PROBLEMAS DE SISTEMAS 1. Plantear y resolver los siguientes sistemas: a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (−3, 5) b) Ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2, −2), (4, 16), (−1, 1) 2. La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 297 unidades. Calcular dicho número. 3. Hallar los cocientes del polinomio x³ + ax² + bx + c para que sea divisible por x − 2, tenga por resto −8 al dividirlo por x−1 y por resto −6 al dividirlo por x + 1. 4. Tres cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594; la cifra de las decenas es media aritmética entre las dos. Hallar dicho número. 5. ¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa? 6. Hieron, rey de Siracusa, dio a un platero 7465 gr de oro para hacer una corona que quería ofrecer a Júpiter. Para conocer si el orfebre había reemplazado oro por plata, le pidió a Arquímedes que lo averiguara, sin dañar la corona. Arquímedes metió la corona en agua y perdió 467 gr de peso. Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milésimas de su peso y que la plata pierde 95 milésimas. Hallar lo gr. de oro y de plata de la corona real. 7. Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 200 ptas. ¿Cuánto dinero tenía al principio del juego? 8. La suma de las edades, en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es 73 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el duplo de la edad del hijo menor. Hace 12 años la edad del hijo mayor era doble de la de su hermano. Hallar la edad de cada uno. 9. Pedro dice a Juan: "Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años". Hallar la edad de cada uno. 10. Tres barriles suman un total de 2721 L. de capacidad. El doble de litros del primero excede en 41 l. al triple de litros del segundo y el quíntuple de los litros del segundo excede en 501 L. a la tercera parte de los litros del tercero. ¿Cuantos litros de capacidad tiene cada barril? Para que sea incompatible. 11. ¿Puede un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ser compatible determinado? ¿Y compatible indeterminado? ¿Puede ser incompatible? Poner un ejemplo de cada caso. 12. Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice, se dibujan 3 circunferencias tangentes 2 a 2. Calcular la longitud de los radios de las 3 circunferencias. 13. Se tienen dos botellas de licor, una con un 50% de alcohol y la otra con un 10%. ¿Cuánto se debe coger de cada botella para obtener un litro de licor con un 25% de alcohol? 14. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 118 patas y 41 cabezas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en el corral?

15. Al comprar un objeto se han pagado 12.120 pta. Sabiendo que él IVA es del 14%. ¿Cuál es el valor del objeto? 16. Dos grifos abiertos llenan un deposito en 2 horas. Estando abierto sólo el primero, tarda en llenarse 3 h. más que estando abierto sólo el segundo. ¿Cuánto tarda en llenarlo cada grifo por separado? 17. Un depósito se puede llenar con tres grifos A, B y C. Si se llena con los grifos A y B, se tarda 2 horas y 10 minutos; si se llena con los grifos A y C, se tarda 1 h. y 24 m; y si se llena con los grifos B y C, 2 h. y 20 m. Calcular el tiempo que se tardaría en llenar el depósito con cada grifo por separado. 18. El coste de energía eléctrica se obtiene mediante un sumando fijo y otro proporcional a la cantidad de energía gastada. En dos meses distintos, se ha pagado 3.570 pta. por 340 kw/h. ¿Cuál es el sumando fijo? 19. En un colegio se imparten clases de 1º, 2º y 3º de BUP. Se sabe que la relación entre el número de alumnos de 1º y 2º es 19/18, la relación entre los de 2º y 3º es de 6/5, y el número total de alumnos es 1.300. ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? 20. Dos ciclistas A y B salen del mismo punto y se dirigen al mismo punto. A corre a 30 km./h y B a 37,5 km./h. El ciclista A sale 2 h. y media antes que el B, y éste alcanza a A en el momento de llegar al punto de cita. ¿Cuánto tiempo a empleado B y qué distancia ha recorrido? 21. La longitud de un lado de un rectángulo excede a la longitud del otro en 3 cm. Si cada lado se aumenta en 1 cm., el área aumenta en 22 cm². Calcular las dimensiones del rectángulo. 22. En una lucha amorosa se rompió un collar de perlas; un sexto de las perlas cayó al suelo, un quinto quedó sobre el lecho, la zagala salvó un tercio, un décimo guardó consigo el mancebo y seis perlas quedaron enhebradas. Dime ¿Cuantas perlas tenía el collar? 23. (Selectividad). Una cuadrilla de segadores debía segar dos campos, uno con doble superficie que el otro. Durante medio día trabajo toda la cuadrilla en el campo grande. En la otra mitad del día, se repartieran, trabajando la mitad en el campo grande, y la otra mitad en el pequeño. Quedó sin segar una pequeña porción del prado pequeño, que ocupó un día completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 24. A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga, con ocho; Vera con 9, y así sucesivamente hasta llegar a Nina, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada? 25. (Selectividad). Hallar dos capitales que difieren en 20.000 pta. Sabiendo que el mayor está colocado al 6% y el menor al 8% y que los intereses anuales están en la razón de 21/20. 26. Un señor tiene dólares, libras y francos. Al cambio, cierto día, tiene un total de 1.093 pta. Si tuviera el doble de dólares, el triple de francos y no tuviera libras, tendría 1410 pta., y el número de dólares mas el de libras mas el de francos es 10. Sabiendo que ese día el dólar estaba a 123 pta., la libra a 209, y el franco a 20. ¿Cuantos tenía de cada tipo? 27. Queremos averiguar las edades de una familia formada por los padres y los dos hijos. Si sumamos sus edades de tres en tres, obtenemos 100, 73, 74 y 98 años, respectivamente. ¿Cuál es la edad de cada unos de ellos? 28. (Selectividad). La suma de las tres cifras de un número es 12. La diferencia entre este número y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 198 y las cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos cifras. Halla el número pedido.

29. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y 320. Propuso a sus hijos que si averiguaban las otras tres, se podían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el doble del primero menos el segundo eras diez unidades menor que el tercero, y la suma de los tres era 24. ¿Cuales son los tres números que faltan?. 30. En una tienda de alimentación se ha hecho una oferta de botes de tomates, yogures y paquetes de sal. Una señora compro 2 botes de tomate, 4 yogures y un paquete de sal, gastándose 200 pta., otra compro 1 bote de tomate, 2 yogures y devolvió un paquete de sal que no estaba en buenas condiciones, pagó un total 90 pta.; y otra compro 3 yogures y devolvió 2 paquetes de sal; se gastó 60 pta. ¿En que consistió la oferta? 31. (Selectividad) Una persona sale en auto y regresa andando al cabo de dos horas, a razón de 4 Km/h. ¿A que distancia del punto de partida se bajo del auto, si este partió a una velocidad de 60 Km/h? 32. (Selectividad). Un vino tiene 9% de alcohol y otro 12%. ¿En que proporción hay que mezclarlos para que la mezcla tenga 10% de alcohol? 33. (Selectividad). De lunes a viernes un trabajador cobra 1200 ptas. por hora de trabajo ordinario y 2000 ptas. por hora extra. Durante el fin de semana cobra 2500 ptas. por hora. Entre semana ha totalizado 30 horas de trabajo ordinario y 10 horas extras. 1) Si trabaja 4 horas en fin de semana, ¿Cuál sería su sueldo medio por hora esta semana? 2) ¿Cuántas horas debería de haber trabajando durante ese fin de semana para haber tenido un sueldo medio de 1620 ptas. por hora? 34. Una empresa dispone de 2.720.000 pts para actividades de formación de sus cien empleados. Tras estudiar las necesidades de los empleados se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de 40.000 ptas.;, para el B, de 16.000 ptas y para el C, de 20000 ptas. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la de B, ¿Cuántos empleados siguen cada curso? 35. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. a) Plantea el sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión b)Resuelve el problema. 36. Un automóvil sube las cuestas a 54 Km/h; las baja a 90 Km/h y en llano marcha a 80 Km/h. Para ir de A a B tarda 2 h y 30 min., y para volver de B a A, 2h y 38 min. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan 192 Km? 37. Un estudiante viajó por Francia, España e Italia. En alojamiento gastó diariamente 2.500 ptas en Italia, 2000 en Francia y nada en España. El coste diario de la comida fue de 1750 ptas, 2000 ptas y 1800 ptas en Italia, Francia y España, respectivamente. Su gasto total fue de 50.000 ptas en hospedaje y de 66.200 ptas en alimentación. Si la duración del viaje fue de 36 días ¿ cuantos paso en cada país? 38. (Selectividad).. Un galgo persigue a una liebre. Por cada 6 saltos que da el galgo, la liebre da 9. Sabiendo que 3 saltos de galgo equivalen a 7 saltos de liebre, y que el galgo empieza a correr cuando la liebre lleva 60 saltos, averiguar los saltos que tiene que dar el galgo para alcanzar a la liebre. ¿Cuántos saltos ha dado en total la liebre al ser alcanzada?. 39. (Selectividad).. Un campesino tiene bueyes que comen la misma cantidad de pienso todos los días. Si vendiese 15, el pienso duraría tres días más, y si comprase 25, el pienso duraría tres días menos. Halla el número de bueyes y los días que los pude alimentar. 40. (Selectividad).. Una compañía aérea dispone de aviones de 100 y 200 plazas. Los aviones de 100 plazas tienen 15 puestos de primera clase y 85 de turista. Los aviones de 200 plazas tienen 25 plazas de primera y el resto de turista. Determinar la forma de repartir a 36.000 pasajeros, de los que 5.000 son de primera clase, en el menor número de aviones posibles.

41. (Selectividad). Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1’5 euros y un dólar es igual a 1’1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.