Tarea 4 ´ Algebra Lineal 8 de Abril 1. Considerar la funci´ on f : M3×2 (F) → M2×2 (F), definida por     a11 a12 a13 2a11 − a12 a13 + 2a12 f = . a21 a22 a23 0 0 Encuentra bases para la imagen y el n´ ucleo y emplea los teoremas adecuados para determinar si es inyectiva o suprayectiva. 2. Sea f : V → W una funci´on lineal entre espacios vectoriales tales que dim(V ) = dim(W ), demuestra entonces que f es inyectiva si y solo si f es suprayectiva. 3. Encuentra un ejemplo de una transformaci´on lineal f : R2 → R2 , tal que ker(f ) = Im(f ). 4. Sea W un subespacio de V un espacio vectorial de dimensi´on finita. Demostrar que existe una proyecci´on sobre W . 5. Sea V un espacio vectorial n-dimensional con una base ordenada B. Definiendo T : V → Fn como T (v) = [v]B (los coeficientes de v en la base B), demuestra que T es lineal. 6. Considera a C como espacio vectorial sobre R, demuestra que la conjugaci´ on z 7→ z es R-lineal y encuentra su matriz en la base {1, i}. Demostrar adem´ as que la conjugaci´on no es C-lineal. 7. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y P : V → V una proyecci´on. Describe como escoger una base de V , tal que la matriz de P en esa base sea diagonal. 8. Encuentra transformaciones lineales f, g: F2 → F2 , tales que f ◦ g = 0, pero g ◦ f 6= 0, de esa manera encuentra tambien matrices A y B tales que AB = 0 y BA 6= 0 9. Sea V un espacio vectorial y f : V → V lineal. Demuestra que f 2 = 0 si y solo si la imagen de f esta contenida en el n´ ucleo de f . 10. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y f : V → V lineal.

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(a) Si Im(f ) = Im(f 2 ), demostrar que Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0} y deduce que V = Im(f ) ⊕ Ker(f ) (b) Demuestra que existe un entero positivo k, tal que V = Im(f k ) ⊕ Ker(f k ) 11. Encuentra una matriz A ∈ M2 (R), tal que tr(A) ≤ 0. 12. Sea T : M2 (R) → R[x]3 de las matrices cuadradas de 2×2 en los polinomios de grado menor o igual a 3, dada por   a b T = a + bx + cx2 + dx3 c d demuestra que es un isomorfismo (es lineal e invertible). 13. Sea A ∈ Mn (F) una matriz cuadrada, triangular superior, estricta, esto es aij = 0 para i ≤ j; demuestra por inducci´on que An = 0

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