APUNTE: Funciones de Varias Variables UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2015
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Introducción
Hasta ahora hemos trabajado con funciones que dependen de una sola variable, pero en muchas situaciones ocurre que una magnitud es función de dos o más variables. Así, la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estatura. El volumen ocupado por un gas depende directamente de su temperatura (es decir, a mayor temperatura, mayor volumen) e inversamente de la presión (es decir, a mayor presión, menor volumen). El volumen de un cilindro circular recto (por ejemplo, una lata de gaseosa) depende de dos variables: la altura del cilindro y el radio de la circunferencia. La fórmula para calcular 2 dicho volumen es: V = π ⋅ r ⋅ h donde r es el radio y h la altura. El volumen de un paralelepípedo depende de tres variables: el ancho, el alto y el espesor. La fórmula para calcular dicho volumen es: V = a ⋅ b ⋅ c donde a es el ancho, b el espesor y c la altura. El precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción, del costo de los materiales y de los gastos generales. La cantidad de agua en un depósito puede depender de la cantidad de lluvia caída y de la cantidad de agua consumida por los habitantes. La demanda de un producto puede depender de su precio y también del precio de venta de la marca competidora. Todos los casos anteriores son ejemplos de funciones de varias variables. Veamos un ejemplo de cómo trabajar con este tipo de funciones. Ejemplo: Una tienda de licores comercializa dos marcas de vino: A y B. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino también del precio de la marca competidora. Los cálculos de ventas indican que si el vino A se vende a x pesos la botella y el vino B se vende a y pesos la botella, la demanda del vino A será de D A = 300 − 20 x + 30 y botellas por mes, y la demanda del vino B será de
DB = 200 + 40 x − 10 y botellas por mes. Expresar el ingreso total mensual de la tienda en la venta de esos vinos como una función de los precios x e y . Solución: Calculamos primero el ingreso que tendrá la tienda por cada tipo de vino. El ingreso por el vino A será I A ( x, y ) = (300 − 20 x + 30 y ) ⋅ x El ingreso por el vino B será I B ( x, y ) = (200 + 40 x − 10 y ) ⋅ y Luego, el ingreso total será la suma de ambos, es decir:
I ( x, y ) = (300 − 20 x + 30 y ) ⋅ x + (200 + 40 x − 10 y ) ⋅ y I ( x, y ) = 300 x + 200 y + 70 xy − 20 x 2 − 10 y 2 Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Notemos que al escribir I ( x, y ) estamos indicando que el ingreso depende de ambos precios: el del vino A (es decir, x) y el del vino B (es decir, y). Por ejemplo, si el vino A se vende a 75$ la botella y el vino B a 60$, los ingresos que obtendrá la tienda en ese mes por la venta de ambos vinos será:
I (75,60) = 300 ⋅ 75 + 200 ⋅ 60 + 70 ⋅ 75 ⋅ 60 − 20 ⋅ (75) 2 − 10 ⋅ (60) 2 = 201.000 $ o
Conceptos previos
Espacios numéricos n-dimensionales 1) Recta real: cuando trabajamos con números reales y queremos representarlos, utilizamos la recta real. En ella, ubicamos al 0 (cero), a la derecha de él los reales positivos y a su izquierda los reales negativos. Entonces, a cada punto de la recta le asociamos un número real, y recíprocamente, cada número real tiene un punto en la recta real que lo representa. Este conjunto es un espacio de una dimensión y lo llamamos R . Lo utilizamos para representar, a los números reales y a subconjuntos de los reales, tales como intervalos, o para representar el dominio e imagen de una función de una variable real. Así, decimos que 3 ∈ R o que (− 1;2 ) ⊂ R .
2) Plano real: si se toman dos rectas reales como la anterior, y se ubican en forma perpendicular, cuya intersección sea el 0 (cero), formamos un sistema de dos ejes cartesianos ortogonales, normalmente llamado plano real.
Es un espacio de dos dimensiones al que denominamos R 2 . Aquí cada punto del plano es un par ordenado ( x, y ) . x e y se llaman componentes o coordenadas del punto. Cada par ordenado tiene un solo punto del plano que lo representa, y para cada punto del plano hay un par ordenado.
2 2 Así, podemos escribir que el punto (2;3) ∈ R , o que el punto ( −1.5;−2.5) ∈ R . 2 Luego, R 2 es el conjunto de todos los pares ordenados de reales, es decir: R = { ( x, y ) / x ∈ R ∧ y ∈ R }
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3) Espacio real: ahora vamos a considerar un sistema formado por tres ejes reales X, Y, Z, mutuamente perpendiculares en el espacio. Para darnos una idea de este sistema, podemos pensar en el ángulo que se forma en el piso de una habitación, donde convergen dos paredes y el piso. El punto de la esquina es el origen (0,0,0) de coordenadas, y las aristas que delimitan las paredes y el piso, son los ejes.
Z
Y
(0,0,0)
X A cada punto del espacio tridimensional o espacio de tres dimensiones le corresponde una terna ordenada de números reales ( x, y, z ) . El conjunto de todas estas ternas forman el espacio, que llamamos R 3 . Luego:
R 3 = { ( x, y, z ) tal que x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R }
3 Así, podemos escribir que el punto (7, 11, 8) ∈ R . La representación gráfica de este punto se muestra a continuación.
Z 8 (7;11;8) 11
Y
(0;0;0) 7 X Si un punto (x ; y ; z) ∈ R 3 tiene una coordenada nula, significa que se encuentra sobre algunos de los planos coordenados XY, YZ o XZ. Por ejemplo, el punto (1 ; 2 ; 0) se encuentra sobre el plano coordenado XY ya que su coordenada en Z es cero.
