Tarea 6 ´ Algebra Lineal 28 de Mayo 1. Considera el vector b = (4, 2, 1) y la matriz:   1 2 1 1 0 1 0 1 0 (a) Escalona A. (b) Encuentra el rango de A. (c) Determina el (sub)espacio de soluciones del sistema homog´eneo Ax = 0. (d) Resuelve el sistema Ax = b, describiendo todas sus soluciones (si las hay). 2. Sea A ∈ M3×3 (F) verifica que P (t) el polinomio caracter´ıstico de A es igual a: −P (t) = t3 − tr(A)t2 + (det(A11 ) + det(A22 ) + det(A33 ))t − det(A) Donde Aii denota la matriz que se obtiene de A al eliminar el rengl´on y la columna i-esimos. 3. Sean U y V espacios vectoriales de dimesi´on finita, sobre el campo F, y sea g: U × V −→ F una aplicaci´on bilineal. Si denotamos por U0 = {u ∈ U |g(u, v) = 0, ∀v ∈ V }, el kernel izquierdo de g y por V0 = {v ∈ V |g(u, v) = 0, ∀u ∈ U }, el kernel derecho de g. Probar las siguientes afirmaciones: (a) dim(U/U0 ) = dim(V /V0 ). (b) g induce la aplicaci´on bilineal g 0 : U/U0 × V /V0 −→ F dada por g 0 (u + U0 , v + V0 ) = g(u, v), para la cual los kerneles izquierdo y derecho son cero. 4. Sea f : V → V lineal, con diagonalizaci´on V = ⊕ni=1 Li y respectivo espectro {λ1 . . . . , λn }, simple. Denota Pi (t) = Πj6=i (t − λj ). Sea g: V → V , tal que f ◦ g = g ◦ f .

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Pn (a) Para v ∈ V arbitrario, sea v = i=1 vi , con vi ∈ Li . Demuestra que Pi (f )(v) = µi vi , con µi 6= 0 para i = 1, . . . , n. (b) Prueba que g(Pi (f )(v)) ∈ Li ; es decir, V = ⊕ni=1 Li tambi´en es una diagonalizaci´ on de g, denota por {κ1 , . . . , κn } su espectro. (c) Expresa a g como un polinomio en f (combinaci´on lineal de los Pi usando las µi y las κi ). (d) Demuestra que el espacio de las g que conmutan con f es igual a la dimensi´ on de V . (e) ¿Que se puede decir si el espectro de f no es simple? 5. Dale un significado preciso y prueba las siguientes afirmaciones: (a) Una matriz general de 2 × 2 en C es diagonalizable. (b) Una matriz general de 2 × 2 con valores propios id´enticos no es diagonalizable.

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