APUNTE: TABLA DE DERIVADAS DERIVADAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 2015

f (x)

f ′(x)

k (constante) x xn

0 1

n ⋅ x n −1 1 x ex a x ⋅ ln(a ) 1 − 2 x 1

ln( x) ex ax 1 x

x

2 x cos(x) − sen(x)

sen(x) cos(x)

1 = sec 2 ( x) cos 2 ( x) 1

tg (x)

arcsen(x)

−

arccos( x)

1− x2 1 1− x2 1 1+ x2

arctg (x) Propiedades de las Derivadas: 1) ( f + g ) ′( x) = f ′( x) + g ′( x)

2) ( f − g ) ′( x) = f ′( x) − g ′( x)

Regla del Producto

(u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′

Regla del Cociente

′  u  u ′ ⋅ v − u ⋅ v′   = v2 v

Regla de la Cadena

(f

Definición de Función Derivada

3) ( k ⋅ f ) ′( x) = k ⋅ f ′( x)

′ ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x)

f ′(x) =

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x ∆x → 0

lim

Ejemplos resueltos:

1) Hallar la derivada de: f ( x) = x 2 + tg ( x) Como f (x) es una suma, entonces su derivada será la derivada de cada uno de los sumandos:

f ′( x) = 2 x +

1 = 2 x + sec 2 ( x) cos 2 ( x )

2) Hallar la derivada de: p ( x) = 7 x 3 Como p (x) es el producto de una constante por una función, aplicando la propiedad 3), la derivada será:

p ′( x) = 7 ⋅ 3 x 2 = 21x 2

3) Hallar la derivada de: f ( x) = x 4 ⋅ sen( x) Aplicando la regla del producto, obtenemos: f ′( x) = 4 x 3 ⋅ sen( x) + x 4 ⋅ cos( x)

4) Hallar la derivada de: g ( x) =

x cos( x) 1

2 x Aplicando la regla del cociente: g ′( x) =

cos( x) − x ⋅ (− sen( x) ) cos 2 ( x)

cos( x) + x ⋅ sen( x) 1 x ⋅ tg ( x) 2 x = + = 2 cos ( x) cos( x) 2 x cos( x)

Recordar que tg ( x) =

sen( x) cos( x)

5) Hallar la derivada de: h( x) = sen( x) Como h( x) = ( f ο g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) = utilizaremos la regla de la cadena:

1

′ h ′(x) = ( f ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =

x y g ( x) = sen( x) ,

⋅ cos( x)

2 sen( x)

(

6) Hallar la derivada de: m( x ) = ln x 5 + sen( x)

)

Como m( x) = ( f ο g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) = ln( x) y

g ( x) = x 5 + sen( x) , utilizaremos la regla de la cadena: ′ m ′(x) = ( f ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =

1 ⋅ 5 x 4 + cos( x) x + sen( x ) 5

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