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Función de dos variables reales
Una función de dos variables se puede expresar explícitamente mediante una ecuación z = f ( x, y ) o implícitamente por la ecuación F ( x, y, z ) = 0 siendo x, y variables independientes y z la variable dependiente. La función f asigna a cada par ordenado de números reales ( x ; y ) de un conjunto de partida (o dominio) incluido en el plano R 2 , un único número real z . La definición de función de dos variables reales exige que se cumplan las mismas condiciones que para la función de una variable real: existencia y unicidad de la imagen para todos los elementos del dominio. Observemos que mientras que en una función de una variable real el dominio es un subconjunto de R , en una función de dos variables reales, el dominio es un subconjunto de R 2 .
Definición Dado A ⊂ R 2 , una relación f : A → R es una función, si y solamente si se verifica que todo par ordenado ( x, y ) ∈ A tiene una única imagen z ∈ R . Se escribe que z = f ( x, y ) .
A
R
f
(x,y)
z
Llamamos Dominio de la función al conjunto de partida A ⊂ R 2 y Codominio al conjunto de llegada R . El Conjunto Imagen es un subconjunto del codominio, es decir, un subconjunto de los reales, formado por todos los elementos z que son imagen de algún elemento de A .
Dominio Si el dominio de una función de dos variables no está expresamente indicado, debemos hallarlo, de la misma manera que lo hacemos con funciones de una variable real. Por ejemplo: sea la función z ( x, y ) =
2 . x + y2 2
Para hallar el dominio, debemos excluir todos los pares ordenados ( x, y ) que anulan el denominador. En este caso, esto sucede cuando x = y = 0 . 2 Luego, el dominio es: Dom = R − { (0,0) } .
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Observemos que el dominio de una función de dos variables puede representarse geométricamente por una región del plano XY, ya que cada par ordenado ( x, y ) está representado por un punto del plano. Ejemplo: determinar y representar gráficamente el dominio de la función z = f ( x, y ) =
− x2 − y2 + 4
Para que esta expresión tome valores reales debe cumplirse que el radicando no sea negativo. Es decir:
− x2 − y2 + 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≥ x2 + y2 ⇔ x2 + y2 ≤ 4
{
2 2 2 Por lo tanto, el dominio de esta función es: Dom = ( x, y ) ∈ R / x + y ≤ 4
}
Los puntos del plano que satisfacen esta desigualdad son los que pertenecen al círculo centrado en el origen y de radio 2, es decir, los puntos que están sobre la circunferencia de radio 2 y los interiores a ella.
Ejemplos de aplicaciones de funciones de dos variables reales (1) El ITH En días húmedos y calurosos, mucha gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado numéricamente por el llamado índice temperatura–humedad (ITH), que es una función de dos variables t s (temperatura en ºF de bulbo seco del aire) y t h (temperatura en ºF de bulbo húmedo del aire) que vale:
ITH = f (t s ; t h ) = 15 + 0,4 ⋅ (t s + t h ) Si el ITH es mayor que 75, se sabe que la mayoría de la gente se siente incómoda. Muchos dispositivos eléctricos responden a este índice y pueden anticipar la demanda de aire acondicionado en sus sistemas. Por ejemplo, si t s = 90º F y t h = 80º F entonces ITH = f (90;80 ) = 15 + 0,4 ⋅ (90 + 80 ) = 83 . Ejercicio: averigua las diferencias entre termómetro de bulbo seco y de bulbo húmedo. Busca aplicaciones del ITH en la ganadería. Conceptos relacionados: humedad relativa, tabla psicrométrica. (2) La función de Cobb-Douglas La función de producción llamada Cobb-Douglas relaciona a los insumos de capital y trabajo necesarios para producir de la manera más eficiente posible una determinada cantidad de un bien. Se expresa de la siguiente manera:
Y = f (K ; L ) = A ⋅ K α ⋅ Lβ donde α , β ≥ 0 son constantes paramétricas que verifican que α + β = 1 si los rendimientos son constantes a escala, K ≥ 0 es la cantidad de capital , L ≥ 0 es la cantidad de trabajo , A > 0 es una constante que representa el estado de la tecnología e Y es la cantidad máxima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital y trabajo. 0 , 25 ⋅ L0, 75 Por ejemplo, si A = 1,01 ; α = 0,25 ; β = 0,75 entonces: Y = f (K ; L ) = 1,01 ⋅ K
Ejercicio: encuentra la expresión linearizada de la función de Cobb-Douglas, utilizando logaritmos. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Representación gráfica de una función de dos variables
La representación gráfica de una función de dos variables z = f ( x, y ) está dada por una superficie formada por todos los puntos del espacio R 3 que son ternas de la forma ( x, y, z ) = ( x, y, f ( x, y ) ) donde los pares ordenados ( x, y ) pertenecen al dominio de la función. Veamos algunos ejemplos: 2
2
La gráfica de la función z = f ( x; y ) = x + y + 1 es la que se observa a la derecha. Esta superficie se llama PARABOLOIDE.
