APUNTE: Matrices UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014 Definición Una matriz de tamaño n x m es un arreglo de números reales colocados en n filas (o renglones) y m columnas, de la siguiente forma: a11 a12 ... a1m a 21 a 22 ... a 2 m A = aij = a31 a32 ... a3m ..... a n1 a n 2 ... a nm
[ ]
Los números
aij se llaman elementos o entradas de la matriz.
Ejemplos:
5,2 0 − 1 A = 12 11 6,1 0 7,4 18 La matriz La matriz
− 14 B = − 8 190
C = 7
1 2
6
5 7 − 1 D= 19 3 4
3 1 E= 0 0
− 5 34 15 1
A es de tamaño 3 x 3 (o de orden 3) porque tiene 3 filas y 3 columnas. B es de tamaño 3 x 1 porque tiene 3 filas y 1 columna.
¿Cuáles son los tamaños de las matrices C , D y E ? ______________________________________ Para indicar un elemento de una matriz damos su ubicación mediante su fila y su columna. Así, en la matriz A el elemento a13 = −1 , el elemento a32 = 7,4 y el elemento a22 = 11 . Usos de las matrices Las matrices aparecen en muchos ejemplos en diferentes ciencias y en la vida cotidiana. Por ejemplo, la siguiente tabla que muestra las posiciones en la eliminatoria sudamericana de fútbol en el año 2007 es una matriz de 10 filas y 13 columnas.
Los precios de un hotel pueden mostrarse mediante la siguiente tabla, que es una matriz de tamaño 3x3: Single
Doble
Con Desayuno
$150
$285
Triple $320
Media Pensión
$175
$310
$380
Pensión Completa
$190
$350
$440
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1
Otro ejemplo de uso de matrices son los grafos. Los grafos son gráficos que permiten mostrar claramente las relaciones entre un conjunto de objetos. Por ejemplo: caminos entre ciudades, rutas aéreas, relación clientes-proveedores, redes en general. Un grafo se forma por un conjunto de puntos llamados vértices o nodos, y un conjunto de aristas que van de un nodo a otro nodo, e indican qué pares de nodos están relacionados entre sí. Por ejemplo, para el grafo de la derecha, el conjunto de nodos es {A, B, C , D, E} . Si determinamos que un 1 indica que hay un camino directo de un nodo a otro, y un 0 indica que no hay camino, la tabla y la matriz asociadas a este grafo son las siguientes: A 0 0 0 0 0
A B C D E
B 1 0 0 0 0
C 0 1 0 0 0
D 1 1 0 0 1
E 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 1 1
Un uso muy importante de las matrices es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tema que veremos más adelante. Tipos de matrices Las matrices que tienen igual cantidad de filas que de columnas se denominan cuadradas. Una matriz cuadrada de tamaño nxn se dice que es de orden n. Los elementos aij de una matriz cuadrada para los cuales i = j forman la diagonal principal de la matriz. ¿Cuáles de las matrices anteriores son cuadradas? _______________________________________ De estas matrices cuadradas, ¿qué elementos forman la diagonal principal? _____________________ _____________________________________________________________________________ Las matrices que tienen una sola fila se denominan vector fila o vector renglón. Las matrices que tienen una sola columna se denominan vector columna. ¿Cuáles de las matrices anteriores son vectores fila y cuáles vectores columna? ___________________ Una matriz cuyas entradas son todos ceros se llama matriz cero o matriz nula. Por ejemplo, la matriz nula de orden 2 es
0 0 0 0 .
¿Cuál son las matrices nulas de tamaño 3x3, 4x2 y 1x5? _____________________________________ Una matriz cuadrada cuya diagonal principal se forma sólo por unos y que el resto de los elementos son ceros, se llama matriz identidad. Escribe las matrices identidad de orden 2, 3, 4 y 5.
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Una matriz se llama triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros. Una matriz se llama triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Por ejemplo:
1 0 − 20 A = 0 19 − 66 0 0 55
1 0 0 ; B= 8 9 0 − 2 4 1
A es triangular superior y B es triangular inferior.
La matriz traspuesta de una matriz A de tamaño nxm se denota por A cuya fila i es la columna i de A , y cuya columna j es la fila j de A .
5 5 20 − 2 T Por ejemplo: si A = entonces A = 20 8 − 4 − 3 − 2
T
y es la matriz de tamaño mxn
8 − 4 − 3
¿Cuáles son las traspuestas de las siguientes matrices?
1 − 8 5 1 − 7 0 P= 0 2 − 9 1 8 − 5
1 3 T P = 2 2
6 Q= 7
2
2 T Q = 3
Igualdad de matrices Dos matrices A y B del mismo tamaño son iguales si sus elementos correspondientes son iguales, es decir, aij
= bij .
3 = u x = 5 3 x u 5 Ejemplo: si A = y B= y A = B entonces debe cumplirse que: . 1 2 + x 1 w 1 = 1 2 + x = w Por lo tanto se obtiene que: A = B
Ejercicio: si M
0 = y
3 5 = . 1 7
1 z 8 5 − h yN = hallar los valores de x, y, h, m, z para que M = N . x + y h 3 2m h x
Operaciones entre matrices a) Suma y resta de matrices Si
[ ]
[ ]
A = aij y B = bij son dos matrices del mismo tamaño, entonces se define la suma de ambas matrices
como la matriz
[ ]
[ ]
A + B = cij tal que cij = aij + bij , ∀i, j y la diferencia de ambas matrices como la matriz
A − B = d ij tal que d ij = aij − bij , ∀i, j Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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b) Producto de una matriz por un escalar
[ ] kA = [ka ]
Si
A = aij y k ∈ R , entonces se define el producto de la matriz A por el número real k como la matriz ij
Ejercicio: dadas las siguientes matrices hallar
A + B , B + A , A − B , B − A , 5A ,
1 B , 5 A − 4B . 2
0 2 y B = 1 4 A= 1 2 − 1 − 3 2
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c) Producto entre matrices Si
[ ]
[ ]
A = aij es de tamaño nxp y B = bij es de tamaño pxm, entonces se define la multiplicación de ambas
matrices como la matriz
[ ]
p
A ⋅ B = cij de tamaño nxm tal que cij = ∑ aik ⋅ bkj , con i = 1,..., n y j = 1,..., m k =1
2 0 1 − 4 1 0 2 1 Ejemplo: sean A = y B = 1 1 3 1 1 − 2 0 − 1
1 0 . Como A es de 2x4 y B es de 4x3, el producto 2 1
de ambas será una matriz de 2x3.
2 0 1 0 2 1 1 − 4 A⋅ B = ⋅ 3 1 1 − 2 1 1 0 − 1 ¿Es posible realizar el producto
1 0 2 + 0 + 2 + 0 0 + 0 + 2 − 1 1 + 0 + 4 + 1 4 1 6 = = 2 6 + 1 + 1 + 0 0 − 4 + 1 + 2 3 + 0 + 2 − 2 8 − 1 3 1
B ⋅ A ? ¿Por qué? _____________________________________
0 1 2 0 − 5 Ejercicio: hallar, si es posible, F ⋅ G y G ⋅ F siendo: F = y G= 9 2 1 5 0 − 1 2
Propiedades de las operaciones entre matrices Suma • •
Conmutativa: A + B = B + A Asociativa: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
•
Existencia de neutro:
A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula
Multiplicación por un escalar • • • •
k ⋅ ( A + B) = kA + kB (k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 A + k 2 A k1 (k 2 A) = (k1k 2 ) A k ⋅ 0 = 0 donde 0 es la matriz nula
Propiedades de la matriz transpuesta •
( A + B)T = AT + B T
•
(k ⋅ A)T = k ⋅ AT
•
( A ⋅ B)T = B T ⋅ AT Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Producto entre matrices • •
No es conmutativa, es decir, AB ≠ Asociativa: A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C
•
Distributiva respecto a la suma:
•
BA
A ⋅ ( B + C ) = AB + AC y ( B + C ) ⋅ A = BA + CA Existencia de neutro: A ⋅ I = I ⋅ A = A donde I es la matriz identidad
Observa que: en los números reales el 0 (cero) es el neutro para la suma y el 1 (uno) es el neutro para la multiplicación. En las matrices, la matriz cero 0 es el neutro para la suma y la matriz identidad I es el neutro para la multiplicación entre matrices. Ejercicio: Dadas las matrices siguientes verifique todas las propiedades enunciadas arriba.
1 − 2 0 1 A= B= 0 − 3 4 1
1 1 C= 5 3
k1 = 2
k2 = 3
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Matriz Inversa Sea
Anxn
una matriz de orden n. Se dice que una matriz
Bnxn
del mismo orden es la inversa de
A si se
satisfacen las siguientes dos igualdades:
A⋅ B = I
y
B⋅ A = I
Cómo hallar la matriz inversa usando la definición
1 2 a b A= y sea B = . Vamos a hallar B tal que sea la inversa de A . 3 4 c d 1 2 a b 1 0 Por definición de matriz inversa, debe cumplirse que A ⋅ B = I . Es decir: ⋅ = 3 4 c d 0 1
Ejemplo: Sea
1 2 a b a + 2c b + 2d 1 0 3 4 ⋅ c d = 3a + 4c 3b + 4d = 0 1
a + 2c = 1 3a + 4c = 0 Para que estas dos últimas matrices sean iguales debe cumplirse que: b + 2d = 0 3b + 4d = 1 a = 1 − 2c 3 4 Tomamos las dos primeras ecuaciones, de ambas despejamos a : 1 − 2c = − c c = 4 2 3 a = − 3 c Reemplazando
c en alguna de las dos ecuaciones obtenemos el valor de a : a = −2
Ejercicio: tomando la tercera y cuarta ecuaciones, obtener los valores de
− 2 Por lo tanto, la matriz B tal que A ⋅ B = I es B = 3 2 Importante!
Ejercicio: Sea
b y d:
.
No toda matriz cuadrada tiene inversa.
1 2 A= . Intentar hallar la matriz inversa por el método anterior. ¿Qué sucede? 2 4
Importante: • Si una matriz tiene inversa se dice que es invertible o no singular. Si no tiene inversa, se dice que es singular. •
A la matriz inversa de una matriz
A se la denota por A−1 .
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Método de Gauss para hallar la inversa Veremos ahora otra forma de hallar la inversa de una matriz. Primero daremos dos definiciones: Transformaciones elementales dentro de una matriz Se llama transformación elemental por fila (o por columna) dentro (o sobre) una matriz a cada una de las siguientes operaciones: - Intercambiar dos filas (o dos columnas) entre sí. - Multiplicar una fila (o columna) por un escalar (es decir, un número no nulo). - Sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra. Matrices equivalentes Dos matrices son equivalentes si una puede obtenerse a partir de la otra mediante transformaciones elementales. Es decir, dada una matriz M, si le aplicamos una transformación elemental a una fila o columna, obtendremos una nueva matriz, que es equivalente a M. Para calcular la inversa de una matriz con el método de Gauss debemos escribir la matriz dada de una línea vertical, y luego la matriz identidad
I del mismo orden de A , es decir: [A I ]. La idea es,
mediante transformaciones elementales realizadas a las filas de
[I
A
−1
].
A y de I , llegar a obtener lo siguiente:
Veremos el procedimiento con un ejemplo. Vamos a hallar la inversa de la matriz dada antes
1 21 0 3 40 1
1
2
1 0
0 − 2 −3 1
Multiplico la primer fila por (– 3) y la sumo a la segunda fila.
Por lo tanto la matriz inversa de
Multiplico la segunda fila por –(1/2).
A , seguida
1 2 1
0
0 1 3 / 2 1/ 2
1 2 A= 3 4
1 0 − 2 −1 0 1 3 / 2 1/ 2
Multiplico la segunda fila por (– 2) y la sumo a la primer fila.
1 2 − 2 − 1 −1 A= es A = 3 4 3 / 2 1 / 2
Ejercicios:
2 0 1 4 − 1 1) hallar las inversas de M = y de N = 3 0 0 − 3 1 5 1 1 2) Probar con este método que la matriz
1 2 A= dada anteriormente no tiene inversa. 2 4
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APUNTE: Determinantes UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014 Definición A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A. El determinante de A se denota por |A| o por det(A). Cálculo de determinantes Para una matriz de 1x1 el determinante es simplemente el valor de elemento. Por ejemplo: si A = 3 entonces el det( A) = 3
[]
Para una matriz de 2x2 el determinante se calcula así:
a b A= entonces det( A) = a ⋅ d − c ⋅ b c d − 2 11 Ejemplo: si A = entonces det( A) = (−2) ⋅ 5 − (−3) ⋅11 = −10 + 33 = 23 − 3 5
Si
Para una matriz de 3x3 el determinante se calcula fácilmente, haciendo uso de la Regla de Sarrus:
a11 a12 a13 Si A = a 21 a 22 a 23 entonces para calcular el det(A) a31 a32 a33 hacemos: 1) Se calculan los productos de las diagonales positivas y negativas, como muestra la figura. 2) Se suman todos estos productos (cada uno con su signo).
Entonces
det(A) = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21a32 − a11a 23 a32 − a12 a 21a33 − a13 a 22 a31
Otra forma de hallar un determinante de orden 3 es repetir las dos primeras columnas de la siguiente manera:
Luego trazamos las diagonales positivas y negativas, llegando al mismo resultado que con el método anterior:
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9
5 − 5 − 1 − 2 ; 17 Q = 12 11 2
3 9
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices: P = Otra forma de calcular un determinante de orden 3 (o superior)
0
7
− 1
Desarrollo por Cofactores
Primero definiremos:
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por mij y es el determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la
1) Menor complementario del elemento matriz original.
