Tarea 5 ´ Algebra Lineal 1 de Mayo 1. El rango de una matriz se define como el m´aximo numero de columnas linealmente independientes. Si A es la matriz asociada a una transformaci´on lineal f , demuestra que el rango de A es igual a la dimensi´on de Im f . 2. (Construccin de multiplicadores de Lagrange) Sean f, g ∈ V 0 dos elementos del dual del F-espacio vectorial V , con g 6= 0. Muestra que f = λg para algun λ ∈ F, si y solo si, Ker f ⊃ Ker g. 3. Las siguientes matrices sobre C      1 0 0 1 0 σ0 = , σ1 = , σ2 = 0 1 1 0 i

−i 0



 , σ3 =

1 0

0 −1

 ,

se conocen como la matrices de Pauli. Demuestra sus propiedades: (a) El conmutador [σa , σb ] = 2iabc σc , donde abc es el signo de la permutaci´ on. (b) σa σb + σb σa = 2δba σ0 donde δba es la delta de Kronecker. (c) Las matrices iσ1 , iσ2 , iσ3 forma un a base del ´algebra de Lie Ŋu(2) sobre R. 4. Las matrices

 γ0 =  γ2 =

σ0 0 0 −σ2

0 −σ0



σ2 0



 , γ1 =  , γ3 =

0 −σ1

σ1 0



0 −σ3

σ3 0



, ,

donde las σi son matrices de Pauli, se les conoce como la matrices de Dirac. Usando los dos ejercicios anteriores prueba sus propiedades: (a) γa γb + γb γa = 2gab I, donde gab = 0 si a 6= b, g00 = 1 y gii = −1 si i 6= 0.   0 σ0 (b) Define γ5 = iγ1 γ2 γ3 γ0 , verifica que γ5 = − . σ0 0 (c) γa γ5 = −γ5 γa para a = 0, 1, 2, 3 y γ52 = I.

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5. Sea Mn (F) el espacio vectorial de las matrices cuadradas, probar que para cada funcional f ∈ M ∗ en el dual, existe una matriz A ∈ M con la propiedad de que f (X) = Tr(AX) para cualquier matriz X ∈ M . 6. Dadas αij ∈ F para i < j y i, j = 1, . . . , n, queremos resolver ξi = aij ξj (a) Muestra que el sistema no tiene soluci´on, o tiene un n´ umero infinito de soluciones. (Sugerencia: intenta para n = 2, 3) (b) D´ a condiciones sobre las αij que garanticen un n´ umero infinito. (c) Reorganiza el sistema en un sistema lineal y explica lo anterior en base al nuevo sistema. 7. Sean L: V → W lineal entre F- spacios vectoriales, asi como {f1 , . . . , fm } y {g1 , . . . , gn }, bases de V y W respectivamente, con respectivas bases 0 duales {f10 , . . . , fm } y {g10 , . . . , gn0 }. Muestra que si [L] es la matriz de L en las bases d´ adas, entonces [L0 ] = [L]t . 8. Un subespacio af´ın A ⊂ V es un subconjunto tal que si x1 , . . . , xk ∈ A y α1 , . . . , αk ∈ F; con α1 + . . . + αk = 1; entonces α1 x1 + . . . + αk xk ∈ A. Muestra que V /M consiste de todos los subespacios afines paralelos a M . 9. Sea M ⊂ V un subespacio y {f1 , . . . , fn } ⊂ V tal que {f1 , . . . , fk } es una base de M y {fk+1 + M, . . . , fn + M } es una base de V /M . Muestra que {f1 , . . . , fn } es una base de V .

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