La gráfica de la izquierda corresponde a la función z = f ( x; y ) = 2 − y . Es un PLANO. En general una expresión de la forma z = f ( x, y ) = Ax + By + C representa un plano en R 3 . También puede expresarse en forma implícita de la siguiente manera: Dx + Ey + Fz + G = 0 donde A,..., G son números reales. Cómo graficar un plano Veremos dos maneras de realizar la gráfica de un plano. a) En primer lugar debemos hallar las intersecciones con los ejes coordenados X, Y y Z. Por ejemplo, vamos a representar el plano dado en forma implícita por la ecuación 2 x + 3 y + z − 6 = 0 . Esta misma función en forma explícita es: z = f ( x, y ) = −2 x − 3 y + 6 . Primero hallamos las intersecciones con el eje X, haciendo y = z = 0 . Obtenemos: 2 x − 6 = 0 x = 3 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (3 ; 0 ; 0). Análogamente, con el eje Y, haciendo x = z = 0 . Entonces: 3 y − 6 = 0 y = 2 . Por lo tanto, el punto de intersección de plano con el eje Y es (0 ; 2 ; 0). Finalmente, con el eje Z hacemos x = y = 0 , de donde z − 6 = 0 z = 6 . Luego, el punto de intersección del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 6). Unimos estos tres puntos mediante segmentos de rectas, y obtendremos el siguiente gráfico:
Z 6
2
Y
3 X Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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b) El segundo método consiste en hallar las ecuaciones de las rectas en los planos coordenados XY, YZ y XZ. Para esto anulamos de a una variable por vez. Así, en el ejemplo anterior: Si x = 0 entonces 3 y + z − 6 = 0 z = −3 y + 6 Recta en el plano YZ Si y = 0 entonces 2 x + z − 6 = 0 z = −2 x + 6 Recta en el plano XZ Si z = 0 entonces 2 x + 3 y − 6 = 0 y = −
2 x + 2 Recta en el plano XY 3
Graficamos estas tres rectas y obtendremos nuevamente el mismo gráfico de plano.
Z
z = −2 x + 6
z = −3 y + 6
Y 2 y =− x+2 3
X Estos dos métodos para graficar, pueden generalizarse para cualquier función de dos variables. Veamos por 2 2 ejemplo, cómo graficar la función z = f ( x; y ) = x + y .
Por el primer método, hallamos los puntos de intersección con los ejes coordenados X, Y y Z de la siguiente manera: Intersección con el eje X y = z = 0 0 = 0 + y 2 y = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (0 ; 0 ; 0). Intersección con el eje Y x = z = 0 0 = x 2 + 0 x = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 0). Intersección con el eje Z x = y = 0 z = 0 + 0 z = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Z es (0 ; 0 ; 0). Por lo tanto, en este caso particular, la superficie intersecta a los ejes coordenados sólo en el origen. Ahora veamos cuáles son las intersecciones con los planos coordenados XY, XZ e YZ: 2 Si x = 0 entonces z = y Parábola el plano YZ 2 Si y = 0 entonces z = x Parábola en el plano XZ
Si z = 0 entonces 0 = x 2 + y 2 x = 0 ∧ y = 0 Punto ( 0 ; 0 ) en el plano XY Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Notemos que si por ejemplo z = 4 nos queda: 4 = x 2 + y 2 que es una circunferencia de radio 2 con centro en el origen. Luego, el gráfico de esta función, que se llama PARABOLOIDE CIRCULAR, es el que se muestra a la derecha.
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o
(0;0;0)
2
Aplicaciones económicas de las funciones de dos variables reales
Veamos ahora algunas funciones de dos variables que se aplican en la Economía y en la Administración. 1) Función de Demanda a) D1 = f ( p1 ; p2 ) expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio p1 y del precio p2 de otro bien relacionado. b) D2 = f ( p ; I ) expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio p y del nivel de ingresos del consumidor I . 2) Función de Ingreso
I = f (q1 ; q2 ) = p1 ⋅ q1 + p2 ⋅ q2 expresa el ingreso que obtiene un productor al vender las cantidades q1 y q2 de dos bienes Q1 y Q2 a los precios unitarios p1 y p2 respectivamente. 3) Función de Costo Total de Producción
C = f (q1 ; q2 ) = c1 ⋅ q1 + c2 ⋅ q2 + CF expresa el costo total que se tiene al producir las cantidades q1 y q2 de dos bienes Q1 y Q2 cuyos costos unitarios son c1 y c2 siendo CF los costos fijos. 4) Producción
q = f ( x1 ; x2 ) expresa la cantidad total de un producto que se puede elaborar en función de las cantidades de los insumos o recursos x1 y x2 . También puede aparecer expresada en función del trabajo y del capital q = f (T , K ) . 5) Producción conjunta x = f (q1 ; q2 ) expresa la cantidad total de un insumo X utilizado para producir las cantidades q1 y
q2 de los bienes Q1 y Q2 . Esta función se aplica cuando un mismo insumo se utiliza en la producción de más de un bien, como por ejemplo la leche, que se utiliza para producir queso y manteca. 6) Utilidad
U = f (q1 ; q2 ) expresa el nivel de satisfacción o preferencia de un consumidor cuando adquiere las cantidades q1 y q2 de los bienes Q1 y Q2 .