Por ejemplo, sea la siguiente matriz de orden 3:
2 − 5 − 1 M = 10 − 3 7 0 − 9 4
Entonces:
m11 (el menor complementario de a11 ) es el determinante
−3 7 −9 4
m12 =
10
7
0
4
m13 =
10 − 3 −9
0
10
7
0
4
= 10 ⋅ 4 − 0 = 40
m13 (el menor complementario de a13 ) es el determinante
−9 4
= (−3) ⋅ 4 − (−9) ⋅ 7 = −12 + 63 = 51
m12 (el menor complementario de ) a12 es el determinante
m11 =
−3 7
10 − 3 0
−9
= 10 ⋅ (−9) − 0 = −90
Completar:
m21 =
=
m22 =
=
m23 =
=
m31 =
=
m32 =
=
m33 =
=
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2) Cofactor del elemento
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por Cij y es el menor
complementario anteponiéndole el signo (+) o (–) según si la suma de los subíndices También se le llama adjunto del elemento
(i + j ) sea par o impar.
aij .
Entonces: C11 (el cofactor o adjunto de
a11 ) es + 51 pues 1+1=2 (par) C12 (el cofactor o adjunto de a12 ) es − 40 pues 1+2=3 (impar) C13 (el cofactor o adjunto de a13 ) es + ( −90) = −90 pues 1+3=4 (par) Ejercicio: Hallar los cofactores de los demás menores complementarios de la matriz anterior.
C 21 =
C 22 =
C 23 =
C31 =
C32 =
C33 =
M del ejemplo
Como vemos el menor complementario y el cofactor de un mismo elemento de la matriz difieren sólo en el signo. Cálculo del determinante por Desarrollo por Cofactores El determinante de una matriz cuadrada de orden n se puede calcular multiplicando los elementos de cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes. Es decir, para cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n se tiene que:
det( A) = a1 j C1 j + a 2 j C 2 j + ... + a nj C nj desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna det( A) = ai1Ci1 + ai 2 Ci 2 + ... + ain Cin desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila Entonces, para la matriz
M dada anteriormente, el determinante será:
Si tomamos la primer fila:
det( M ) = a11C11 + a12 C12 + a13C13 = 2 ⋅ 51 + (−5) ⋅ (−40) + (−1) ⋅ (−90) = 102 + 200 + 90 = 392 Importante! En general la mejor estrategia para evaluar un determinante mediante cofactores, es hacer el desarrollo a lo largo de la fila o la columna con mayor cantidad de ceros. Ejercicios: 1) Hallar el determinante de la misma matriz M mediante desarrollo por cofactores a lo largo de la primer columna, de la segunda fila y de la tercer fila. 2) Hallar el determinante de la siguiente matriz S , mediante desarrollo por cofactores. (Rta.:30)
1 3 S= − 1 3
1 2 0 1 0 2 0 0 2 1 5 2
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Matriz Adjunta Dada una matriz A de orden n se llama Matriz Adjunta de A o Matriz de Cofactores de A, a la matriz en la cual cada elemento de A se reemplaza por el cofactor correspondiente. Es decir:
a11 a 21 Si A = aij = a31 ..... a n1
[ ]
a12 a 22 a32 an 2
... a1n c11 c ... a 2 n 21 ... a3n entonces Adj ( A) = cij = c31 ..... cn1 ... a nn
[ ]
c12 c22 c32 cn 2
... c1n ... c2 n ... c3n ... cnn
2 − 5 − 1 Ejercicio: escribir la matriz adjunta de la matriz anterior M = 10 − 3 7 0 − 9 4 Propiedades de los determinantes
Propiedad 1 Un determinante es nulo si la matriz: a) Tiene dos filas (o dos columnas) iguales. b) Todos los elementos de una fila (o columna) son ceros. c) Los elementos de una fila (o columna) proceden del producto de un número por los elementos de otra fila (o columna).
Propiedad 2 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de su diagonal principal.
Propiedad 3 El determinante de una matriz es igual al determinante de la traspuesta de la misma matriz. Es decir:
A = AT Propiedad 4 Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Propiedad 5 Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante también se multiplica por ese escalar.
Propiedad 6 Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un escalar, el determinante no varía.
Propiedad 7 El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de las matrices. Es decir:
A⋅ B = A ⋅ B
Propiedad 8
A es invertible entonces el determinante de su inversa es igual determinante de A elevado 1 −1 −1 a la (-1). Es decir: A = A = A Si la matriz
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Ejercicios: 1) Supongamos que el determinante de la matriz determinante si:
A es igual a 8. Calcular cuánto valdrá el
a) Intercambio la fila 1 con la fila 3.
a b c A = d e f g h i
b) Intercambio la fila 1 con la fila 3 y la columna 1 con la columna 2. c) Multiplico a la columna 2 por el número 4. d) La tercera fila está formada por ceros. e) Multiplico la primera fila por 3 y la sumo a la segunda fila. f) ¿Cuánto vale
A −1 ?
g) ¿Cuánto vale
AT ?
2) Utilizando la propiedad 2 anterior, calcular el determinante de la matriz
T:
T =
3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 − 5
1 0 0
Teorema (uno de los más importantes del Algebra Lineal) Una matriz cuadrada
A es invertible si y solamente si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio: Indicar si las siguientes matrices son invertibles o no. Justificar en cada caso.
5 1 6 0 9 1 4 3 0 0 2 5 4 − 1 4 5 4 0 ; 2 9 0 ; 7 4 0 ; 5 7 10 ; − 2 0 ; 3 8 9 9 7 0 9 1 4 5 5 2 3 − 6 6 3 − 12 − 15
2 0 ; 6 9
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0 − 2
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Un tercer método para hallar la inversa: por determinantes
Si A es una matriz invertible entonces se cumple que
A −1 =
1 T ⋅ ( Adj ( A) ) A
2 0 1 0 1 / 3 0 −1 Ejemplo: A = 3 0 0 Probar que A = − 1 − 1 1 5 1 1 1 − 2 / 3 0 Primero calculamos el determinante de la matriz. En este caso, haciendo el desarrollo por la primera fila vemos que el det( A) = 3 . A continuación debemos calcular la matriz adjunta de A. Para ello hallamos los cofactores de cada elemento de A, obteniendo:
0 − 3 3 Adj ( A) = 1 − 3 − 2 0 3 0 Luego hallamos la traspuesta de esta última matriz:
( Adj ( A) )
T
1 0 = − 3 − 3 3 − 2
0 3 0
Por último, dividimos cada elemento de esta última matriz por el determinante de A, es decir, por 3, obteniendo la inversa de A:
1/ 3 0 1 T A = ( Adj ( A) ) = − 1 − 1 A 1 − 2 / 3 −1
0 1 0
0 1 0 − 3 / 8 1 / 8 1 / 4 −1 Ejercicio: con este método probar que la inversa de M = 4 − 2 1 es M = − 1 / 4 − 1 / 4 1 / 2 2 1 1 1 0 0
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APUNTE: Sistemas de Ecuaciones Lineales UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014 Definición Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1 , x2 , x3 ,L, xn es todo conjunto de relaciones del tipo:
S:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + L + a1n x n = b1 a x + a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 LLL a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + L + a mn x n = bm
donde los coeficientes aij y los términos independientes bi son escalares dados. Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) Se dice que el conjunto de escalares k1 , k 2 , L , k n constituyen una solución del sistema S si al tomar
x1 = k1 ; x 2 = k 2 ; …. ; x n = k n las m ecuaciones se convierten en igualdades. Resolver un sistema S es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar el valor de todas las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones simultáneamente. Clasificación de los SEL Un SEL se dice COMPATIBLE si tiene alguna solución e INCOMPATIBLE si no tiene ninguna solución. A su vez, un sistema compatible se dice DETERMINADO si tiene una única solución e INDETERMINADO si tiene más de una. Ejemplos:
x + y + z = 6 x + y − z = 0 1) x + z = 4 x + y = 3
2 x + 3 y − z = 4 2) 4 x + 6 y − 2 z = 8 − 10 x − 15 y + 5 z = 20
Este es un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas ( x, y, z ). Tiene una única solución que es x = 1 ; y = 2 ; z = 3 . Por lo tanto se trata de un sistema compatible determinado.
Este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas ( x, y, z ). Tiene infinitas soluciones de la forma ( x, y,2 x + 3 y − 4) . Por lo tanto se trata de un sistema compatible indeterminado.
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3 x − y = 2 3 x − y = −1
3)
Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ( x, y ). No tiene ninguna solución. Por lo tanto se trata de un sistema incompatible.
Expresión matricial de un sistema Sea el SEL siguiente, de m ecuaciones y n incógnitas:
S:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L + a1n xn = b1 a x + a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 L L L am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + L + amn xn = bm
Definimos:
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Matriz de los coeficientes: es la matriz A = a31 a 32 ... a3 n ..... a m1 a m 2 ... a mn b1 b 2 Matriz de los términos independientes: es la matriz o vector columna B = b3 ..... bm x1 x 2 Matriz de las incógnitas: es la matriz o vector columna X = x3 ..... xn
Entonces, el sistema S puede expresarse de manera matricial de la siguiente forma:
AX = B Es decir:
a11 a12 ... a1n x1 b1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 b2 a31 a32 ... a3n ⋅ x3 = b3 ..... ..... ..... a m1 a m 2 ... a mn x n bm Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Ejemplo: la expresión matricial del SEL del ejemplo anterior es:
x + y + z = 6 x + y − z = 0 1) x + z = 4 x + y = 3
1 1 1 1
1 1 1 − 1 0 1 1 0
6 x 0 ⋅ y = 4 z 3
Ejercicio 1: escribir las expresiones matriciales de los SEL de los ejemplos 2 y 3 anteriores.
2 x + 3 y − z = 4 2) 4 x + 6 y − 2 z = 8 − 10 x − 15 y + 5 z = 20
8 x − y = 7 8 x − y = 10
3)
Observación: notemos que si, dado un SEL en su expresión matricial, efectuamos el producto A ⋅ X = B entre matrices, obtendremos el sistema dado.
Sistemas Homogéneos Un SEL es homogéneo si es de la forma
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + L + a1n x n = 0 a x + a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 23 3 2n n LLL a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m3 x3 + L + a mn x n = 0 o bien (en forma matricial) A ⋅ X = O , donde O es la matriz nula de tamaño mx1. Es decir, que en un sistema homogéneo todos los términos independientes son ceros.
Veamos que: Todo SEL homogéneo tiene por lo menos una solución x1 = x 2 = L = x n = 0 que se llama solución trivial. Por lo tanto, siempre es compatible.
Si tiene alguna otra solución distinta de la trivial, será compatible indeterminado. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Sistemas Equivalentes Si a las ecuaciones que componen un SEL se les aplican una o más de las siguientes operaciones (llamadas operaciones o transformaciones elementales): -
Intercambiar el orden en el que figuran las ecuaciones. Multiplicar una de las ecuaciones por cualquier escalar no nulo. Sumarle a una de las ecuaciones otra cualquiera de ellas. Aplicar cualquier combinación de las operaciones anteriores.
el sistema que se obtiene es equivalente al dado inicialmente. Es decir, es un sistema con las mismas soluciones que el dado.
2 x − 7 y = 3 10 x − 35 y = 15 10 x − 5 y = 8 los sistemas : , y 8 x + 2 y = 5 8 x + 2 y = 5 8 x + 2 y = 5
Ejemplo: dado el SEL
2 x − 7 y = 3 50 y = −7 son equivalentes al primero pues:
10 x − 35 y = 15 se obtuvo multiplicando la primera ecuación por 5. 8 x + 2 y = 5 10 x − 5 y = 8 se obtuvo sumando la segunda ecuación a la primera. 8 x + 2 y = 5 2 x − 7 y = 3 se obtuvo multiplicando la primera ecuación por ( –4) y sumándola a la segunda ecuación. 50 y = −7 *************************************** A continuación analizaremos algunos casos particulares de SEL. De cada uno de ellos veremos ejemplos y su interpretación geométrica. (A) Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) Estos sistemas son los más sencillos. Constan de un par de ecuaciones lineales para las cuales debemos hallar una solución común a ambas.
a11 x + a12 y = b1 a 21 x + a 22 y = b2
Es decir:
Cada ecuación lineal representa una recta en el plano. Por lo tanto se pueden presentar tres casos: • • •
Que las rectas se corten en un punto. Que las rectas no se corten nunca, es decir, sean paralelas. Que las rectas sean coincidentes.
