2- Realice las operaciones indicadas y encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática entera: 2-1) x (x – 7) = – 12
2-2) 2 (3 x – 5) – x (2 x – 3) = 0
2-3) x 2 + (x + 5) 2 = 5 + 16 (3 – x)
2-4) (x + 3) (x –3) = 5 (x + 2) + 31
2-5) x 2 + (7 – x) 2 = 25
2-6) 18 = 6 x + x (x – 13)
Resolución 2-3) x 2 + (x + 5) 2 = 5 + 16 (3 – x) Desarrollando el cuadrado del binomio y aplicando la propiedad distributiva del producto resulta: x 2 + (x 2 + 2.x.5 + 5 2 ) = 5 + 16.3 – 16.x
Agrupando los términos
( x 2 + x 2) + (10 x + 16 x) – 5 – 48 + 25 = 0 2 x 2 + 26 x – 28 = 0 Dividiendo en 2 cada término de la ecuación x 2 + 13 x – 14 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática con la fórmula resolvente: x1 = –13 + 15 2
x2 = –13 – 15 2
∴ Las soluciones son: x1 = 1 ∧ x2 = –14
6- Determine el o los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones reales distintas: 6-1) 3 k x 2 + 2 x + 9 = 0
6-2) – 3 x 2 + 5 x + k = 0
6-3) 4 x 2 – 3 x + 2 k = 0
Resolución 6-2) – 3 x 2 + 5 x + k = 0 Para que la ecuación cuadrática tenga dos soluciones reales distintas, el DISCRIMINANTE DEBE SER MAYOR QUE CERO (∆ > 0). Calculamos
∆ = 5 2 – 4.(– 3).k > 0 25 + 12 k > 0 12 k > – 25 ∴ k > – 25/12
7- Resuelva la ecuación cuadrática que está escrita como producto de dos o más factores: 7-1) (x – 3) (x – 7) = 0
7-2) x (x + 9) = 0
7-3) – 8 (2 x – 2) (x + 1) = 0
7-4) (7 x + 1) x = 0
7-5) 5 (x + 1/10) (x – 1) = 0
7-6) 3/4 (3 x + 6) (x + 4) = 0
Respuesta 7-1) Soluciones x1 = 3 ∧ x2 = 7
7-3) Soluciones x1 = 1 ∧ x2 = – 1
7-5) Soluciones x1 = – 1/10 ∧ x2 = 1 Sugerencia: para encontrar las soluciones directamente aplicar a . b = 0 ↔ a = 0 o b= 0
9- Factoree y simplifique para encontrar las soluciones: 9-1)
x2 − 9 x −3
9-2)
=0
9-1)
x2 − 9
Resolución
x 2 −1
x −3
x +1
9-3)
=0
x2 − 3x + 2 x−2
=0
=0
Factorizando el numerador de la fracción como diferencia de cuadrados
(x − 3).(x + 3) x −3
=0
Y simplificando, con la condición que x ≠ 3, resulta x + 3 = 0 ∴ x = – 3
2x − 2
11- La solución de la ecuación
=
x −3
a) x 1 = – 7 x2=2
x+2 x−4
b) x 1 = – 2 x2=7
es:
c) x 1 = 7 x2=2
d) x 1 = – 7 x2=–2
Solución c) x 1 = 7 ∧ x 2 = 2
13- Lea atentamente los problemas, traduzca al lenguaje algebraico y luego encuentre la solución: 13-3) Un número entero es tal que la suma del triple del mismo con el doble de su recíproco es igual a 5. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea x: número entero → 3x + 2.
1 =5 x
3x2 + 2 = 5x ; 3x2 - 5x + 2 = 0 →
x1 = 1 y x2 = 2/3 no es número entero
Respuesta: El número que cumple con la condición planteada es 1. 13-14) La superficie de un triángulo rectángulo es 30m2. Si la altura excede a la base en 7m, sus dimensiones son: a) b = 3 m h = 10 m
