Tarea 2 ´ Algebra Lineal 4 de marzo 1. Sea S ⊂ V un subconjunto de un F-espacio vectorial. Prueba que son equivalentes: (a) Todos los elementos de hSi se expresan de manera u ´nica como combinaci´on lineal de elementos de S. (b) La u ´nica combinaci´ on lineal de elementos de S igual al vector cero de hSi es la que tiene todos los escalares cero. 2. Sean V y W dos subespacios de un F-espacio vectorial, demuestra que V ∪ W es subespacio vectorial si y solo si W ⊂V ´ o V ⊂ W . D´ a un ejemplo donde V ∪ W no sea subespacio. 3. Calcula la dimensi´ on de los siguientes subespacios: (a) el espacio de polinomios de grado ≤ p en n variables. (b) el espacio de polinomios homog´eneos de grado p en n variables. 4. Sea V un F-espacio vectorial de dimensi´ on n y f ∈ V ∗ un elemento del dual de V . Demuestra que W = {v ∈ V |f (v) = 0} es un subespacio de dimensi´ on n − 1 de V . Prueba que todos los subespacios de dimensi´ on n − 1 de V , se pueden obtener de esta manera. 5. Encuentra una base de R3 donde todas las coordenadas de los vectores de esta son ±1. 6. ¿Es posible encontrar una base {f1 , . . . , fn } de Fn , tal que la i-esima coordenada de todos los vectores es cero? 7. Sea V un espacio vectorial, demuestra que: (a) x, y ∈ V son linealmente independientes, si y solo si, x + y, x − y son linealmente independientes. (b) x, y, z ∈ V son linealmente independientes, si y solo si, x + y, y + z, z + x son linealmente independientes. y en cada caso generan los mismos subespacios. 8. Sean a1 , . . . , an ∈ F escalares ditintos por parejas, considera los polinomios: gi (x) =

Y (x − aj ) . (ai − aj ) j6=i

Demuestra que {g1 , . . . , gn } es una base (llamada base de interpolaci´on) del espacio Fn [x] de polinomios en una variable de grado menor o igual que n y que las coordenadas del polinomio f en esta base son {f (a1 ), . . . , f (an )}.