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En el primer caso, tendremos una única solución, que será el punto del plano ( x; y ) donde ambas rectas se intersecan. Por lo tanto, el sistema será compatible determinado. En el segundo caso, no tendremos ninguna solución. Entonces, el sistema será incompatible. En el último caso, habrá infinitas soluciones, ya que cualquier punto que pertenezca a las rectas será solución del sistema. Luego, el sistema será compatible indeterminado. Ejemplos:
2 x − y = 1 Este sistema tiene como solución el punto 12 x − 3 y = −6
1)
3 − ;−4 . Es compatible determinado. 2
Si graficamos ambas rectas en un mismo sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales, obtendremos:
3 − ; −4 2
Un método de resolución de este sistema consiste entonces en graficar ambas rectas. El punto en el que se corten será la solución del sistema. Para verificar que esta solución es correcta, reemplazamos los valores de las incógnitas x = −
3 , y = −4 en 2
ambas ecuaciones del sistema, debiéndose cumplir las igualdades:
2 x − y = 1 12 x − 3 y = − 6
3 2 ⋅ − 2 − (− 4 ) = −3 + 4 = 1 12 ⋅ − 3 − 3 ⋅ (− 4 ) = −18 + 12 = −6 2
Además de este método gráfico, existen otros métodos de resolución, a saber: • •
Método de igualación Método de sustitución Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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En el método de igualación, despejamos una misma variable de ambas ecuaciones. Por ejemplo, la y :
2 x − y = 1 12 x − 3 y = −6
⇒ y = 2x − 1 − 6 − 12 x ⇒y= = 2 + 4x −3
Luego igualamos ambas expresiones: 2 x − 1 = 2 + 4 x y hallamos el valor de x : x = −
3 . 2
Conociendo el valor de x podemos hallar el valor de y reemplazando en cualquiera de las ecuaciones de arriba:
3 y = 2 x − 1 = 2 ⋅ − − 1 = −4 . Luego, y = −4 2 3 ;−4 2
Por lo tanto, la solución del sistema es ( x; y ) = −
Para resolver el sistema por el método de sustitución debemos despejar una de las variables de una de las ecuaciones, y reemplazarla en la otra ecuación. Por ejemplo, si despejamos x en la primera ecuación y la reemplazamos en la segunda ecuación obtendremos:
2x − y = 1 ⇒ x =
1+ y 2
⇒ 6 + 3 y = −6
⇒
Por lo tanto x =
1+ y 1− 4 = 2 2
⇒
1+ y ⇒ 12 ⋅ − 3 y = −6 ⇒ 6 + 6 y − 3 y = −6 2 y = −4 x=−
3 2
5 x + 2 y = −8 Este es un sistema incompatible. El gráfico nos muestra que ambas rectas son paralelas: 5 x + 2 y = 1
2)
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Ejercicio 2: resolver el sistema anterior por los métodos de igualación y de sustitución. Observar qué sucede en este caso. Sacar conclusiones. Igualación:
Sustitución:
4 x − 14 y = 8 Este es un sistema compatible indeterminado, ya que las rectas son coincidentes. − 6 x + 21 y = −12
3)
Ejercicio 3: probar que el sistema anterior es compatible indeterminado por los métodos de igualación y de sustitución. Observar qué sucede en este caso. Sacar conclusiones.
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Ejercicio 4: en los siguientes problemas, plantear el sistema de ecuaciones y luego resolverlo por cualquiera de los métodos vistos: a) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50; si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? (Rta: hay 17 conejos y 33 gallinas) b) Se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de 2 litros y de 5 litros. ¿Cuántas botellas de cada una se han utilizado? (Rta: 20 botellas de 5 litros y 100 de 2 litros) c) Un barco para turismo tiene camarotes dobles y simples. El folleto dice que ofrecen 105 camas distribuidas en 65 camarotes. ¿Cuántos camarotes de cada tipo tiene? (Rta: 25 simples y 40 dobles) d) Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? (Rta: mi padre tiene 35 años y mi hermano tiene 15 años) e) Una agencia de turismo ofrece dos tipos de excursiones en sus dos locales de venta. El primer local vendió 20 excursiones del primer tipo y 30 del segundo tipo, por lo que recaudó 10210$, mientras que el otro local vendió 10 del primer tipo y 12 del segundo tipo, recaudando un monto de 4340$. ¿Cuál es el precio de venta de cada excursión? (Rta: 128$ y 255$)
(B) Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas (3x2) Si a los sistemas de ecuaciones anteriores les agregamos una tercera ecuación, obtendremos un sistema del tipo:
a11 x + a12 y = b1 a 21 x + a 22 y = b2 a x + a y = b 32 3 31 Geométricamente significa que tenemos tres rectas en el plano. Pueden darse varias situaciones según la posición de estas rectas:
Tres rectas paralelas
Dos rectas paralelas y la otra corta a ambas
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Dos rectas coincidentes y la otra paralela a estas
Tres rectas que se cortan de a dos
En todos estos casos el sistema es incompatible, ya que no podemos encontrar un par de valores ( x; y ) que satisfagan a las tres ecuaciones simultáneamente. El siguiente caso:
Tres rectas coincidentes nos muestra un sistema compatible indeterminado ya que, al coincidir las tres rectas, cualquier par de valores ( x; y ) será solución del sistema. Por último, los siguientes casos:
Dos rectas coincidentes y la otra corta a ambas
Tres rectas que se cortan en un punto
Son ejemplos de sistemas compatibles determinados, ya que existe un solo par de valores ( x; y ) que satisface las tres ecuaciones simultáneamente.
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Para resolver estos sistemas, además del método gráfico, podemos tomar dos de las ecuaciones dadas, hallar los valores de las incógnitas mediante uno de los métodos vistos anteriormente, y luego verificar esta solución con la tercera ecuación. Sin embargo, se recomienda resolver estos sistemas mediante otro método, el cual es más eficiente, y que podremos utilizar para sistemas de cualquier número de ecuaciones y de incógnitas. Es el Método de Gauss. Resolución de sistemas de tres ecuaciones y dos incógnitas mediante el Método de Gauss Primero definiremos:
Matriz del sistema o Matriz ampliada asociada: es la matriz
AB =
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n b2
a31
a32
... a3n b3
..... am1
am 2
... amn
a
a12
b1
a22
b2
a32
b3
11 a11 x + a12 y = b1 Entonces, el sistema a 21 x + a 22 y = b2 podemos escribirlo como A B = a 21 a x + a y = b a31 32 3 31
b1
..... bm
Mediante operaciones elementales entre las filas de la matriz obtendremos sistemas equivalentes (ver pág.4) más simples que nos permitirán obtener las soluciones buscadas. La idea es transformar la matriz ampliada A B en
a11
a12
b1
0
α 22
0
0
β2 β3
donde α 22 , β 2 y β 3 son los nuevos escalares que surgen luego de realizar las mencionadas operaciones elementales. Veamos con un ejemplo cómo se aplica este método. Sea el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas:
2 x + y = 9 − 3 x + 2 y = 4 x + 3 y = 17 cuya matriz ampliada asociada es
2
1
9
AB = −3 2
4
1
3
17
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Aplicando sucesivas operaciones elementales obtenemos:
2
1
9
−3 2
4
1
3
17
Multiplico la primer fila por (3/2) y la sumo a la segunda fila.
2
1
9
0 7 / 2 35 / 2 1
3
2
17
1
9
0 7 / 2 35 / 2 0 5/ 2
Multiplico la primer fila por (-1/2) y la sumo a la tercer fila.
25 / 2
2 1 9
0 1 5 0 1 5
Multiplico la segunda fila por (2/7) y multiplico la tercer fila por (2/5)
Vemos que la segunda y tercer filas son iguales. Es decir, que si restamos la segunda fila a la tercera, ésta quedará formada solamente por ceros. Lo que significa que podemos prescindir de esta ecuación.
2 1 9 0 1 5 0 0 0 Por lo tanto, volviendo a escribir el sistema equivalente obtenido, en forma de ecuaciones, tenemos que:
2 x + y = 9 y = 5 Luego, la solución del sistema es x = 2 ; y = 5 . Gráficamente, se observa que este es el punto de intersección de las tres rectas:
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Ejercicio 5: resolver los siguientes sistemas mediante el método de Gauss, e indicar qué tipo de sistemas son:
2 x − y = 5 a) 2 x + 5 y = 11 − x − 2 y = −5
3 − 2 x + 3 y = −9 c) x − 2 y = −10 x − 2y 1 − = 4 2
4 x − 8 y = 6 b) 2 x − 4 y = 3 − 10 x + 20 y = −15
Respuestas: a) x=3 ; y=1
b) compatible indeterminado
1 − 2 x − y = 2 d) 3 x − y = 7 2 x − y = −2
c) incompatible
d) incompatible
Ejercicio 6: Un padre desea repartir 10000$ entre sus dos hijos, de manera que el doble de la cantidad que reciba el primero sumada a lo que reciba el segundo dé 5000$, y que el doble de lo que reciba el segundo sumado a lo que reciba el primero dé 3000$. ¿Podrá el padre realizar esto?
(C) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3x3)
a
11 a11 x + a12 y + a13 z = b1 Son sistemas del tipo: a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 cuya matriz ampliada es A B = a 21 a x + a y + a z = b a31 32 33 3 31
a12
a13 b1
a22
a23 b2
a32
a33 b3
.
Estos sistemas también los resolveremos utilizando el método de Gauss. Entonces, mediante operaciones elementales, la matriz ampliada anterior quedará transformada en
a11
a12
A B = 0 α 22 0
0
a13 b1
α 23 β 2 α 33 β 3
Veamos un ejemplo:
1 3 −2 4 x + 3 y − 2z = 4 Sea el sistema 2 x + 2 y + z = 3 cuya matriz ampliada es 2 2 1 3 . 3x + 2 y + z = 5 3 2 1 5 Entonces:
1 3 −2 4 2 2 1 3 3 2 1 5
1
3 −2 4
0 −4 5 −5 0 −7 7 −7
1
3 −2
4
0 −4 5 −5 0 0 −7/4 7/4
1
3 −2 4
0 −4 5 −5 0 0 1 −1
x + 3 y − 2z = 4 Por lo tanto un sistema equivalente al dado es: − 4 y + 5 z = −5 z = −1
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Como z = −1 entonces − 4 y + 5 ⋅ ( −1) = −5 − 4 y = −5 + 5 = 0 y = 0 Por último: x + 3 ⋅ 0 − 2 ⋅ ( −1) = 4 x + 2 = 4 x = 2 Luego, el sistema es compatible indeterminado ya que tiene una única solución que es la terna (2;0;−1) .
Interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Cada ecuación de este sistema representa un plano en el espacio. Si el sistema es compatible determinado, la solución es el punto en el espacio ( x; y; z ) común a los tres planos. Para imaginarnos esta situación, pensemos en una habitación. El techo y dos paredes contiguas son los tres planos. La esquina donde estos intersecan es el punto común a los tres planos. Por supuesto, no siempre habrá un único punto de intersección entre los tres planos. Puede suceder que los tres planos sean paralelos entre sí. O bien, dos paralelos y el tercero corte a ambos. O que se corten de a dos…
Ejercicio 7: analiza todas las posibles posiciones que pueden tener tres planos entre sí, y en cada caso piensa si se trata de un sistema compatible (determinado o indeterminado) o incompatible. Ejercicio 8: resuelve los siguientes sistemas de 3x3
x − y − 2z = 1 a) x − 2 y + z = −1 x + y + z = 2 Rta: a) comp. det. x =
3x + y + 4 z = 1 b) − 2 x + 2 y − 2 z = −5 x − y + z = 1 4 1 ; y = 1; z = − 3 3
;
b) incompatible ;
4 x − y + z = 3 c) x + 2 y − z = 2 8 x − 2 y + 2 z = 6
c) comp indet.. y = 5 − 5 x ; z = 8 − 9 x
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Ejercicio 9: resuelve los siguientes problemas, planteando previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente. a) Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía? (RTa: 2 del tipo A, 3 del tipo B y 5 del tipo C) b) La suma de las edades de tres hermanos es de 32 años. La edad del mayor es igual a la suma de las edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 años, el mayor doblará la edad del menor. Calcula la edad actual de cada uno de los hermanos. (Rta: 16, 12 y 4 años) c) Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 18. Además, la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos y, por último, si a este número le restamos el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 99. (Rta: el número es 594) d) Los sueldos del padre, la madre y el hijo sumados dan 3250$. La madre gana el doble del hijo. El padre gana 2/3 de lo que gana la madre. ¿Cuánto gana cada uno? (Rta: el padre 1000$, la madre 1500$ y el hijo 750$)
Uso de la matriz inversa para la resolución de sistemas Hemos visto que un SEL puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:
A⋅ X = B Resolver un sistema significa hallar el valor de las incógnitas o variables, es decir, hallar el vector columna X . Vamos a “despejar” X de la ecuación anterior, de la siguiente manera:
o
Primero multiplicamos a izquierda por la inversa de A :
o
Ahora asociamos: A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B
o
Como A −1 ⋅ A = I entonces I ⋅ X = A −1 ⋅ X
o
(
A ⋅ X = B A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B
)
Como la matriz identidad I es el elemento neutro para el producto de matrices (como el número 1 lo es −1 para el producto de números reales), nos queda que: X = A ⋅ B
Esto será válido siempre y cuando A sea cuadrada e invertible. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Por lo tanto, concluimos que: Para resolver el sistema A ⋅ X = B debemos efectuar el producto X = A −1 ⋅ B donde A −1 es la matriz inversa de A
x + 4 y + 2z = 1 Ejemplo: resolver el sistema 3 x + 7 y + 9 z = 1 x + 5 y + z = 2 1 4 2 x 1 Primero escribimos el sistema en forma matricial A ⋅ X = B es decir 3 7 9 ⋅ y = 1 1 5 1 z 2 Luego hallamos la inversa de la matriz A por alguno de los métodos vistos (Gauss, usando determinantes) obteniendo:
− 19 3 11 1 3 −1 A = 3 − − 2 2 1 5 4 − − 2 2 Entonces el vector columna X será:
− 19 3 1 X = A −1 ⋅ B = 3 − 2 1 4 − 2 Por lo tanto la solución del sistema es x = 6 ; y = −
6 11 1 3 1 − ⋅ 1 = − 2 2 2 5 3 − − 2 2
1 3 ;z=− . 2 2
Ejercicio 10: resolver por este método (si es posible) los siguientes sistemas
x + 3 y = 2 a) − y + z = 1 3x − y = 1 Rta: a) x =
1 1 3 ;y= ;z= 2 2 2
2 x + y = 6 4 x + 5 y = 12
b)
b) x = 3 ; y = 0
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Uso de los determinantes para la resolución de sistemas Sistemas de Cramer
Un SEL se dice que es un sistema de Cramer si su matriz de coeficientes A es cuadrada y regular, es decir, si el sistema tiene igual cantidad de incógnitas que de ecuaciones, y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de cero.