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Curvas de nivel
En el ejemplo del paraboloide z = x 2 + y 2 , le dimos un valor fijo a la variable z , y obtuvimos una curva en XY, en ese caso, una circunferencia. La proyección de esta circunferencia sobre el plano coordenado XY, se denomina curva de nivel de la función. Definición Dada una función z = f ( x, y ) se llama curva de nivel C z =k al conjunto de puntos ( x, y ) pertenecientes al dominio de la función, para los que se verifica que f ( x, y ) = k . Características generales
Las curvas de nivel se utilizan en topografía, en el diseño de mapas y cartas topográficas, para representar una región en el plano, es decir, permiten mostrar en una hoja de papel (dos dimensiones) cómo es una región (tres dimensiones). Supongamos que queremos representar en un plano un cerro. Para esto, se trazan planos horizontales equidistantes que “atraviesan” el cerro. La intersección entre estos planos y el cerro son curvas, que luego se proyectan en el plano. Así obtenemos un conjunto de curvas de nivel. Este “mapa” que se obtiene se denomina mapa de contorno.
Vamos a armar el mapa de contornos para la función del ejemplo anterior, el paraboloide z = f ( x; y ) = x 2 + y 2 . Debemos ir dándole valores a z , así:
z = 0 0 = x 2 + y 2 x = 0 ∧ y = 0 es el punto (0;0) z = 1 1 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 z = 2 2 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio
2
z = 3 3 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio
3
2
2
z = 4 4 = x + y es la circunferencia centrada en el origen y de radio 2 En la gráfica siguiente se muestra el mapa de contornos del paraboloide circular z = f ( x; y ) = x 2 + y 2 , para valores enteros de z entre 1 y 20. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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y
4
3
2
1
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
Entonces, las curvas de nivel para está función son todas circunferencias centradas en el origen, cuyo radio es
z.
Notemos que la distancia entre las curvas de nivel no es siempre la misma. A medida que z aumenta, las circunferencias están cada vez más cerca una de otra. En general, cuando las curvas de nivel están muy próximas entre sí, significa que hay un aumento de pendiente mayor en la superficie, y si están más alejadas, la pendiente es más “suave”.
B
Por ejemplo, en la gráfica de la derecha, las líneas dentro del círculo A están más espaciadas, lo que indica una pendiente más suave que las líneas que están dentro del círculo B, que están más próximas entre sí.
A
Una propiedad de las curvas de nivel es que nunca se intersectan entre ellas. Otra característica es que en una curva de nivel, todos los puntos que la forman se encuentran a la misma altura en la superficie. Debido a esto es que las curvas de nivel tienen muchas aplicaciones. Además del uso en las cartas topográficas, como ya hemos visto, se utilizan en diversas ciencias, tomando distintas denominaciones: Isóbatas: son curvas que se usan para representar puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como también en lagos de grandes dimensiones. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Isotermas: son líneas imaginarias que unen puntos en la superficie terrestre de igual temperatura, que se trazan a intervalos regulares, por ejemplo, cada diez grados centígrados. Isohietas: son líneas imaginarias que unen puntos de igual precipitación media. (También se llaman isoyetas) Isobaras: son líneas imaginarias que unen puntos de igual presión atmosférica.
Mapa de Isotermas
Mapa de Isohietas
Mapa de Isobaras Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Aplicaciones de las curvas de nivel en Economía y Administración Función económica
Curva de nivel
Utilidad
Curva de Indiferencia
Ingreso por ventas
Isoingreso
Coste total
Isocoste
Producción
Isocuanta
Producción conjunta
Curva de transformación o de Isoinsumo
Interpretación económica Es el conjunto de todas las combinaciones de compras que le permiten obtener al consumidor el mismo nivel de satisfacción. Indica todas las combinaciones de ventas con las que el productor obtiene el mismo ingreso. Indica todas las combinaciones de insumos de producción que tienen un mismo coste. Indica todas las combinaciones de cantidades de insumos con las que se puede elaborar una misma cantidad de producto. Cuando se utiliza un insumo para producir más de un producto, una curva de isoinsumo indica todas las combinaciones de las cantidades de los dos productos que se pueden obtener con una misma cantidad de ese insumo.
Ejemplos: 1) Hallar y representar las curvas de indiferencia que corresponden a la función de utilidad U = q1 ⋅ q2 , para los siguientes niveles de utilidad: U = 1 , U = 2 . q2 Solución Si U = 1 entonces 1 = q1 ⋅ q2 q2 =
1 q1
U=2
2 Si U = 2 entonces 2 = q1 ⋅ q2 q2 = q1
U=1
q1
Las ecuaciones obtenidas corresponden a hipérbolas equiláteras, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos. 2) Obtener las líneas de isocoste correspondientes a la función de costos C = 2 x1 + 3 x2 + 10 , donde
x1 ; x2 representan las cantidades de insumos utilizados, y el costo fijo de producción es 10, para los siguientes niveles de costo: C = 16 , C = 22 . x2 Solución Si C = 16 entonces 16 = 2 x1 + 3 x2 + 10 x2 = −
2 x1 + 2 3
2 Si C = 22 entonces 22 = 2 x1 + 3 x2 + 10 x2 = − x1 + 4 3
2 1
C=22 C=16
x1 3
Las ecuaciones obtenidas corresponden a rectas paralelas de pendiente –2/3, y de distinta ordenada al origen, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Derivadas parciales
Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables reales cuya gráfica es la superficie S , y sea P = (a, b, c) un punto sobre la superficie. La expresión y = b representa un plano vertical, cuya intersección con la superficie S es la curva C1 . Sea g (x) la función que da origen a esta curva. Sea T1 la recta tangente a la curva C1 en el punto P . La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la función g en el punto P , es decir, g´(a ) . Podemos escribir que g´(a ) = f x (a, b) , y se llama derivada parcial respecto de x. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C1 en el punto P .
