ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2- Realice las operaciones indicadas y encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática entera: 2-1) x (x – 7) = – 12

2-2) 2 (3 x – 5) – x (2 x – 3) = 0

2-3) x 2 + (x + 5) 2 = 5 + 16 (3 – x)

2-4) (x + 3) (x –3) = 5 (x + 2) + 31

2-5) x 2 + (7 – x) 2 = 25

2-6) 18 = 6 x + x (x – 13)

Resolución 2-3) x 2 + (x + 5) 2 = 5 + 16 (3 – x) Desarrollando el cuadrado del binomio y aplicando la propiedad distributiva del producto resulta: x 2 + (x 2 + 2.x.5 + 5 2 ) = 5 + 16.3 – 16.x

Agrupando los términos

( x 2 + x 2) + (10 x + 16 x) – 5 – 48 + 25 = 0 2 x 2 + 26 x – 28 = 0 Dividiendo en 2 cada término de la ecuación x 2 + 13 x – 14 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática con la fórmula resolvente: x1 = –13 + 15 2

x2 = –13 – 15 2

∴ Las soluciones son: x1 = 1 ∧ x2 = –14

6- Determine el o los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones reales distintas: 6-1) 3 k x 2 + 2 x + 9 = 0

6-2) – 3 x 2 + 5 x + k = 0

6-3) 4 x 2 – 3 x + 2 k = 0

Resolución 6-2) – 3 x 2 + 5 x + k = 0 Para que la ecuación cuadrática tenga dos soluciones reales distintas, el DISCRIMINANTE DEBE SER MAYOR QUE CERO (∆ > 0). Calculamos

∆ = 5 2 – 4.(– 3).k > 0 25 + 12 k > 0 12 k > – 25 ∴ k > – 25/12

7- Resuelva la ecuación cuadrática que está escrita como producto de dos o más factores: 7-1) (x – 3) (x – 7) = 0

7-2) x (x + 9) = 0

7-3) – 8 (2 x – 2) (x + 1) = 0

7-4) (7 x + 1) x = 0

7-5) 5 (x + 1/10) (x – 1) = 0

7-6) 3/4 (3 x + 6) (x + 4) = 0

Respuesta 7-1) Soluciones x1 = 3 ∧ x2 = 7

7-3) Soluciones x1 = 1 ∧ x2 = – 1

7-5) Soluciones x1 = – 1/10 ∧ x2 = 1 Sugerencia: para encontrar las soluciones directamente aplicar a . b = 0 ↔ a = 0 o b= 0

9- Factoree y simplifique para encontrar las soluciones: 9-1)

x2 − 9 x −3

9-2)

=0

9-1)

x2 − 9

Resolución

x 2 −1

x −3

x +1

9-3)

=0

x2 − 3x + 2 x−2

=0

=0

Factorizando el numerador de la fracción como diferencia de cuadrados

(x − 3).(x + 3) x −3

=0

Y simplificando, con la condición que x ≠ 3, resulta x + 3 = 0 ∴ x = – 3

2x − 2

11- La solución de la ecuación

=

x −3

a) x 1 = – 7 x2=2

x+2 x−4

b) x 1 = – 2 x2=7

es:

c) x 1 = 7 x2=2

d) x 1 = – 7 x2=–2

Solución c) x 1 = 7 ∧ x 2 = 2

13- Lea atentamente los problemas, traduzca al lenguaje algebraico y luego encuentre la solución: 13-3) Un número entero es tal que la suma del triple del mismo con el doble de su recíproco es igual a 5. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea x: número entero → 3x + 2.

1 =5 x

3x2 + 2 = 5x ; 3x2 - 5x + 2 = 0 →

x1 = 1 y x2 = 2/3 no es número entero

Respuesta: El número que cumple con la condición planteada es 1. 13-14) La superficie de un triángulo rectángulo es 30m2. Si la altura excede a la base en 7m, sus dimensiones son: a) b = 3 m h = 10 m

b) b = 2 m h = 15 m

Solución: d) b = 5m y h = 12m

c) b = 3 m h = 20 m

d) b = 5 m h = 12 m