Por lo tanto:
a11 a12 ... a1n a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a a 22 ... a 2 n 21 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 S : es de Cramer ⇔ A = a31 a 32 ... a 3n es tal que m = n y L L L ..... a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm a m1 a m 2 ... a mn det( A) ≠ 0
Teorema de Cramer
x1 x 2 Todo sistema de Cramer tiene una y sólo una solución X = , la cual se obtiene de la siguiente manera: ... xn x1 =
∆ ∆1 ∆ ; x 2 = 2 ; ……. ; x n = n ∆ ∆ ∆
donde:
∆ es el determinante de la matriz de coeficientes A y
∆ i es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz A la columna i por la columna de términos independientes .
Veamos cómo funciona este teorema con un ejemplo:
2 x + y − 3 z = 1 2 1 − 3 Sea el sistema S : − x + 5 y + z = 4 . La matriz de coeficientes es A = − 1 5 1 . 3x − 2 y − 4 z = −1 3 − 2 − 4
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Calculamos el det( A) por alguno de los métodos vistos (regla de Sarrus, desarrollo por cofactores) obteniendo ∆ = det( A) = 2 . Hallamos ahora ∆ 1 , ∆ 2 y ∆ 3 :
1
1
∆1 = 4 5 −1 − 2 2
−3 1 =6 −4
1 −3
∆2 = −1 4 1 = 2 3 −1 − 4 2
1
1
∆3 = − 1 5 4 = 4 3 − 2 −1 Luego, las soluciones son:
x = x1 =
∆ ∆1 6 ∆ 2 4 = = 3 ; y = x 2 = 2 = = 1 ; z = x3 = 3 = = 2 ∆ 2 ∆ ∆ 2 2
Ejercicio 11:
Determinar si los siguientes SEL son sistemas de Cramer. En caso afirmativo, hallar su solución mediante el Teorema de Cramer.
x + y + z = 0 a) 3 x + 2 y + z = 1 5 x + 3 y + 3z = 3 a) x =
3 1 ; y = −2 ; z = 2 2
3x + z = −1 b) 5 x + 3 y = 2 x + y + z = 1 b) x = −
4 14 1 ;y= ;z= 11 11 11
x − y − z = 9 c) 2 x − 2 y − 2 z = 4 x + y + z = 1 c) Incompatible
Ejercicio 12: Resuelve los siguientes problemas aplicando cualquiera de los métodos vistos, planteando previamente en cada caso el sistema de ecuaciones correspondiente: a) Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del 76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo? (Rta: la cadena 9 gramos y el anillo 3 gramos) b) Un fabricante produce tres artículos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y 3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por año, y los costos de producción por cada unidad son 4$, 5$ y 7$ respectivamente. En el año 2008 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ingresos. Si el costo total fue de 80000$, ¿cuántas unidades de cada producto fabricaron en el año 2008? (Rta: 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 de C).
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APUNTE: APUNTE: Introducción a la Programación Lineal UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014
Definición La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización. La palabra programación se refiere a programar, en el sentido de cómo resolver un problema de asignación de recursos. La palabra lineal indica que en el planteo del problema se utilizarán ecuaciones e inecuaciones, todas ellas lineales.
Desigualdades lineales en dos variables
Una desigualdad lineal con las variables x e y, es una expresión que tiene alguna de las siguientes formas:
ax + by + c < 0 ax + by + c ≥ 0
ax + by + c > 0
ax + by + c ≤ 0
donde a, b y c son constantes y a y b no pueden ser nulas simultáneamente.
Geométricamente, la solución (o gráfica) de una desigualdad de este tipo consiste en todos los puntos (x ; y) del plano cuyas coordenadas satisfacen dicha desigualdad. Por ejemplo: dada la desigualdad 2 x + y − 3 < 0 , los puntos ( ½ ; 0), (0 ; 2) y (– 4 ; 1) son algunas soluciones de esta desigualdad pues: 2⋅
1 + 0 − 3 = −2 < 0 2
2 ⋅ 0 + 2 − 3 = −1 < 0
2 ⋅ (−4) + 1 − 3 = −10 < 0
En cambio, los puntos (1 ; 1) , (0 ; 5) y (2 ; 0) no son soluciones pues: 2 ⋅1 + 1 − 3 = 0 = 0
2⋅0+5−3 = 2 > 0
2⋅2 + 0 −3 =1> 0
Se ve que existe un número infinito de soluciones. Para graficar la solución de una desigualdad es recomendable graficar primero la recta ax + by + c = 0 y luego analizar si la región del plano que verifica la desigualdad se encuentra por encima o por
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debajo de la recta. En caso de desigualdades estrictas, los puntos sobre la recta no formarán parte de la solución. Ejemplo: vamos a hallar la solución de la desigualdad: 3 x − 4 y − 12 ≤ 0 Primero graficamos la recta 3 x − 4 y − 12 = 0 o bien 3 x − 4 y = 12
Para saber si la solución es la región por encima o por debajo de la recta, tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el origen (0 ; 0) y remplazamos en la desigualdad. Si se cumple, significa que el origen pertenece a la solución. Sino, la solución es la otra región. Para nuestro ejemplo: 3 x − 4 y − 12 ≤ 0 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 0 − 12 = −12 ≤ 0 Por lo tanto, la solución, es la región por encima de la recta, incluyendo la misma recta.
Supongamos ahora que tenemos un sistema de dos desigualdades lineales en dos variables. Para hallar la solución, graficamos ambas desigualdades. La región común será la solución del sistema. Ejemplo: x − y > 4 Sea el sistema 3 x + 2 y < 3 Gráfica 1
Gráfica 2
Gráfica 3
En la Gráfica 1 se representa la solución de la primera inecuación. En la Gráfica 2 la solución de la segunda inecuación del sistema. Por último, en la Gráfica 3 se muestra la solución del sistema, que es la región común entre las dos regiones anteriores. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Aplicaciones de las desigualdades lineales Les proponemos resolver los siguientes problemas:
1) Juan dispone de 10$ para comprar caramelos y chicles. Cada caramelo cuesta quince centavos y cada chicle cuesta cuarenta centavos. ¿Qué cantidad de chicles y caramelos puede comprar? a) Escribir una inecuación que describa esta situación. b) Indicar algunas posibles soluciones. c) Graficar la solución de la desigualdad. Solución
2) Una agencia de turismo vende dos tipos de excursiones A y B. Para cubrir los gastos generales debe vender al menos 50 excursiones por semana, y debido a que la Secretaría de Turismo desea promocionar el destino de la excursión A, debe vender al menos el doble de excursiones tipo A que de tipo B. a) Escribir un sistema de desigualdades para describir la situación. b) Graficar la región que representa la solución de este sistema. Solución
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Programación Lineal La Programación Lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático que consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Por ejemplo, puede ser el caso de un fabricante que desee maximizar su función de utilidad sujeta a las restricciones de producción que imponen las limitaciones sobre el uso de la maquinaria y la mano de obra. Definiremos algunos conceptos previamente:
Función objetivo Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema. Es la función que se desea maximizar o minimizar. Tiene la siguiente forma: Z = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn donde ai ∈ R ; xi son las variables
Conjunto de restricciones Es un conjunto de ecuaciones o inecuaciones lineales que representan las limitaciones del problema. Cada restricción tiene la siguiente forma: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b o bien
a1 x1 + a 2 x2 + ... + a n xn < b
o bien
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≤ b
o bien
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn > b
o bien
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≥ b
Región factible Es la región solución del conjunto de restricciones. Puede ser acotada o no, dependiendo de las inecuaciones.
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Solución posible Es cualquier conjunto de valores de las variables que satisface el conjunto de restricciones.
Solución óptima Es aquella solución posible que optimiza la función objetivo.
Resolución de un problema de PL Se recomienda seguir ciertos pasos en la resolución de un problema de PL. Veamos un ejemplo resuelto donde se detallan esos pasos.
Una compañía fabrica dos productos X e Y. Cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X necesita 5 hs. de ensamblado y 2 hs. de acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 hs. de ensamblado y 4 de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 hs. en la línea de ensamblado y 70 hs. en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de 200$ por cada artículo de X y 160$ por cada artículo de Y. a) Calcular el número de artículos de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total. b) Hallar a cuánto asciende esa utilidad total.
Primer paso: Tabular los datos Ordenamos la información brindada por el enunciado del problema, obteniendo la siguiente tabla:
X Y Disponibilidad
Ensamblado 5 3 105
Acabado 2 4 70
Utilidad 200 160
Segundo paso: Definir las variables Es fundamental tener en claro cuántas variables necesitaremos y el significado de cada una. Para este ejemplo definimos: x: cantidad de artículos del tipo X y: cantidad de artículos del tipo Y
Tercer paso: Escribir la función objetivo A continuación, escribimos la expresión de la función que deseamos optimizar, en este caso la función utilidad: Z = 200 x + 160 y Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Cuarto paso: Escribir el conjunto de restricciones En base a la información tabulada, armamos las inecuaciones. La primera está referida al tiempo de ensamblado. La segunda al tiempo de acabado. La tercera es necesaria, ya que x e y representan cantidades, por lo tanto, deben ser valores no negativos. 5 x + 3 y ≤ 105 ; 2 x + 4 y ≤ 70 ; x, y ≥ 0
Quinto paso: Escribir el resumen del problema Resumimos la función objetivo y las restricciones, obteniendo: Maximizar Z = 200 x + 160 y s.a:
5 x + 3 y ≤ 105 2 x + 4 y ≤ 70 x, y ≥ 0
s.a. significa “sujeta a”
Sexto paso: Resolver Veremos dos métodos de resolución: el método gráfico y el método analítico.
a) Método gráfico Este método permite resolver problemas de dos variables. Se grafican las restricciones, hallando la región factible. Cualquier punto dentro de esta región es una solución posible del problema. La solución óptima se encuentra en uno de los vértices del polígono.
A= (0 ; 17,5)
B=(15 ; 10)
Región factible D=(0 ; 0)
C=(21 ; 0)
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Para obtener cuál es el vértice que da la solución óptima, igualamos a cero la función objetivo y se la hace pasar por el origen. Esta recta se llama “vector director”. Luego se trazan paralelas al vector director que pasen por los distintos vértices. La recta paralela que pasa por el último vértice nos indica que éste es el punto que maximiza la función objetivo, y el punto más cercano es el que la minimiza.
Para nuestro ejemplo obtenemos lo siguiente:
(15 ; 10)
Las rectas marcadas con trazo más grueso son la función objetivo que pasa por el origen (vector director) y una paralela que pasa por el último vértice del polígono, el punto (15 ; 10). Por lo tanto, este es el punto que maximiza la función objetivo. Es decir, deben fabricarse 15 unidades del artículo X y 10 unidades del artículo Y para obtener la mayor utilidad.
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Para responder a la pregunta del inciso b), reemplazamos estos valores de x e y hallados en la función objetivo, y encontramos a cuánto asciende la utilidad total máxima.
Z = 200 x + 160 y Z = 200 ⋅ 15 + 160 ⋅ 10 Z = 4600
b) Método analítico Para resolver el problema en forma analítica, primero debemos transformar el conjunto de restricciones en igualdades. Para esto agregamos nuevas variables (llamadas variables slacks). Es decir:
5 x + 3 y ≤ 105 5 x + 3 y + t = 105 2 x + 4 y ≤ 70 2 x + 4 y + u = 70 x, y ≥ 0 x, y , t , u ≥ 0 Ahora iremos anulando de a dos variables, y resolviendo el sistema de ecuaciones que nos quede. Por ejemplo, si anulamos x e y nos queda t=105 , u=70. Resolviendo la función objetivo en este caso nos da Z=0. El punto correspondiente del gráfico es el origen (0 ; 0). Ahora anulamos x y t. Entonces nos queda 3y=105 ; 4y+u=70. Es decir: y=35 ; u=–70. Este es un caso “no factible” ya que obtuvimos una variable con valor negativo, por lo tanto se descarta. Corresponde a un punto fuera de la región factible. La siguiente tabla muestra la resolución analítica completa:
Variables anuladas
Sistema de ecuaciones
Solución
Valor de la función objetivo
Punto en la gráfica
x
y
t = 105 u = 70
t = 105 u = 70
Z=0
D = (0 ; 0)
x
t
3 y = 105 4 y + u = 70
y = 35 u = −70
No factible
Fuera de la región factible
x
u
3 y + t = 105 4 y = 70
t = 52,5 y = 17,5
Z = 2800
A = (0 ; 17,5)
y
t
5 x = 105 2 x + u = 70
x = 21 u = 28
Z = 4200
C = (21 ; 0)
y
u
5 x + t = 105 2 x + 4 y = 70
t = −70 x = 35
No factible
Fuera de la región factible
t
u
5 x + 3 y = 105 2 x + 4 y = 70
x = 15 y = 10
Z = 4600
B = (15 ; 10)
Vemos que llegamos al mismo resultado que en forma gráfica: el punto que optimiza la función de utilidad Z es el punto B = (15 ; 10).