Análogamente, sea el plano vertical x = a cuya intersección con S es la curva C2 , cuya expresión es
g ( y ) . Sea T2 la recta tangente a esta curva en el punto P . La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la función g en el punto P , es decir, g´(b) . Podemos escribir que g´(b) = f y ( a, b) , y se llama derivada parcial respecto de y. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C2 en el punto P .
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Entonces: una derivada parcial de una función de dos variables es una derivada en la cual una de las variables permanece fija; por lo tanto, se transforma en una derivada de una función de una variable. Si queremos hallar la derivada parcial respecto de x mantenemos fija (constante) la variable y, y si hallamos la derivada parcial respecto de y, mantenemos fija a la x. Si z = f ( x, y ) entonces:
∂f ∂x ∂f la derivada parcial de f respecto de y se denota f y ( x, y ) = ∂y la derivada parcial de f respecto de x se denota f x ( x, y ) =
Teniendo en cuenta que una derivada es una razón de cambio, podemos decir que:
∂f es la razón de cambio de f respecto a x cuando y se mantiene fija ∂x ∂f f y ( x, y ) = es la razón de cambio de f respecto a y cuando x se mantiene fija ∂y
f x ( x, y ) =
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de z = f ( x, y ) = 2 y 2 + x 2 y − 2 x en el punto P = (1,2,8) Solución:
f x ( x, y ) =
∂f = 2 xy − 2 ∂x
f x (1,2) =
∂f (1,2) = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 2 ∂x
f y ( x, y ) =
∂f = 4 y + x2 ∂y
f y (1,2) =
∂f (1,2) = 4 ⋅ 2 + 1 = 9 ∂y
Interpretación Geométrica de las derivadas parciales
∂f ∂f y pueden interpretarse geométricamente como las ∂x ∂y pendientes de las rectas tangentes a la superficie z = f ( x, y ) en las direcciones x e y respectivamente. Si z = f ( x, y ) entonces las derivadas parciales
Aplicaciones de las derivadas parciales Los conceptos vistos en funciones de una variable real, tales como costos marginales, ingresos marginales, etc., se aplican también en funciones de varias variables. 1) Costos marginales Si la función de costo total conjunto de un fabricante que produce x unidades de un producto X e y unidades de un producto Y , es C = f ( x, y ) , entonces se llama:
∂C , y es la razón de cambio de C ∂x con respecto a x cuando y se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es fijo. a) costo marginal (parcial) con respecto a x a la derivada parcial
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∂C , y es la razón de cambio de C ∂y con respecto a y cuando x se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo.
b) costo marginal (parcial) con respecto a y a la derivada parcial
Ejemplo: Una compañía fabrica dos tipos de esquíes, los modelos A y B. Supongamos que la función de costos conjuntos de producir x pares del modelo A e y pares del modelo B por semana está dado por
C = f ( x, y ) = 0,07 x 2 + 75 x + 85 y + 6000 , donde C se expresa en dólares. Determinar los costos marginales cuando x = 100 e y = 50 . Interpretar los resultados. Solución: Hallamos las derivadas parciales de C respecto a x e y, y las evaluamos en el punto (100 ; 50):
C x ( x, y ) =
∂C ∂C = 0,14 x + 75 C x (100,50) = (100,50) = 0,14 ⋅ 100 + 75 = 89 (1) ∂x ∂x
C y ( x, y ) =
∂C ∂C = 85 C y (100,50) = (100,50) = 85 ∂y ∂y
(2)
La ecuación (1) implica que al aumentar la producción del modelo A de 100 a 101, mientras se mantenga constante en 50 la producción del modelo B, aumentan los costos aproximadamente en $89. La ecuación (2) implica que al aumentar la producción del modelo B de 50 a 51, mientras se mantiene constante en 100 la producción de modelo A, aumentan los costos aproximadamente en $85. Como C y ( x, y ) =
∂C es una función constante, significa que el costo marginal con respecto a y es de $85 ∂y
en todos los niveles de producción.
2) Ingresos Marginales Si la función de ingreso de un fabricante que vende x unidades de un producto X e y unidades de un producto Y , es I = f ( x, y ) , entonces se llama: a) ingreso (parcial) con respecto a x a la derivada parcial
∂I , y es la razón de cambio de I con ∂x
respecto a x cuando y se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de X cuando el nivel de ventas de Y es fijo. b) ingreso (parcial) con respecto a y a la derivada parcial
∂I , y es la razón de cambio de I con ∂x
respecto a y cuando x se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de Y cuando el nivel de ventas de X es fijo.
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3) Productividad Marginal La fabricación de un producto depende de muchos factores de producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etc. Si, por simplicidad, suponemos que la producción sólo depende del trabajo y del capital, es decir, P = f (t , k ) , entonces se llama: a) productividad marginal con respecto a t a la derivada parcial
∂P , y es la razón de cambio de P ∂t
con respecto a t cuando k se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el trabajo t en una unidad adicional cuando el capital k es fijo. b) productividad marginal con respecto a k a la derivada parcial
∂P , y es la razón de cambio de P ∂k
con respecto a k cuando t se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el capital k en una unidad adicional cuando el trabajo t es fijo.
