Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo Docente responsable: Fernando Aso Ecuaciones de segundo grado La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:

ax 2 + bx + c = 0 ∧ a ∈ R ∧ b ∈ R ∧ c ∈ R ∧ a ≠ 0 Ecuaciones incompletas 1) Si b = 0 , la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax 2 + c = 0 .

Para resolver este tipo de ecuaciones se despeja el valor de x, teniendo en cuenta que:

a)

x2 − 9 = 0

−2 x 2 + 50 = 0

x2 = 9

−2 x 2 = −50

1 2 x − 12 = 0 3 1 2 x = 12 3 c) x 2 = 36

b) x 2 = 25

x=± 9 x1 = 3 ∧ x2 = −3

x2 = x

x = ± 25 x1 = 5 ∧ x2 = −5

x = ± 36 x1 = 6 ∧ x2 = −6

2) Si c = 0 , la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax 2 + bx = 0 Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe tener en cuenta que: m ⋅ n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n = 0 2 x 2 − 3x = 0 −3 x 2 + x = 0 a) x ( 2 x − 3) = 0

b) x ( −3 x + 1) = 0

⎧ x1 = 0 ⎪ ⎨ 3 ⎪⎩2 x2 − 3 = 0 ⇒ x2 = 2

⎧ x1 = 0 ⎪ ⎨ 1 ⎪⎩−3x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = 3

Ecuaciones completas Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficientes es igual a cero, los valores de x que la satisfacen se encuentran aplicando una fórmula, en la cual estos intervienen. ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =

−b ± b 2 − 4ac 2a

a) 2 x 2 + x − 10 = 0 ⇒ a = 2 ∧ b = 1 ∧ c = −10

−1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ( −10 )

−1 ± 1 + 80 −1 ± 9 = 2⋅2 4 4 5 −1 + 9 −1 − 9 x1 = = 2 ∧ x2 = =− 4 4 2 x1,2 =

=

x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇒ a = 1 ∧ b = −2 ∧ c = 1

b) x1,2 =

− ( −2 ) ±

x1 = x2 = 1

( −2 ) 2 ⋅1

2

− 4 ⋅1 ⋅1

=

2± 4−4 2± 0 = 2 2

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo Docente responsable: Fernando Aso Ecuaciones e inecuaciones lineales con módulo

Para resolver ecuaciones o inecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen a la incógnita, se deben tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades. Ecuaciones a)

x + 3 = 7 → debemos eliminar el módulo aplicando la definición

para x + 3 < 0

para x + 3 ≥ 0

− ( x + 3) = 7

x+3= 7 ⇒ x = 4

− x − 3 = 7 ⇒ x = −10

b) 3 2 − 3 x + 2 = x + 5 → debemos eliminar el módulo aplicando la definición

para 2 − 3x ≥ 0

para 2 − 3x < 0

3 ( 2 − 3x ) + 2 = x + 5

−3 ( 2 − 3 x ) + 2 = x + 5

6 − 9x + 2 = x + 5 −10 x = −3 3 x= 10

−6 + 9 x + 2 = x + 5 8x = 9 9 x= 8

Inecuaciones a) 2 x + 1 < 5 → Se debe eliminar el módulo, aplicando la definición. para 2 x + 1 < 0 para 2 x + 1 ≥ 0

− ( 2 x + 1) < 5

2x +1 ≥ 0

−2 x − 1 < 5

2x +1 < 5 ⇒ x < 2

−2 x < 6 x > −3

La solución es ( −3; 2 )

b) 2 x + 1 − 2 > 5 − x → Se debe eliminar el módulo, aplicando la definición. para x − 1 ≥ 0 para x − 1 < 0

2 ( x − 1) − 2 > 5 − x

−2 ( x − 1) − 2 > 5 − x

2x − 2 − 2 > 5 − x 3x > 9 x>3

−2 x + 2 − 2 > 5 − x −x > 5 x < −5

La solución es ( −∞; −5 ) ∪ ( 3; +∞ )