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Problemas propuestos Resolver cada uno de los siguientes problemas indicando todos los pasos y por ambos métodos. 1) Una compañía produce dos tipos de abrelatas: manuales y eléctricos. Para su fabricación cada uno requiere del uso de tres máquinas A, B y C. Para fabricar un abrelatas manual se necesitan dos horas de uso de la máquina A, una hora de la B y una hora de la C. Para fabricar un abrelatas eléctrico se requiere una hora de la máquina A, dos horas de la B y una hora de la C. El número máximo de horas disponibles por mes para uso de las máquinas A, B y C es de 180, 160 y 100 horas respectivamente. La ganancia por un abrelatas manual es de 4$ y por uno eléctrico es de 6$. Si la compañía vende todos los abrelatas que puede producir, ¿cuántos de cada tipo debe producir para maximizar las ganancias mensuales? 2) Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias primas M1 y M2. Para fabricar 1 tonelada de A hacen falta 500 kg de M1 y 750 kg de M2, mientras que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para fabricar 1 tonelada de B son 800 kg y 400 kg, respectivamente. Le empresa tiene contratado un suministro máximo de 10 toneladas de cada materia prima y vende a 1000 dólares y 1500 dólares cada tonelada de abono A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son estos? 3) Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 pesos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y 15 mg de vitamina B-2, y cuesta 8 pesos. ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina B al menor costo?
Bibliografía consultada para el armado del apunte de Programación Lineal: a) HAEUSSLER, JR. Matemáticas para la administración y economía. Editorial Pearson. México, 2008. b) JAGDISH, C. ARYA, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, Editorial Pearson, México, 2002 c) http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary4.html d) http://www.vadenumeros.es/primero/graficas-de-inecuaciones.htm e) http://www.investigacion-operaciones.com/Grafica_Inecuaciones.htm
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APUNTE: Funciones de Varias Variables UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014
o
Introducción
Hasta ahora hemos trabajado con funciones que dependen de una sola variable, pero en muchas situaciones ocurre que una magnitud es función de dos o más variables. Así, la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estatura. El volumen ocupado por un gas depende directamente de su temperatura (es decir, a mayor temperatura, mayor volumen) e inversamente de la presión (es decir, a mayor presión, menor volumen). El volumen de un cilindro circular recto (por ejemplo, una lata de gaseosa) depende de dos variables: la altura del cilindro y el radio de la circunferencia. La fórmula para calcular 2 dicho volumen es: V = π ⋅ r ⋅ h donde r es el radio y h la altura.
El volumen de un paralelepípedo depende de tres variables: el ancho, el alto y el espesor. La fórmula para calcular dicho volumen es: V = a ⋅ b ⋅ c donde a es el ancho, b el espesor y c la altura. El precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción, del costo de los materiales y de los gastos generales. La cantidad de agua en un depósito puede depender de la cantidad de lluvia caída y de la cantidad de agua consumida por los habitantes. La demanda de un producto puede depender de su precio y también del precio de venta de la marca competidora. Todos los casos anteriores son ejemplos de funciones de varias variables. Veamos un ejemplo de cómo trabajar con este tipo de funciones. Ejemplo: Una tienda de licores comercializa dos marcas de vino: A y B. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino también del precio de la marca competidora. Los cálculos de ventas indican que si el vino A se vende a x pesos la botella y el vino B se vende a y pesos la botella, la demanda del
D A = 300 − 20 x + 30 y botellas por mes, y la demanda del vino B será de DB = 200 + 40 x − 10 y botellas por mes. Expresar el ingreso total mensual de la tienda en la venta de esos vinos como una función de los precios x e y . vino A será de
Solución: Calculamos primero el ingreso que tendrá la tienda por cada tipo de vino. El ingreso por el vino A será I A ( x, y ) = (300 − 20 x + 30 y ) ⋅ x El ingreso por el vino B será I B ( x, y ) = (200 + 40 x − 10 y ) ⋅ y Luego, el ingreso total será la suma de ambos, es decir:
I ( x, y ) = (300 − 20 x + 30 y ) ⋅ x + (200 + 40 x − 10 y ) ⋅ y I ( x, y ) = 300 x + 200 y + 70 xy − 20 x 2 − 10 y 2 Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Notemos que al escribir I ( x, y ) estamos indicando que el ingreso depende de ambos precios: el del vino A (es decir, x) y el del vino B (es decir, y). Por ejemplo, si el vino A se vende a 75$ la botella y el vino B a 60$, los ingresos que obtendrá la tienda en ese mes por la venta de ambos vinos será:
I (75,60) = 300 ⋅ 75 + 200 ⋅ 60 + 70 ⋅ 75 ⋅ 60 − 20 ⋅ (75) 2 − 10 ⋅ (60) 2 = 201.000 $ o
Conceptos previos
Espacios numéricos n-dimensionales 1) Recta real: cuando trabajamos con números reales y queremos representarlos, utilizamos la recta real. En ella, ubicamos al 0 (cero), a la derecha de él los reales positivos y a su izquierda los reales negativos. Entonces, a cada punto de la recta le asociamos un número real, y recíprocamente, cada número real tiene un punto en la recta real que lo representa. Este conjunto es un espacio de una dimensión y lo llamamos R . Lo utilizamos para representar, a los números reales y a subconjuntos de los reales, tales como intervalos, o para representar el dominio e imagen de una función de una variable real. Así, decimos que 3 ∈ R o que (− 1;2 ) ⊂ R .
2) Plano real: si se toman dos rectas reales como la anterior, y se ubican en forma perpendicular, cuya intersección sea el 0 (cero), formamos un sistema de dos ejes cartesianos ortogonales, normalmente llamado plano real.
Es un espacio de dos dimensiones al que denominamos R 2 . Aquí cada punto del plano es un par ordenado ( x, y ) . x e y se llaman componentes o coordenadas del punto. Cada par ordenado tiene un solo punto del plano que lo representa, y para cada punto del plano hay un par ordenado.
2 2 Así, podemos escribir que el punto (2;3) ∈ R , o que el punto ( −1.5;−2.5) ∈ R . 2 Luego, R 2 es el conjunto de todos los pares ordenados de reales, es decir: R = { ( x, y ) / x ∈ R ∧ y ∈ R }
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3) Espacio real: ahora vamos a considerar un sistema formado por tres ejes reales X, Y, Z, mutuamente perpendiculares en el espacio. Para darnos una idea de este sistema, podemos pensar en el ángulo que se forma en el piso de una habitación, donde convergen dos paredes y el piso. El punto de la esquina es el origen (0,0,0) de coordenadas, y las aristas que delimitan las paredes y el piso, son los ejes.
Z
Y
(0,0,0)
X A cada punto del espacio tridimensional o espacio de tres dimensiones le corresponde una terna ordenada de números reales ( x, y , z ) . El conjunto de todas estas ternas forman el espacio, que llamamos R 3 . Luego:
R 3 = { ( x, y, z ) tal que x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R }
3 Así, podemos escribir que el punto (7, 11, 8) ∈ R . La representación gráfica de este punto se muestra a continuación.
Z 8 (7;11;8) 11
Y
(0;0;0) 7 X Si un punto (x ; y ; z) ∈ R 3 tiene una coordenada nula, significa que se encuentra sobre algunos de los planos coordenados XY, YZ o XZ. Por ejemplo, el punto (1 ; 2 ; 0) se encuentra sobre el plano coordenado XY ya que su coordenada en Z es cero.
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o
Función de dos variables reales
Una función de dos variables se puede expresar explícitamente mediante una ecuación z = f ( x, y ) o implícitamente por la ecuación F ( x, y , z ) = 0 siendo x, y variables independientes y z la variable dependiente. La función f asigna a cada par ordenado de números reales ( x ; y ) de un conjunto de partida (o dominio) incluido en el plano R 2 , un único número real z . La definición de función de dos variables reales exige que se cumplan las mismas condiciones que para la función de una variable real: existencia y unicidad de la imagen para todos los elementos del dominio. Observemos que mientras que en una función de una variable real el dominio es un subconjunto de R , en una función de dos variables reales, el dominio es un subconjunto de R 2 .
Definición Dado A ⊂ R 2 , una relación f : A → R es una función, si y solamente si se verifica que todo par ordenado ( x, y ) ∈ A tiene una única imagen z ∈ R . Se escribe que z = f ( x, y ) .
A
R
f
(x,y)
z
Llamamos Dominio de la función al conjunto de partida A ⊂ R 2 y Codominio al conjunto de llegada R . El Conjunto Imagen es un subconjunto del codominio, es decir, un subconjunto de los reales, formado por todos los elementos z que son imagen de algún elemento de A .
Dominio Si el dominio de una función de dos variables no está expresamente indicado, debemos hallarlo, de la misma manera que lo hacemos con funciones de una variable real. Por ejemplo: sea la función z ( x, y ) =
2 . x + y2 2
Para hallar el dominio, debemos excluir todos los pares ordenados ( x, y ) que anulan el denominador. En este caso, esto sucede cuando x = y = 0 . 2 Luego, el dominio es: Dom = R − { (0,0) } .
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Observemos que el dominio de una función de dos variables puede representarse geométricamente por una región del plano XY, ya que cada par ordenado ( x, y ) está representado por un punto del plano. Ejemplo: determinar y representar gráficamente el dominio de la función z = f ( x, y ) =
− x2 − y2 + 4
Para que esta expresión tome valores reales debe cumplirse que el radicando no sea negativo. Es decir:
− x2 − y2 + 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≥ x2 + y2 ⇔ x2 + y2 ≤ 4
{
2 2 2 Por lo tanto, el dominio de esta función es: Dom = ( x, y ) ∈ R / x + y ≤ 4
}
Los puntos del plano que satisfacen esta desigualdad son los que pertenecen al círculo centrado en el origen y de radio 2, es decir, los puntos que están sobre la circunferencia de radio 2 y los interiores a ella.
Ejemplos de aplicaciones de funciones de dos variables reales (1) El ITH En días húmedos y calurosos, mucha gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado numéricamente por el llamado índice temperatura–humedad (ITH), que es una función de dos variables t s (temperatura en ºF de bulbo seco del aire) y t h (temperatura en ºF de bulbo húmedo del aire) que vale:
ITH = f (t s ; t h ) = 15 + 0,4 ⋅ (t s + t h ) Si el ITH es mayor que 75, se sabe que la mayoría de la gente se siente incómoda. Muchos dispositivos eléctricos responden a este índice y pueden anticipar la demanda de aire acondicionado en sus sistemas. Por ejemplo, si t s = 90º F y t h = 80º F entonces ITH = f (90;80 ) = 15 + 0,4 ⋅ (90 + 80 ) = 83 . Ejercicio: averigua las diferencias entre termómetro de bulbo seco y de bulbo húmedo. Busca aplicaciones del ITH en la ganadería. Conceptos relacionados: humedad relativa, tabla psicrométrica. (2) La función de Cobb-Douglas La función de producción llamada Cobb-Douglas relaciona a los insumos de capital y trabajo necesarios para producir de la manera más eficiente posible una determinada cantidad de un bien. Se expresa de la siguiente manera:
Y = f (K ; L ) = A ⋅ K α ⋅ Lβ donde α , β ≥ 0 son constantes paramétricas que verifican que α + β = 1 si los rendimientos son constantes a escala, K ≥ 0 es la cantidad de capital , L ≥ 0 es la cantidad de trabajo , A > 0 es una constante que representa el estado de la tecnología e Y es la cantidad máxima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital y trabajo. 0 , 25 ⋅ L0, 75 Por ejemplo, si A = 1,01 ; α = 0,25 ; β = 0,75 entonces: Y = f (K ; L ) = 1,01 ⋅ K
Ejercicio: encuentra la expresión linearizada de la función de Cobb-Douglas, utilizando logaritmos.
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o
Representación gráfica de una función de dos variables
La representación gráfica de una función de dos variables z = f ( x, y ) está dada por una superficie formada por todos los puntos del espacio R 3 que son ternas de la forma ( x, y, z ) = ( x, y, f ( x, y ) ) donde los pares ordenados ( x, y ) pertenecen al dominio de la función. Veamos algunos ejemplos: 2
2
La gráfica de la función z = f ( x; y ) = x + y + 1 es la que se observa a la derecha. Esta superficie se llama PARABOLOIDE.
La gráfica de la izquierda corresponde a la función z = f ( x; y ) = 2 − y . Es un PLANO. En general una expresión de la forma z = f ( x, y ) = Ax + By + C representa un plano en R 3 . También puede expresarse en forma implícita de la siguiente manera: Dx + Ey + Fz + G = 0 donde A,..., G son números reales. Cómo graficar un plano Veremos dos maneras de realizar la gráfica de un plano. a) En primer lugar debemos hallar las intersecciones con los ejes coordenados X, Y y Z. Por ejemplo, vamos a representar el plano dado en forma implícita por la ecuación 2 x + 3 y + z − 6 = 0 . Esta misma función en forma explícita es: z = f ( x, y ) = −2 x − 3 y + 6 . Primero hallamos las intersecciones con el eje X, haciendo y = z = 0 . Obtenemos: 2 x − 6 = 0 x = 3 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (3 ; 0 ; 0). Análogamente, con el eje Y, haciendo x = z = 0 . Entonces: 3 y − 6 = 0 y = 2 . Por lo tanto, el punto de intersección de plano con el eje Y es (0 ; 2 ; 0). Finalmente, con el eje Z hacemos x = y = 0 , de donde z − 6 = 0 z = 6 . Luego, el punto de intersección del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 6). Unimos estos tres puntos mediante segmentos de rectas, y obtendremos el siguiente gráfico:
Z 6
2
Y
3 X Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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b) El segundo método consiste en hallar las ecuaciones de las rectas en los planos coordenados XY, YZ y XZ. Para esto anulamos de a una variable por vez. Así, en el ejemplo anterior: Si x = 0 entonces 3 y + z − 6 = 0 z = −3 y + 6 Recta en el plano YZ Si y = 0 entonces 2 x + z − 6 = 0 z = −2 x + 6 Recta en el plano XZ Si z = 0 entonces 2 x + 3 y − 6 = 0 y = −
2 x + 2 Recta en el plano XY 3
Graficamos estas tres rectas y obtendremos nuevamente el mismo gráfico de plano.