4) Demanda Marginal Sean A y B dos artículos relacionados tales que el precio de uno afecta la demanda del otro. Si x1 es la cantidad demandada del artículo A, y x2 es la cantidad demandada del artículo B, p1 y p2 son los precios de ambos artículos, entonces las funciones de demanda pueden expresarse así: x1 = f ( p1 ; p2 ) ,
x2 = g ( p1 ; p2 ) . Definimos: a) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p1 a la derivada parcial
∂x1 , y es la razón de ∂p1
cambio de x1 con respecto a p1 cuando p2 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo. b) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p2 a la derivada parcial
∂x1 , y es la razón de ∂p2
cambio de x1 con respecto a p2 cuando p1 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo. c) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p1 a la derivada parcial
∂x2 , y es la razón de ∂p1
cambio de x2 con respecto a p1 cuando p2 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo. d) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p2 a la derivada parcial
∂x2 , y es la razón de ∂p2
cambio de x2 con respecto a p2 cuando p1 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo. Demandas marginales cruzadas Las demandas anteriores b) y c) se denominan demandas marginales cruzadas. Pueden ser positivas o negativas, dependiendo de cómo es la interacción entre los productos.
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Productos complementarios y productos competitivos Teniendo en cuenta las demandas marginales cruzadas, pueden darse tres casos:
i)
∂x1 ∂x 0 ∂p2 ∂p1
Los artículos SON COMPETITIVOS (o SUSTITUTOS), ya que un aumento en el precio del artículo A hace aumentar la demanda del artículo B, si el precio del artículo B no cambia.
iii)
∂x1 ∂x2 ∂x ∂x2 >0 ∧ 0 ∧ > 0 entonces ambos productos son competitivos. ∂p2 ∂p1
Elasticidades Parciales
Sea z = f ( x, y ) , entonces la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a x se define como la elasticidad de z respecto a x cuando la variable y es constante. Es decir:
Elast ( f , x) = ε ( f , x) =
x ⋅ f x ( x, y ) f ( x, y )
El valor obtenido ε ( f , x) es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del 1 % de x , mientras y permanece constante. Análogamente, la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a y se define como la elasticidad de z respecto a y cuando la variable x es constante. Es decir:
Elast ( f , y ) = ε ( f , y ) =
y ⋅ f y ( x, y ) f ( x, y )
El valor obtenido ε ( f , y ) es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del 1 % de y , mientras x permanece constante. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Ejemplo: Hallar la elasticidad de la función z = f ( x, y ) = x 2 y 5 respecto a x y luego respecto a y . Solución: Primero hallamos las derivadas parciales f x y f y :
f x ( x, y ) = 2 xy 5 ; f y ( x, y ) = 5 x 2 y 4 Luego calculamos las elasticidades:
εx =
x y x y ⋅ f x ( x, y ) = 2 5 ⋅ 2 xy 5 = 2 ; ε y = ⋅ f y ( x, y ) = 2 5 ⋅ 5 x 2 y 4 = 5 f ( x, y ) x y f ( x, y ) x y
Luego, las elasticidades respecto a x e y son 2 y 5 respectivamente. Aplicación de la elasticidad: Elasticidades parciales de la demanda Sean dos funciones de demanda x1 = f ( p1 ; p2 ) , x2 = g ( p1 ; p2 ) . La elasticidad parcial de la demanda es la razón del cambio proporcional en la cantidad demandada de un artículo y el cambio proporcional en el precio de tal artículo, siendo constante el precio de otro artículo. Entonces, tendremos cuatro tipos de elasticidades parciales:
ε ( x1 , p1 ) =
p1 ∂x ⋅ 1 x1 ( p1 , p2 ) ∂p1
La elasticidad parcial de la demanda x1 con respecto al precio p1 ,
ε ( x1 , p2 ) =
p2 ∂x ⋅ 1 x1 ( p1 , p2 ) ∂p2
La elasticidad parcial de la demanda x1 con respecto al precio p2 ,
ε ( x2 , p1 ) =
p1 ∂x ⋅ 2 x12 ( p1 , p2 ) ∂p1
La elasticidad parcial de la demanda x2 con respecto al precio p1 ,
ε ( x2 , p2 ) =
p2 ∂x ⋅ 2 x2 ( p1 , p2 ) ∂p2
La elasticidad parcial de la demanda x2 con respecto al precio p2 ,
para un precio p2 constante.
para un precio p1 constante.
para un precio p2 constante.
para un precio p1 constante.
Ejemplo: Dada la función de demanda x( p A ; p B ) = 400 + 0,5 p B − 10 p A
2
para el artículo A relacionado con el
artículo B, determinar las elasticidades parciales de la demanda respecto de p A y p B cuando p A = 6 y
pB = 50 . Interpretar el resultado. Solución: Primero hallamos las derivadas parciales:
∂x ∂x = −20 p A ; = 0,5 ∂p A ∂p B
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Cuando p A = 6 y p B = 50 resulta que x(6;50) = 400 + 0,5 ⋅ 50 − 10 ⋅ 6 2 = 65 Evalúo las derivadas parciales en estos valores:
∂x ∂x = −120 ; = 0,5 ∂p A ( 6;50) ∂p B ( 6;50)
Por lo tanto:
ε ( x, p A ) =
∂x 6 pA ⋅ = ⋅ (−120) ≈ −11,08 x( p A , p B ) ∂p A 65
ε ( x, p B ) =
∂x 50 pB ⋅ = ⋅ (0,5) ≈ 0,38 x( p A , p B ) ∂p B 65
Esto significa que: un incremento cercano al 1 % en el precio del artículo A producirá una baja del 11,08 % en la demanda de este artículo, mientras que este mismo incremento en el precio del artículo B ocasiona un aumento del 0,38 % en la demanda de A.
o
Máximos y Mínimos en Funciones de dos variables
Los conceptos de máximos y mínimos locales en funciones de dos variables son análogos a los de una variable real. Definición Diremos que una función de dos variables z = f ( x, y ) tiene un máximo local en (a, b, f (a, b) ) si f (a, b) ≥ f ( x, y ) , ∀( x, y ) dentro de un disco con centro en (a, b) . Diremos que una función de dos variables z = f ( x, y ) tiene un mínimo local en (a, b, f (a, b) ) si f (a, b) ≤ f ( x, y ) , ∀( x, y ) dentro de un disco con centro en (a, b) .
