PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN 1. Un objeto se mueve sobre el eje OX con una velocidad v(t) = t2 + 4t − 5 ¿Qué distancia ha recorrido entre t = 0 y t = 6? 2. La velocidad v(t) de un cohete, t segundos después del despegue, viene dada por v(t) = (0,3) t2 + 4t ( m/s ) a) Determinar la distancia que recorre el cohete en el tiempo que va de t = 6 a t = 7 segundos. b) Representar gráficamente la función v(t) e interpretar geométricamente el apartado a. 1 3. En una región, un río tiene la forma de la curva y = ·x 3 − x 2 + x y es cortado por un camino 4 dirigido según el eje OX. Hacer un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento. Tomando como unidad el kilómetro, calcular el valor del terreno comprendido entre el río y el camino sabiendo que el precio del terreno es de 300000 pts. por hectárea. 4. En un plano de carreteras observamos un río que sigue la línea y = (x − 1)2 (x − 4) y una carretera que sigue la recta del eje OX. Hemos comprado todo el terreno que queda entre ambos a 200 pts, el metro cuadrado. ¿Cuánto nos ha costado? 5. Durante un cierto período de tiempo, las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 2 mg de agua por cm2.Los bordes de una de dichas hojas coinciden con los del recinto acotado del plano limitado x2 , donde x e y están expresados en centímetros. Calcular la 5 cantidad total de agua transpirada por esa hoja en el período de tiempo citado. Dibujar una de las hojas.
por las curvas de ecuaciones y = 5x , y =
6. Un objeto cae desde un avión en el instante t = 0, con velocidad de caída vertical v = 10 + 32t metros por segundo (t = tiempo en segundos). A los 10 segundos todavía no ha llegado al suelo. ¿Qué se puede afirmar sobre la altura a la que vuela el avión? 7. La penetración de un producto cosmético en el mercado crece exponencialmente, de manera que la cantidad en gramos vendida diariamente en un establecimiento responde a la función f(t) = 10 et/100, en la que t es el tiempo en días. Calcular la cantidad total de gramos vendidos en los 100 primeros días. 8. La representación gráfica de la figura es una función polinómica de grado 2, con un máximo en (1,2).
¿Cuál es el valor de la expresión y del recinto sombreado? 9. Hallar una función F(x) que verifique x5·F'(x)+x3+2x=3, para x ≠ 0. 10. Hallar la función F(x) tal que F(0)=2 y que sea primitiva de la función f ( x ) =
ex e x +1
11. Un objeto se mueve sobre el eje x con una velocidad v(t)=t²+4t−5. ¿Qué distancia ha recorrido entre t=0 y t=6? 12. Hallar una ecuación de la curva y=f(x) sabiendo que pasa por el punto (1,1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisas x es 3x+1 13. Representar gráficamente la función y =
x , estudiando los intervalos de concavidad y x −3
convexidad. Calcular su primitiva sí f(4)=1 14. La masa x(t) de una cierta población de bacterias es en el instante t =0 es de 1/3 de gramo y crece a una velocidad v(t)=e3t gramos / hora. Se pide: a) ¿Cuál es la masa una vez transcurridas 3 horas desde el instante inicial? b) Trácese la gráfica de v(t) y hágase en dicho dibujo una interpretación geométrica de x(t). c) Trácese la gráfica de x(t) y hágase en dicho dibujo una interpretación geométrica de v(t). 15 Calcula la expresión de f (x) sabiendo que f ’(x) = 2x − 4, y que el valor mínimo de f(x) es 1. 16. El consumo de agua de una ciudad crece exponencialmente (continuamente) a razón de un 8% anual. Si el consumo actual es de 2 millones de litros por año ¿Cuánta agua se consumirá durante los próximos cinco años? 17. Un automovilista sale de viaje y al cabo de x horas va a una velocidad de 80 + 3x Km/h. Después de tres horas descansa durante una hora. Luego reanuda la marcha a una velocidad de 108 − x, siendo x el tiempo en horas desde que salió de viaje. Seis horas más tarde llega a su destino. ¿ Que distancia ha recorrido en total en las diez horas?.
18. El ritmo de disminución de la temperatura de un alimento que se introduce en una nevera viene dado por f(t) = −12·e−t, donde t, tiempo que hace que se introdujo, se expresa en horas, y f(t), ritmo de enfriamiento, en ºC/hora, ¿Cuál será la temperatura que tendrá un producto al cabo de dos horas sí se introdujo a 19 ªC?. Solución. 9’6 ºC. 19. El tiempo necesario para fabricar una unidad de un determinado producto disminuye a un ritmo dado por la expresión r ( t ) = 180 ⋅ t 2 donde t es el tiempo transcurrido en meses, y r(t) se mide en minutos / mes. a) ¿En cuántos minutos disminuye el tiempo de fabricación entre los meses 2 y 4? b) Sí en t = 1 el tiempo de fabricación es de 200 minutos ¿cuánto tiempo se tarda en fabricar una unidad de producto al cabo de 6 meses? 20. El valor de un equipo informático decrece a un ritmo dado por 10·t − 30 miles de Pta/año. Si el valor inicial del equipo era de 300.000 Pta, ¿cuál será su valor al cabo de 5 años? 21. Después de x horas de trabajo, un operario puede fabricar cierto artículo a una velocidad dada por f ( x ) = −3x 2 + 6 x + 72 unidades por hora. Un segundo trabajador produce a una velocidad expresada por g ( x ) = −7 x + 56 unidades por hora. Sabiendo que ambos empiezan la jornada a las 9 de la mañana: a) hallar cuánto produce el primer trabajador hasta las doce de la mañana b) calcular cuánto fabrica el segundo entre las diez y las doce de la mañana.
22. Después de la administración de un fármaco se ha observado que los casos muy graves en una población de animales disminuyen a un ritmo de 20 ⋅ e −0'01·t individuos/hora, donde t se mide en horas. Sabiendo que el fármaco se administra a las 9 de la mañana, y que a las 12 del mediodía había 200 animales muy graves, calcular cuántos casos muy graves habrá a las 2 de la tarde. 23. Un punto se mueve en línea recta con una velocidad dada por la fórmula v(t)=12t−5 m/s. Calcular el espacio recorrido s(t) en cada instante t, sabiendo que s(0)=10m. ¿Cuál es la velocidad media entre t=0 s y t=2 s?