Z
z = −2 x + 6
z = −3 y + 6
Y 2 y =− x+2 3
X Estos dos métodos para graficar, pueden generalizarse para cualquier función de dos variables. Veamos por 2 2 ejemplo, cómo graficar la función z = f ( x; y ) = x + y . Por el primer método, hallamos los puntos de intersección con los ejes coordenados X, Y y Z de la siguiente manera: Intersección con el eje X y = z = 0 0 = 0 + y 2 y = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje X es (0 ; 0 ; 0). Intersección con el eje Y x = z = 0 0 = x 2 + 0 x = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Y es (0 ; 0 ; 0). Intersección con el eje Z x = y = 0 z = 0 + 0 z = 0 Entonces, el punto de intersección del plano con el eje Z es (0 ; 0 ; 0). Por lo tanto, en este caso particular, la superficie intersecta a los ejes coordenados sólo en el origen. Ahora veamos cuáles son las intersecciones con los planos coordenados XY, XZ e YZ: 2 Si x = 0 entonces z = y Parábola el plano YZ 2 Si y = 0 entonces z = x Parábola en el plano XZ
Si z = 0 entonces 0 = x 2 + y 2 x = 0 ∧ y = 0 Punto ( 0 ; 0 ) en el plano XY
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4
Notemos que si por ejemplo z = 4 nos queda: 4 = x 2 + y 2 que es una circunferencia de radio 2 con centro en el origen. Luego, el gráfico de esta función, que se llama PARABOLOIDE CIRCULAR, es el que se muestra a la derecha.
2
o
(0;0;0)
2
Aplicaciones económicas de las funciones de dos variables reales
Veamos ahora algunas funciones de dos variables que se aplican en la Economía y en la Administración. 1) Función de Demanda a) D1 = f ( p1 ; p2 ) expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio p1 y del precio p2 de otro bien relacionado. b) D2 = f ( p ; I ) expresa la cantidad demandada de un bien como función de su precio p y del nivel de ingresos del consumidor I . 2) Función de Ingreso
I = f (q1 ; q2 ) = p1 ⋅ q1 + p2 ⋅ q2 expresa el ingreso que obtiene un productor al vender las cantidades q1 y q2 de dos bienes Q1 y Q2 a los precios unitarios p1 y p2 respectivamente. 3) Función de Costo Total de Producción
C = f (q1 ; q2 ) = c1 ⋅ q1 + c2 ⋅ q2 + CF expresa el costo total que se tiene al producir las cantidades q1 y q2 de dos bienes Q1 y Q2 cuyos costos unitarios son c1 y c2 siendo CF los costos fijos. 4) Producción
q = f ( x1 ; x2 ) expresa la cantidad total de un producto que se puede elaborar en función de las cantidades de los insumos o recursos x1 y x2 . También puede aparecer expresada en función del trabajo y del capital q = f (T , K ) . 5) Producción conjunta x = f (q1 ; q2 ) expresa la cantidad total de un insumo X utilizado para producir las cantidades q1 y q2 de los bienes Q1 y Q2 . Esta función se aplica cuando un mismo insumo se utiliza en la producción de más de un bien, como por ejemplo la leche, que se utiliza para producir queso y manteca. 6) Utilidad
U = f (q1 ; q2 ) expresa el nivel de satisfacción o preferencia de un consumidor cuando adquiere las cantidades q1 y q2 de los bienes Q1 y Q2 .
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48
o
Curvas de nivel
En el ejemplo del paraboloide z = x 2 + y 2 , le dimos un valor fijo a la variable z , y obtuvimos una curva en XY, en ese caso, una circunferencia. La proyección de esta circunferencia sobre el plano coordenado XY, se denomina curva de nivel de la función. Definición Dada una función z = f ( x, y ) se llama curva de nivel C z =k al conjunto de puntos ( x, y ) pertenecientes al dominio de la función, para los que se verifica que f ( x, y ) = k . Características generales
Las curvas de nivel se utilizan en topografía, en el diseño de mapas y cartas topográficas, para representar una región en el plano, es decir, permiten mostrar en una hoja de papel (dos dimensiones) cómo es una región (tres dimensiones). Supongamos que queremos representar en un plano un cerro. Para esto, se trazan planos horizontales equidistantes que “atraviesan” el cerro. La intersección entre estos planos y el cerro son curvas, que luego se proyectan en el plano. Así obtenemos un conjunto de curvas de nivel. Este “mapa” que se obtiene se denomina mapa de contorno.
Vamos a armar el mapa de contornos para la función del ejemplo anterior, el paraboloide z = f ( x; y ) = x 2 + y 2 . Debemos ir dándole valores a z , así:
z = 0 0 = x 2 + y 2 x = 0 ∧ y = 0 es el punto (0;0) z = 1 1 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 z = 2 2 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio
2
z = 3 3 = x 2 + y 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio
3
2
2
z = 4 4 = x + y es la circunferencia centrada en el origen y de radio 2 En la gráfica siguiente se muestra el mapa de contornos del paraboloide circular z = f ( x; y ) = x 2 + y 2 , para valores enteros de z entre 1 y 20.
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49
y
4
3
2
1
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
Entonces, las curvas de nivel para está función son todas circunferencias centradas en el origen, cuyo radio es
z. Notemos que la distancia entre las curvas de nivel no es siempre la misma. A medida que z aumenta, las circunferencias están cada vez más cerca una de otra. En general, cuando las curvas de nivel están muy próximas entre sí, significa que hay un aumento de pendiente mayor en la superficie, y si están más alejadas, la pendiente es más “suave”.
B
Por ejemplo, en la gráfica de la derecha, las líneas dentro del círculo A están más espaciadas, lo que indica una pendiente más suave que las líneas que están dentro del círculo B, que están más próximas entre sí.
A
Una propiedad de las curvas de nivel es que nunca se intersectan entre ellas. Otra característica es que en una curva de nivel, todos los puntos que la forman se encuentran a la misma altura en la superficie. Debido a esto es que las curvas de nivel tienen muchas aplicaciones. Además del uso en las cartas topográficas, como ya hemos visto, se utilizan en diversas ciencias, tomando distintas denominaciones: Isóbatas: son curvas que se usan para representar puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como también en lagos de grandes dimensiones. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Isotermas: son líneas imaginarias que unen puntos en la superficie terrestre de igual temperatura, que se trazan a intervalos regulares, por ejemplo, cada diez grados centígrados. Isohietas: son líneas imaginarias que unen puntos de igual precipitación media. (También se llaman isoyetas) Isobaras: son líneas imaginarias que unen puntos de igual presión atmosférica.
Mapa de Isotermas
Mapa de Isohietas
Mapa de Isobaras Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Aplicaciones de las curvas de nivel en Economía y Administración Función económica
Curva de nivel
Utilidad
Curva de Indiferencia
Ingreso por ventas
Isoingreso
Coste total
Isocoste
Producción
Isocuanta
Producción conjunta
Curva de transformación o de Isoinsumo
Interpretación económica Es el conjunto de todas las combinaciones de compras que le permiten obtener al consumidor el mismo nivel de satisfacción. Indica todas las combinaciones de ventas con las que el productor obtiene el mismo ingreso. Indica todas las combinaciones de insumos de producción que tienen un mismo coste. Indica todas las combinaciones de cantidades de insumos con las que se puede elaborar una misma cantidad de producto. Cuando se utiliza un insumo para producir más de un producto, una curva de isoinsumo indica todas las combinaciones de las cantidades de los dos productos que se pueden obtener con una misma cantidad de ese insumo.
Ejemplos: 1) Hallar y representar las curvas de indiferencia que corresponden a la función de utilidad U = q1 ⋅ q2 , para los siguientes niveles de utilidad: U = 1 , U = 2 . q2 Solución Si U = 1 entonces 1 = q1 ⋅ q2 q2 =
Si U = 2 entonces 2 = q1 ⋅ q2 q2 =
1 q1
U=2
2 q1
U=1
q1
Las ecuaciones obtenidas corresponden a hipérbolas equiláteras, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos. 2) Obtener las líneas de isocoste correspondientes a la función de costos C = 2 x1 + 3 x2 + 10 , donde
x1 ; x2 representan las cantidades de insumos utilizados, y el costo fijo de producción es 10, para los siguientes niveles de costo: C = 16 , C = 22 . x2 Solución Si C = 16 entonces 16 = 2 x1 + 3 x2 + 10 x2 = −
2 x1 + 2 3
2 Si C = 22 entonces 22 = 2 x1 + 3 x2 + 10 x2 = − x1 + 4 3
2 1
C=22 C=16
x1 3
Las ecuaciones obtenidas corresponden a rectas paralelas de pendiente –2/3, y de distinta ordenada al origen, de las que sólo consideramos el primer cuadrante debido a que las variables no pueden tomar valores negativos.
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o
Derivadas parciales
Sea z = f ( x, y ) una función de dos variables reales cuya gráfica es la superficie S , y sea P = ( a, b, c) un punto sobre la superficie. La expresión y = b representa un plano vertical, cuya intersección con la superficie S es la curva C1 . Sea g ( x) la función que da origen a esta curva. Sea T1 la recta tangente a la curva C1 en el punto P . La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la función g en el punto P , es decir, g´(a ) . Podemos escribir que g´(a ) = f x ( a, b) , y se llama derivada parcial respecto de x. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C1 en el punto P .
Análogamente, sea el plano vertical x = a cuya intersección con S es la curva C2 , cuya expresión es g ( y ) . Sea T2 la recta tangente a esta curva en el punto P . La pendiente de esta recta tangente es la derivada de la función g en el punto P , es decir, g´(b) . Podemos escribir que g´(b) = f y ( a, b) , y se llama derivada parcial respecto de y. Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva C2 en el punto P .
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Entonces: una derivada parcial de una función de dos variables es una derivada en la cual una de las variables permanece fija; por lo tanto, se transforma en una derivada de una función de una variable. Si queremos hallar la derivada parcial respecto de x mantenemos fija (constante) la variable y, y si hallamos la derivada parcial respecto de y, mantenemos fija a la x. Si z = f ( x, y ) entonces:
∂f ∂x ∂f la derivada parcial de f respecto de y se denota f y ( x, y ) = ∂y la derivada parcial de f respecto de x se denota f x ( x, y ) =
Teniendo en cuenta que una derivada es una razón de cambio, podemos decir que:
∂f es la razón de cambio de f respecto a x cuando y se mantiene fija ∂x ∂f f y ( x, y ) = es la razón de cambio de f respecto a y cuando x se mantiene fija ∂y f x ( x, y ) =
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de z = f ( x, y ) = 2 y 2 + x 2 y − 2 x en el punto P = (1,2,8) Solución:
f x ( x, y ) =
∂f = 2 xy − 2 ∂x
f x (1,2) =
∂f (1,2) = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 2 ∂x
f y ( x, y ) =
∂f = 4 y + x2 ∂y
f y (1,2) =
∂f (1,2) = 4 ⋅ 2 + 1 = 9 ∂y
Interpretación Geométrica de las derivadas parciales
∂f ∂f y pueden interpretarse geométricamente como las ∂x ∂y pendientes de las rectas tangentes a la superficie z = f ( x, y ) en las direcciones x e y respectivamente. Si z = f ( x, y ) entonces las derivadas parciales
Aplicaciones de las derivadas parciales Los conceptos vistos en funciones de una variable real, tales como costos marginales, ingresos marginales, etc., se aplican también en funciones de varias variables. 1) Costos marginales Si la función de costo total conjunto de un fabricante que produce x unidades de un producto X e y unidades de un producto Y , es C = f ( x, y ) , entonces se llama:
∂C , y es la razón de cambio de C con ∂x respecto a x cuando y se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es fijo.
a) costo marginal (parcial) con respecto a x a la derivada parcial
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∂C , y es la razón de cambio de C con ∂y respecto a y cuando x se mantiene fija. Es el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo.
b) costo marginal (parcial) con respecto a y a la derivada parcial
Ejemplo: Una compañía fabrica dos tipos de esquíes, los modelos A y B. Supongamos que la función de costos conjuntos de producir x pares del modelo A e y pares del modelo B por semana está dado por
C = f ( x, y ) = 0,07 x 2 + 75 x + 85 y + 6000 , donde C se expresa en dólares. Determinar los costos marginales cuando x = 100 e y = 50 . Interpretar los resultados. Solución: Hallamos las derivadas parciales de C respecto a x e y, y las evaluamos en el punto (100 ; 50):
C x ( x, y ) =
∂C ∂C = 0,14 x + 75 C x (100,50) = (100,50) = 0,14 ⋅ 100 + 75 = 89 (1) ∂x ∂x
C y ( x, y ) =
∂C ∂C = 85 C y (100,50) = (100,50) = 85 ∂y ∂y
(2)
La ecuación (1) implica que al aumentar la producción del modelo A de 100 a 101, mientras se mantenga constante en 50 la producción del modelo B, aumentan los costos aproximadamente en $89. La ecuación (2) implica que al aumentar la producción del modelo B de 50 a 51, mientras se mantiene constante en 100 la producción de modelo A, aumentan los costos aproximadamente en $85. Como C y ( x, y ) =
∂C es una función constante, significa que el costo marginal con respecto a y es de $85 en ∂y
todos los niveles de producción.