Propiedad Si z = f ( x, y ) tiene un extremo local (es decir, un máximo o mínimo local) en (a, b, f (a, b) ) , y las derivadas parciales en ese punto existen, entonces se cumple que estas derivadas son nulas. Es decir:
∂f ∂f ( a, b) ∧ ∃ f y ( a, b) = ( a, b) , ∂x ∂y ∂f ∂f entonces f x (a, b) = ( a , b ) = 0 ∧ f y ( a, b) = ( a, b) = 0 . ∂x ∂y
Si (a, b, f (a, b) ) es extremo local de z = f ( x, y ) y ∃ f x (a, b) =
Punto crítico Un punto (a, b, f (a, b) ) para el cual las derivadas parciales son nulas o alguna de ambas no existe, se llama punto crítico o punto estacionario de f . En un punto crítico, la función puede tener un MAXIMO RELATIVO, un MINIMO RELATIVO, o un PUNTO SILLA. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Derivadas Parciales Sucesivas Al igual que en funciones de una variable real, podemos hallar las derivadas parciales de orden superior: segundas, terceras, etc., supuesto que existan. Veremos únicamente cómo hallar y utilizar las segundas derivadas parciales. Segundas derivadas parciales (o derivadas parciales de segundo orden) Sea la función z = f ( x, y ) cuyas primeras derivadas parciales son f x ( x, y ) y f y ( x, y ) . Entonces, esta función tiene cuatro segundas derivadas parciales que se denotan con subíndices colocados en el orden en que se realizan las derivaciones. Las segundas derivadas parciales de z = f ( x, y ) son:
f xx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂x ∂x ∂x 2
Se deriva dos veces respecto a x
f yy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂y ∂y ∂y 2
Se deriva dos veces respecto a y
f xy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂y ∂x ∂y∂x
Se deriva primero respecto a x, y después respecto a y
f yx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂x ∂y ∂x∂y
Se deriva primero respecto a y, y después respecto a x
Se llaman derivadas parciales mixtas
Propiedad de las derivadas parciales mixtas Si las derivadas parciales mixtas de una función de dos variables son continuas en una región abierta, entonces para todo punto dentro de esa región, se cumple que ambas derivadas son iguales. Es decir: f x y ( x, y ) = f y x ( x, y ) Ejemplo: Sea la función z = f ( x, y ) = e x ⋅ sen( y ) . Hallar sus primeras y segundas derivadas parciales. Verificar que las derivadas parciales mixtas son iguales. Solución:
f x ( x, y ) =
∂f ∂f = e x ⋅ sen( y ) ; f y ( x, y ) = = e x ⋅ cos( y ) ∂x ∂y
f xx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f x = 2 = −e x ⋅ sen( y ) = 2 = e ⋅ sen( y ) ; f yy ( x, y ) = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
f xy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f x = = = e ⋅ cos( y ) ; f ( x , y ) = = e x ⋅ cos( y ) yx ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y
Discriminante o Hessiano Es el determinante de la matriz formada por las segundas derivadas parciales de una función, de la siguiente forma:
H=
f xx
f xy
f yx
f yy
[ ]
= f xx ⋅ f yy − f xy
2
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Análisis del Punto Crítico Criterio de la Derivada Segunda Una vez hallado el punto crítico (a; b) , veamos cómo saber si es un extremo o no. Para esto utilizaremos las segundas derivadas parciales. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea z = f ( x, y ) una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene el punto (a; b) , en el cual
las primeras derivadas parciales son nulas, es decir: f x (a, b) = 0 ∧
f y ( a, b) = 0 . Calculamos el Hessiano de la función en el punto (a; b) :
H=
f xx (a, b)
f xy (a, b)
f yx (a, b)
f yy (a, b)
[
= f xx (a, b) ⋅ f yy (a, b) − f xy (a, b)
]
2
Entonces: 1. Si H > 0 y f xx (a, b) > 0 entonces hay un MINIMO RELATIVO en (a; b) . 2. Si H > 0 y f xx (a, b) < 0 entonces hay un MAXIMO RELATIVO en (a; b) . 3. Si H < 0 entonces el punto (a; b; f (a, b)) es un PUNTO SILLA. 4. Si H = 0 , el criterio no es concluyente.
Ejemplo: Sea z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 14 . a) Hallar sus derivadas parciales. b) Hallar sus puntos críticos. c) Hallar sus segundas derivadas parciales. d) Analizar si los puntos críticos son extremos o puntos silla. Solución: a) f x ( x, y ) =
∂f = 2x − 2 ; ∂x
b) f x ( x, y ) =
∂f ( x, y ) = 0 2 x − 2 = 0 x = 1 ∂x
f y ( x, y ) =
∂f = 2y − 6 ∂y
∂f f y ( x, y ) = ( x, y ) = 0 2 y − 6 = 0 y = 3 ∂y
c) f xx ( x, y ) =
Por lo tanto, el único punto crítico es (1;3)
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f = =2 = 2 = 2 ; f yy ( x, y ) = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y 2
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f = f xy ( x, y ) = = = 0 ; f yx ( x, y ) = =0 ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y
Por lo tanto, H = 4
d) Como H > 0 y f xx (1,3) > 0 entonces el punto (1;3) es un MINIMO RELATIVO. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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Punto silla Veamos un ejemplo de una función que tiene un punto silla. Sea z = f ( x, y ) = y 2 − x 2 . Sus derivadas parciales son f x ( x, y ) = −2 x ; f y ( x, y ) = 2 y . Por lo tanto, su único punto crítico es el punto (0,0) . Sus segundas derivadas parciales son
f xx ( x, y ) = −2 ; f yy ( x, y ) = 2 ; f yx ( x, y ) = f xy ( x, y ) = 0 . Luego, D = −4 < 0 . Por lo tanto la función tiene un punto silla en (0,0,0).
