puede multiplicar por 20, que es el mcm de los denominadores. Así, la ecuación a resolver se convierte en: 12x { 15 = 2x +10, la cual puede resolverse con los métodos ya descritos.

Consolidación Las ecuaciones de primer grado son igualdades con una sola literal elevada a la primera potencia. Se pueden resolver gráfica o algebraicamente. La solución gráfica es sencilla y rápida, pero requiere precisión al trazar la línea que corresponde a la ecuación. La solución algebraica generalmente requiere varios pasos, pero siempre da una respuesta exacta. La solución algebraica implica despejar la incógnita realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad, de modo que al final tengamos la literal de un lado y los números del otro lado. Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita

Método gráfico

Sumas y restas x+a=b

Plano cartesiano

Ecuaciones con paréntesis Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

Coeficientes ax = b

Métodos algebráicos

Despeje

Ecuación completa ax + b = cx + d Ecuaciones fraccionarias

video.quipper.com/mx

6

Cierre La solución de la ecuación 7(x + 3) { 2(2x + 5) = x + 9 es: a) {1 b) 1 c) {2 d) 2

Unidad 16 . Ecuaciones de primer grado

video.quipper.com/mx

7