2) Ingresos Marginales Si la función de ingreso de un fabricante que vende x unidades de un producto X e y unidades de un producto Y , es I = f ( x, y ) , entonces se llama:
∂I , y es la razón de cambio de I con respecto ∂x a x cuando y se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de X cuando el nivel de ventas de Y es fijo.
a) ingreso (parcial) con respecto a x a la derivada parcial
∂I , y es la razón de cambio de I con respecto ∂x a y cuando x se mantiene fija. Es el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de Y cuando el nivel de ventas de X es fijo. b) ingreso (parcial) con respecto a y a la derivada parcial
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3) Productividad Marginal La fabricación de un producto depende de muchos factores de producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etc. Si, por simplicidad, suponemos que la producción sólo depende del trabajo y del capital, es decir, P = f (t , k ) , entonces se llama: a) productividad marginal con respecto a t a la derivada parcial
∂P , y es la razón de cambio de P con ∂t
respecto a t cuando k se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el trabajo t en una unidad adicional cuando el capital k es fijo. b) productividad marginal con respecto a k a la derivada parcial
∂P , y es la razón de cambio de P con ∂k
respecto a k cuando t se mantiene fijo. Es el incremento aproximado de la producción al aumentar el capital k en una unidad adicional cuando el trabajo t es fijo.
4) Demanda Marginal Sean A y B dos artículos relacionados tales que el precio de uno afecta la demanda del otro. Si x1 es la cantidad demandada del artículo A, y x2 es la cantidad demandada del artículo B, p1 y p2 son los precios de ambos artículos, entonces las funciones de demanda pueden expresarse así: x1 = f ( p1 ; p2 ) , x2 = g ( p1 ; p2 ) . Definimos: a) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p1 a la derivada parcial
∂x1 , y es la razón de cambio ∂p1
de x1 con respecto a p1 cuando p2 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo. b) demanda marginal parcial de x1 con respecto a p2 a la derivada parcial
∂x1 , y es la razón de cambio ∂p2
de x1 con respecto a p2 cuando p1 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de A al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo. c) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p1 a la derivada parcial
∂x2 , y es la razón de cambio ∂p1
de x2 con respecto a p1 cuando p2 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al aumentar una unidad del precio de A cuando el precio de B es fijo. d) demanda marginal parcial de x2 con respecto a p2 a la derivada parcial
∂x2 , y es la razón de cambio ∂p2
de x2 con respecto a p2 cuando p1 se mantiene fijo. Es la demanda aproximada de B al aumentar una unidad del precio de B cuando el precio de A es fijo. Demandas marginales cruzadas Las demandas anteriores b) y c) se denominan demandas marginales cruzadas. Pueden ser positivas o negativas, dependiendo de cómo es la interacción entre los productos.
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Productos complementarios y productos competitivos Teniendo en cuenta las demandas marginales cruzadas, pueden darse tres casos:
i)
∂x1 ∂x 0 ∂p2 ∂p1
Los artículos SON COMPETITIVOS (o SUSTITUTOS), ya que un aumento en el precio del artículo A hace aumentar la demanda del artículo B, si el precio del artículo B no cambia.
iii)
∂x1 ∂x2 ∂x ∂x2 >0 ∧ 0 ∧ > 0 entonces ambos productos son competitivos. ∂p2 ∂p1
Elasticidades Parciales
Sea z = f ( x, y ) , entonces la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a x se define como la elasticidad de z respecto a x cuando la variable y es constante. Es decir:
Elast ( f , x) = ε ( f , x) =
x ⋅ f x ( x, y ) f ( x, y )
El valor obtenido ε ( f , x) es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del 1 % de x , mientras y permanece constante. Análogamente, la elasticidad parcial de z (o de f) respecto a y se define como la elasticidad de z respecto a y cuando la variable x es constante. Es decir:
Elast ( f , y ) = ε ( f , y ) =
y ⋅ f y ( x, y ) f ( x, y )
El valor obtenido ε ( f , y ) es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un aumento del 1 % de y , mientras x permanece constante.
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Ejemplo: Hallar la elasticidad de la función z = f ( x, y ) = x 2 y 5 respecto a x y luego respecto a y . Solución: Primero hallamos las derivadas parciales f x y f y :
f x ( x, y ) = 2 xy 5 ; f y ( x, y ) = 5 x 2 y 4 Luego calculamos las elasticidades:
εx =
x x y y ⋅ f x ( x, y ) = 2 5 ⋅ 2 xy 5 = 2 ; ε y = ⋅ f y ( x, y ) = 2 5 ⋅ 5 x 2 y 4 = 5 f ( x, y ) x y f ( x, y ) x y
Luego, las elasticidades respecto a x e y son 2 y 5 respectivamente. Aplicación de la elasticidad: Elasticidades parciales de la demanda Sean dos funciones de demanda x1 = f ( p1 ; p2 ) , x2 = g ( p1 ; p2 ) . La elasticidad parcial de la demanda es la razón del cambio proporcional en la cantidad demandada de un artículo y el cambio proporcional en el precio de tal artículo, siendo constante el precio de otro artículo. Entonces, tendremos cuatro tipos de elasticidades parciales:
ε ( x1 , p1 ) =
p1 ∂x ⋅ 1 x1 ( p1 , p2 ) ∂p1
La elasticidad parcial de la demanda x1 con respecto al precio p1 ,
ε ( x1 , p2 ) =
p2 ∂x ⋅ 1 x1 ( p1 , p2 ) ∂p2
La elasticidad parcial de la demanda x1 con respecto al precio p2 ,
ε ( x2 , p1 ) =
p1 ∂x ⋅ 2 x12 ( p1 , p2 ) ∂p1
La elasticidad parcial de la demanda x2 con respecto al precio p1 ,
ε ( x2 , p2 ) =
p2 ∂x ⋅ 2 x2 ( p1 , p2 ) ∂p2
La elasticidad parcial de la demanda x2 con respecto al precio p2 ,
para un precio p2 constante.
para un precio p1 constante.
para un precio p2 constante.
para un precio p1 constante.
Ejemplo: Dada la función de demanda x ( p A ; p B ) = 400 + 0,5 p B − 10 p A
2
para el artículo A relacionado con el artículo
B, determinar las elasticidades parciales de la demanda respecto de p A y p B cuando p A = 6 y p B = 50 . Interpretar el resultado. Solución: Primero hallamos las derivadas parciales:
∂x ∂x = −20 p A ; = 0,5 ∂p A ∂p B
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Cuando p A = 6 y p B = 50 resulta que x (6;50) = 400 + 0,5 ⋅ 50 − 10 ⋅ 6 2 = 65 Evalúo las derivadas parciales en estos valores:
∂x ∂x = −120 ; = 0,5 ∂p A ( 6;50) ∂p B ( 6;50)
Por lo tanto:
ε ( x, p A ) =
6 pA ∂x ⋅ = ⋅ (−120) ≈ −11,08 x( p A , p B ) ∂p A 65
ε ( x, p B ) =
∂x 50 pB ⋅ = ⋅ (0,5) ≈ 0,38 x( p A , p B ) ∂p B 65
Esto significa que: un incremento cercano al 1 % en el precio del artículo A producirá una baja del 11,08 % en la demanda de este artículo, mientras que este mismo incremento en el precio del artículo B ocasiona un aumento del 0,38 % en la demanda de A.
o
Máximos y Mínimos en Funciones de dos variables
Los conceptos de máximos y mínimos locales en funciones de dos variables son análogos a los de una variable real. Definición Diremos que una función de dos variables z = f ( x, y ) tiene un máximo local en (a, b, f (a, b) ) si f (a, b) ≥ f ( x, y ) , ∀( x, y ) dentro de un disco con centro en (a, b) . Diremos que una función de dos variables z = f ( x, y ) tiene un mínimo local en (a, b, f (a, b) ) si f (a, b) ≤ f ( x, y ) , ∀( x, y ) dentro de un disco con centro en (a, b) .
Propiedad Si z = f ( x, y ) tiene un extremo local (es decir, un máximo o mínimo local) en (a, b, f (a, b) ) , y las derivadas parciales en ese punto existen, entonces se cumple que estas derivadas son nulas. Es decir:
∂f ∂f ( a, b) ∧ ∃ f y ( a, b) = ( a, b) , ∂x ∂y ∂f ∂f entonces f x (a, b) = ( a , b ) = 0 ∧ f y ( a, b) = ( a, b) = 0 . ∂x ∂y
Si (a, b, f (a, b) ) es extremo local de z = f ( x, y ) y ∃ f x (a, b) =
Punto crítico Un punto (a, b, f (a, b) ) para el cual las derivadas parciales son nulas o alguna de ambas no existe, se llama punto crítico o punto estacionario de f . En un punto crítico, la función puede tener un MAXIMO RELATIVO, un MINIMO RELATIVO, o un PUNTO SILLA. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2014
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Derivadas Parciales Sucesivas Al igual que en funciones de una variable real, podemos hallar las derivadas parciales de orden superior: segundas, terceras, etc., supuesto que existan. Veremos únicamente cómo hallar y utilizar las segundas derivadas parciales. Segundas derivadas parciales (o derivadas parciales de segundo orden) Sea la función z = f ( x, y ) cuyas primeras derivadas parciales son f x ( x, y ) y f y ( x, y ) . Entonces, esta función tiene cuatro segundas derivadas parciales que se denotan con subíndices colocados en el orden en que se realizan las derivaciones. Las segundas derivadas parciales de z = f ( x, y ) son:
f xx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂x ∂x ∂x 2
Se deriva dos veces respecto a x
f yy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂y ∂y ∂y 2
Se deriva dos veces respecto a y
f xy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂y ∂x ∂y∂x
Se deriva primero respecto a x, y después respecto a y
f yx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f = ∂x ∂y ∂x∂y
Se deriva primero respecto a y, y después respecto a x
Se llaman derivadas parciales mixtas
Propiedad de las derivadas parciales mixtas Si las derivadas parciales mixtas de una función de dos variables son continuas en una región abierta, entonces para todo punto dentro de esa región, se cumple que ambas derivadas son iguales. Es decir: f x y ( x, y ) = f y x ( x, y ) Ejemplo: Sea la función z = f ( x, y ) = e x ⋅ sen( y ) . Hallar sus primeras y segundas derivadas parciales. Verificar que las derivadas parciales mixtas son iguales. Solución:
f x ( x, y ) =
∂f ∂f = e x ⋅ sen( y ) ; f y ( x, y ) = = e x ⋅ cos( y ) ∂x ∂y
f xx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f x = = −e x ⋅ sen( y ) = 2 = e ⋅ sen( y ) ; f yy ( x, y ) = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y 2
f xy ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f = = e x ⋅ cos( y ) ; f yx ( x, y ) = = e x ⋅ cos( y ) = ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y
Discriminante o Hessiano Es el determinante de la matriz formada por las segundas derivadas parciales de una función, de la siguiente forma:
H=
f xx
f xy
f yx
f yy
[ ]
= f xx ⋅ f yy − f xy
2
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Análisis del Punto Crítico Criterio de la Derivada Segunda Una vez hallado el punto crítico (a; b) , veamos cómo saber si es un extremo o no. Para esto utilizaremos las segundas derivadas parciales. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea z = f ( x, y ) una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene el punto (a; b) , en el cual las primeras derivadas parciales son nulas, es decir: f x (a, b) = 0 ∧ f y (a, b) = 0 . Calculamos el Hessiano de la función en el punto (a; b) :
H=
f xx (a, b)
f xy (a, b)
f yx (a, b)
f yy (a, b)
[
= f xx (a, b) ⋅ f yy (a, b) − f xy (a, b)
]
2
Entonces: 1. Si H > 0 y f xx (a, b) > 0 entonces hay un MINIMO RELATIVO en (a; b) . 2. Si H > 0 y f xx (a, b) < 0 entonces hay un MAXIMO RELATIVO en (a; b) . 3. Si H < 0 entonces el punto (a; b; f (a, b)) es un PUNTO SILLA. 4. Si H = 0 , el criterio no es concluyente.
Ejemplo: Sea z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 14 . a) Hallar sus derivadas parciales. b) Hallar sus puntos críticos. c) Hallar sus segundas derivadas parciales. d) Analizar si los puntos críticos son extremos o puntos silla. Solución: a) f x ( x, y ) =
∂f = 2x − 2 ; ∂x
b) f x ( x, y ) =
∂f ( x, y ) = 0 2 x − 2 = 0 x = 1 ∂x
f y ( x, y ) =
∂f = 2y − 6 ∂y
∂f f y ( x, y ) = ( x, y ) = 0 2 y − 6 = 0 y = 3 ∂y
c) f xx ( x, y ) =
∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f = = = 2 ; f ( x , y ) = =2 yy ∂x ∂x ∂x 2 ∂y ∂y ∂y 2 ∂f ∂f ∂ f ∂f ∂f ∂ f = = 0 ; f yx ( x, y ) = =0 = ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2
f xy ( x, y ) =
Por lo tanto, el único punto crítico es (1;3)
Por lo tanto, H = 4
2
d) Como H > 0 y f xx (1,3) > 0 entonces el punto (1;3) es un MINIMO RELATIVO.