o
Maximización y minimización
Al igual que en funciones de una variable, podemos maximizar y minimizar funciones de más de una variable. Veamos cómo trabajar en estos casos con un problema de aplicación. Ejemplo: Sea P = f (t , k ) = 0,54t 2 − 0,02t 3 + 1,89k 2 − 0,09k 3 una función de producción donde t y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de t y k que maximizan P . Solución: Primero hallamos las derivadas parciales de P respecto de t y k :
∂P = 1,08t − 0,06t 2 ∂t
;
∂P = 3,78k − 0,27 k 2 ∂k
Luego hallamos los puntos críticos:
1,08t − 0,06t 2 = t ⋅ (1,08 − 0,06t ) = 0 t = 0 , t = 18 3,78k − 0,27 k 2 = k ⋅ (3,78 − 0,27 k ) = 0 k = 0 , k = 14 Por lo tanto, tenemos 4 puntos críticos: (0;0), (0;14), (18;0) y (18;14) Ahora calculamos las derivadas segundas: f t t = 1,08 − 0,12t ; f k k = 3,78 − 0,54k ; f t k = f k t = 0 Evaluamos en cada punto crítico: i) f t t (0,0) = 1,08 ; f k k (0,0) = 3,78 H = 1,08 ⋅ 3,78 = 4,0824 > 0 en (0;0) hay un MINIMO. ii) f t t (0,14) = 1,08 ; f k k (0,14) = 3,78 − 0,54 ⋅ 14 = −3,78 H = 1,08 ⋅ (− 3,78) = −4,0824 < 0 en (0;14) hay un PUNTO SILLA. iii) f t t (18,0) = 1,08 − 0,12 ⋅ 18 = −1,08 ; f k k (18,0) = 3,78 H = (−1,08) ⋅ 3,78 = −4,0824 < 0 en (18;0) hay un PUNTO SILLA. iv) f t t (18,14) = 1,08 − 0,12 ⋅ 18 = −1.08 ; f k k (18,14) = 3,78 − 0,54 ⋅ 14 = −3,78 H = (−1,08) ⋅ (−3,78) = 4,0824 > 0 en (18;14) hay un MAXIMO. Luego, los valores de t y k que maximizan P son t = 18 y k = 14 . Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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o
Diferencial total
Definición
Si z = f ( x, y ) es una función de dos variables reales, y ∆x , ∆y son los incrementos de x e y , se llaman diferenciales de las variables independientes x e y a: dx = ∆x y dy = ∆y y la diferencial total de la variable dependiente z se define como:
dz =
∂z ∂z dx + dy = f x ( x, y ) dx + f y ( x, y ) dy ∂x ∂y
Ejemplo: 2 2 Hallar la diferencial total de la función z = 2 x ⋅ sen( y ) − 3 x y
Solución: Como f x ( x, y ) = 2 ⋅ sen( y ) − 6 xy 2
f y ( x, y ) = 2 x ⋅ cos( y ) − 6 x 2 y
,y,
(
)
(
)
Entonces: dz = 2 ⋅ sen( y ) − 6 xy 2 dx + 2 x ⋅ cos( y ) − 6 x 2 y dy
Aplicación de la diferencial total Veamos con un ejemplo cómo se aplica la diferencial total en economía: 1
1
En una cierta fábrica, la producción diaria es de Q = 60 K 2T 3 unidades, donde K representa el capital invertido medido en unidades de 1000 dólares y T es el tamaño de la fuerza de trabajo medido en horas-hombre. El capital actualmente invertido es de 900000 dólares y se usan cada día 1000 horas-hombre. Estimar el cambio que resultará en la producción si la inversión de capital aumenta en 1000 dólares y el trabajo aumenta en 2 horas-hombre. Solución:
∂Q ∂Q dK + dT = f K ( K , T ) dK + f T ( K , T ) dT ∂K ∂T Como K = 900 , T = 1000 , dK = 1 , dL = 2 , y las derivadas parciales son: dQ =
Tenemos que
f K (K ,T ) =
60 ⋅ T 2⋅K
entonces: dQ =
1 1
= 2
K dQ =
K
30 ⋅ T
30 ⋅ (1000) (900)
1
2
1 1
1
30 ⋅ T
3
1
1
3
2
3
dK +
2
, f K (K ,T ) =
20 ⋅ K T
3
⋅1 +
1
3⋅T
2
1
2
= 3
20 ⋅ K T
2
1
2
3
2
dT
3
20 ⋅ (900) (1000)
1
60 ⋅ K
2
1
3
2
⋅2 =
30 ⋅ 10 20 ⋅ 30 ⋅1 + ⋅ 2 = 10 + 12 = 22 30 100
Esto significa que la producción aumentará aproximadamente en 22 unidades. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2015
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