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Punto silla Veamos un ejemplo de una función que tiene un punto silla. Sea z = f ( x, y ) = y 2 − x 2 . Sus derivadas parciales son f x ( x, y ) = −2 x ; f y ( x, y ) = 2 y . Por lo tanto, su único punto crítico es el punto (0,0) . Sus segundas derivadas parciales son
f xx ( x, y ) = −2 ; f yy ( x, y ) = 2 ; f yx ( x, y ) = f xy ( x, y ) = 0 . Luego, D = −4 < 0 . Por lo tanto la función tiene un punto silla en (0,0,0).
o
Maximización y minimización
Al igual que en funciones de una variable, podemos maximizar y minimizar funciones de más de una variable. Veamos cómo trabajar en estos casos con un problema de aplicación. Ejemplo: Sea P = f (t , k ) = 0,54t 2 − 0,02t 3 + 1,89k 2 − 0,09k 3 una función de producción donde t y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de t y k que maximizan P . Solución: Primero hallamos las derivadas parciales de P respecto de t y k :
∂P = 1,08t − 0,06t 2 ∂t
;
∂P = 3,78k − 0,27 k 2 ∂k
Luego hallamos los puntos críticos:
1,08t − 0,06t 2 = t ⋅ (1,08 − 0,06t ) = 0 t = 0 , t = 18 3,78k − 0,27 k 2 = k ⋅ (3,78 − 0,27 k ) = 0 k = 0 , k = 14 Por lo tanto, tenemos 4 puntos críticos: (0;0), (0;14), (18;0) y (18;14) Ahora calculamos las derivadas segundas: f t t = 1,08 − 0,12t ; f k k = 3,78 − 0,54k ; f t k = f k t = 0 Evaluamos en cada punto crítico: i) f t t (0,0) = 1,08 ; f k k (0,0) = 3,78 H = 1,08 ⋅ 3,78 = 4,0824 > 0 en (0;0) hay un MINIMO. ii) f t t (0,14) = 1,08 ; f k k (0,14) = 3,78 − 0,54 ⋅ 14 = −3,78 H = 1,08 ⋅ (− 3,78) = −4,0824 < 0 en (0;14) hay un PUNTO SILLA. iii) f t t (18,0) = 1,08 − 0,12 ⋅ 18 = −1,08 ; f k k (18,0) = 3,78 H = (−1,08) ⋅ 3,78 = −4,0824 < 0 en (18;0) hay un PUNTO SILLA. iv) f t t (18,14) = 1,08 − 0,12 ⋅ 18 = −1.08 ; f k k (18,14) = 3,78 − 0,54 ⋅ 14 = −3,78 H = (−1,08) ⋅ (−3,78) = 4,0824 > 0 en (18;14) hay un MAXIMO. Luego, los valores de t y k que maximizan P son t = 18 y k = 14 .
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o
Diferencial total
Definición
Si z = f ( x, y ) es una función de dos variables reales, y ∆x , ∆y son los incrementos de x e y , se llaman diferenciales de las variables independientes x e y a: dx = ∆x y dy = ∆y y la diferencial total de la variable dependiente z se define como:
dz =
∂z ∂z dx + dy = f x ( x, y ) dx + f y ( x, y ) dy ∂x ∂y
Ejemplo: 2 2 Hallar la diferencial total de la función z = 2 x ⋅ sen( y ) − 3 x y
Solución: Como f x ( x, y ) = 2 ⋅ sen( y ) − 6 xy 2
f y ( x, y ) = 2 x ⋅ cos( y ) − 6 x 2 y
,y,
(
)
(
)
Entonces: dz = 2 ⋅ sen( y ) − 6 xy 2 dx + 2 x ⋅ cos( y ) − 6 x 2 y dy
Aplicación de la diferencial total Veamos con un ejemplo cómo se aplica la diferencial total en economía: 1
1
En una cierta fábrica, la producción diaria es de Q = 60 K 2T 3 unidades, donde K representa el capital invertido medido en unidades de 1000 dólares y T es el tamaño de la fuerza de trabajo medido en horas-hombre. El capital actualmente invertido es de 900000 dólares y se usan cada día 1000 horas-hombre. Estimar el cambio que resultará en la producción si la inversión de capital aumenta en 1000 dólares y el trabajo aumenta en 2 horas-hombre. Solución:
∂Q ∂Q dT = f K ( K , T ) dK + f T ( K , T ) dT dK + ∂K ∂T Como K = 900 , T = 1000 , dK = 1 , dL = 2 , y las derivadas parciales son: dQ =
Tenemos que
f K (K ,T ) =
60 ⋅ T 2⋅K
entonces: dQ =
1 1
= 2
K dQ =
K
30 ⋅ T
30 ⋅ (1000) (900)
1
2
1 1
1
30 ⋅ T
3
1
1
3
2
3
dK +
2
, f K (K ,T ) =
20 ⋅ K T
3
⋅1 +
1
3⋅T
2
1
2
= 3
20 ⋅ K T
2
1
2
3
2
dT
3
20 ⋅ (900) (1000)
1
60 ⋅ K
2
1
3
2
⋅2 =
30 ⋅ 10 20 ⋅ 30 ⋅1 + ⋅ 2 = 10 + 12 = 22 30 100
Esto significa que la producción aumentará aproximadamente en 22 unidades.
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APUNTE: Extremos condicionados – Multiplicadores de Lagrange UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 2 Carreras: Lic. en Administración, Lic. en Turismo, Lic. en Hotelería Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 2do Año: 2014
Extremos condicionados Hemos visto anteriormente cómo hallar los extremos (máximos, mínimos o puntos silla) de una función de varias variables. Ahora estudiaremos el modo de encontrar un extremo, pero cuando la función debe cumplir una cierta condición. En este caso, diremos que buscaremos los “extremos condicionados” dejando el nombre de “extremos libres” para los casos en los que la función no está sujeta a ninguna restricción. Veremos cómo proceder mediante un ejemplo. Supongamos la siguiente situación: Una empresa desea fabricar un envase de forma rectangular sin tapa para su producto. Dicho recipiente debe tener un volumen de 62,5 cm3, pero desea que su superficie total sea la mínima posible, ya que el material empleado es caro y no puede desaprovecharlo. ¿Qué medidas debe tener ese recipiente para gastar lo menos posible de material en su fabricación?
La función que se desea optimizar, en este caso minimizar, es el área del envase rectangular, que viene determinado por la suma de las superficies de sus caras. Si “x” es el ancho, “y” es el largo y “z” la altura del envase, entonces la función a minimizar será: z S = f ( x, y, z ) = 2 xz + 2 yz + xy
(1)
La restricción es el volumen del recipiente, que debe ser de 62, 5 cm3.
x
y
Por lo tanto tendremos que: x ⋅ y ⋅ z = 62,5 o bien g ( x, y, z ) = x ⋅ y ⋅ z − 62,5 = 0
(2)
Veamos ahora cómo resolver este problema. Despejemos una de las variables de la función de restricción, por ejemplo, la “z”: z=
62,5 x⋅ y
(3)
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Ahora sustituimos este valor de “z” en la función a optimizar S, quedando entonces esta función sólo de dos variables, y no de tres como era inicialmente: S = f ( x, y ) = 2 x ⋅
125 125 62,5 62,5 + + xy + 2y ⋅ + xy S = f ( x, y ) = y x x⋅ y x⋅ y
Hallamos las derivadas parciales de esta función, respecto a “x” y a “y”: f x ( x, y ) = −
125 +y ; x2
f y ( x, y ) = −
125 +x y2
Igualamos a cero estas derivadas, para hallar los puntos críticos: −
125 125 125 125 + y=0 ; − 2 +x=0 y= 2 − +x=0 2 2 x y x 125 2 x
x−
x3 x4 = 0 x = 0 ó x = 3 125 = 5 = 0 x ⋅ 1 − 125 125
Como las variables son longitudes, deben ser positivas. Por lo tanto x = 5 y = 5 De la ecuación (3) surge que: z = 2,5 Entonces el punto crítico es ( x; y ) = (5;5) . Veamos que este punto crítico es un mínimo. Hallamos las derivadas segundas parciales, y armamos el Hessiano: f xx =
250 x3
f xx (5;5) =
H (5;5) =
2 1 1 2
250 250 250 = 2 ; f yy = 3 f yy (5;5) = 3 = 2 ; f xy = f yx = 1 3 5 y 5
=3
Como H > 0 , y , f xx (5;5) > 0 entonces, según el criterio de las segundas derivadas parciales, hay un mínimo en el punto (5 ; 5).
Luego, las medidas que minimizan la superficie del envase son: 5 cm para el ancho y el largo, y 2,5 cm para la altura.
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Multiplicadores de Lagrange En general, el método anterior no puede aplicarse cuando tenemos muchas variables, o bien, cuando no puede despejarse una variable de la función de restricción. Por eso se utiliza otra manera de resolver este tipo de problemas. El método más utilizado es el conocido como Método de los Multiplicadores de Lagrange. Resolvamos el problema anterior mediante este método. Para ello debemos definir una nueva función a la que llamaremos F, que tiene los mismos parámetros de f más un nuevo parámetro λ . Esta función F se define así: F ( x, y, z , λ ) = f ( x, y, z ) − λ ⋅ g ( x, y, z ) (4) Reemplazando por (1) y (2) obtenemos: F ( x, y, z , λ ) = 2 xz + 2 yz + xy − λ ⋅ ( x ⋅ y ⋅ z − 62,5)
Hallamos ahora las derivadas parciales de F , y las igualamos a cero:
Fx F y Fz F λ
= 0 ⇒ 2 z + y − λyz = 0
(5)
= 0 ⇒ 2 z + x − λxz = 0
( 6)
= 0 ⇒ 2 x + 2 y − λxy = 0
( 7)
= 0 ⇒ − x ⋅ y ⋅ z + 62,5 = 0
(8)
De (5) obtenemos que z (2 − λy ) = − y z =
De (6) obtenemos que z (2 − λx) = − x z =
−y 2 − λy
−x 2 − λx
Igualando las dos ecuaciones anteriores obtenemos:
−y −x = − y ( 2 − λx ) = − x ( 2 − λy ) 2 − λy 2 − λx
− 2 y + λxy = −2 x + λxy x = y De (7) obtenemos que 2 x + 2 y − λxy = 0 2 x + 2 x − λx 2 = 0 4 x − λx 2 = x(4 − λx) = 0 x=0 ó x=
Luego: x =
4
λ
4
λ
y=
. Como x es el ancho del envase, no puede ser cero. 4
λ
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−y Como, por (6) z = z= 2 − λy
−
4
λ
4 2 − λ λ
De (8) obtenemos que: x ⋅ y ⋅ z = 62,5
z=
2
λ
4 4 2 32 ⋅ ⋅ = 62,5 = λ3 λ = 0,8 λ λ λ 62,5
Por lo tanto: x = 5 , y = 5 , z = 2,5 . Luego, el único punto crítico de f sujeto a la restricción dada, es (5 , 5). En este punto puede existir un máximo, un mínimo, o ninguno de éstos. El método de los multiplicadores de Lagrange no indica directamente qué es. Para averiguarlo realizamos un paso adicional, el cual consiste en construir el denominado “Hessiano orlado”.
El Hessiano orlado Es el determinante de la matriz formada por las segundas derivadas parciales de la función F ( x, y, z , λ ) , y las primeras derivadas parciales de la función restricción g ( x, y, z ) , de la siguiente forma:
gx
gy
H = g x Fxx
Fxy
g y Fyx
Fyy
0
Este determinante se evalúa en el punto (5 ; 5 ; 2,5). Si es positivo, significa que el punto crítico condicionado es un máximo, y si es negativo es un mínimo. Para nuestro ejemplo, veremos que H 0 entonces hay un MAXIMO en (a; b) .
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Aplicaciones económicas Veremos a continuación cómo aplicar el método de los Multiplicadores de Lagrange a un problema en el cual debemos optimizar una función económica, sujeta a una restricción presupuestaria. Sea el siguiente problema: El nivel de satisfacción de un consumidor al comprar las cantidades x e y de dos artículos A y B está dado por la expresión U = f ( x, y ) = x ⋅ y . Si la renta del consumidor es de 100 U.M. y los precios unitarios de los bienes A y B son 2 U.M. y 5 U.M. respectivamente, determinar la combinación de las cantidades x e y que hagan máxima la utilidad, y que pueda adquirir el consumidor con la renta mencionada. Solución: La función a maximizar es la función de utilidad f ( x, y ) = x ⋅ y sujeta a la restricción presupuestaria 2 x + 5 y = 100 . Es decir, g ( x, y ) = 2 x + 5 y − 100 = 0 Armamos la función lagrangeana: F ( x, y, z , λ ) = x ⋅ y − λ (2 x + 5 y − 100) Hallamos las derivadas parciales de esta función, y las igualamos a cero: Fx = y − 2λ = 0 Fy = x − 5λ = 0 Fλ = 2 x + 5 y − 100 = 0 Hallamos los valores de x, y, λ : x = 5λ ; y = 2λ 2 ⋅ 5λ + 5 ⋅ 2λ − 100 = 0 20λ = 100 λ = 5 Por lo tanto: x = 25 : y = 10 . El punto crítico condicionado es entonces (25 ; 10). Calculamos las derivadas parciales segundas de F y las evaluamos en este punto:
Fxx = 0 Fyy = 0 Fxy = Fyx = 1 Calculamos las derivadas parciales de g y las evaluamos en el punto:
g x = 2 g y = 5 Construimos el Hessiano orlado:
0 2 5 H = 2 0 1 = 20 > 0 5 1 0 Por lo tanto, el punto (25 ;10) es un máximo. Entonces, con una renta de 100 U.M., si el consumidor adquiere 25 unidades del artículo A y 10 unidades del B, obtendrá la máxima utilidad.
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